Диссертация (1097926), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ïîäñòàâëÿÿ B/t â óðàâíåíèå (6.5) ñ p = 1, ìû ïîëó÷àåì,÷òî B äîëæíî áûòü êîðíåì ìíîãî÷ëåíà m-îé ñòåïåíè (ìû èñïîëüçóåì óñëîâèåB 6= 0). Ïîýòîìó ìèíèìàëüíîå âîçìîæíîå çíà÷åíèå m, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò÷åòûð¼ì ðàçëè÷íûì íåíóëåâûì çíà÷åíèÿì B , ðàâíî 4.Óðàâíåíèå (6.5) äëÿ m = 4 è p = 1 èìååò ñëåäóþùèé âèä:M ′4 + h2,3 M 2 + h1,3M + h0,3 M ′3 ++ h4,2 M 4 + h3,2 M 3 + h2,2M 2 + h1,2M + h0,2 M ′2 ++ h6,1 M 6 + h5,1 M 5 + h4,1M 4 + h3,1M 3 + h2,1 M 2 + h1,1 M ++ h0,1 ) M ′ + h8,0 M 8 + h7,0 M 7 + h6,0 M 6 + h5,0M 5 ++ h4,0 M 4 + h3,0 M 3 + h2,0 M 2 + h1,0M + h0,0 = 0.(6.109)258Ïîäñòàâëÿÿ ðÿäû Ëîðàíà Mk èç (6.90), ìû ïðåîáðàçóåì â ðÿä Ëîðàíà ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (6.109). Î÷åâèäíî, ÷òî âñå êîýèöèåíòû äàííîãî ðÿäàäîëæíû áûòü ðàâíû íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé íà hi,j è gr .
Óðàâíåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå 1/ξ 8 , èìååò âèäBk4 h8,0 Bk4 − h6,1Bk3 + h4,2 Bk2 − h2,3 Bk + 1 = 0,k = 1, . . . , 4,(6.110)ãäå Bk îïðåäåëåíû (6.86)(6.89). Îòìåòèì, ÷òî âñå ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿBk äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ (6.110). Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåìñèñòåìó ÷åòûð¼õ óðàâíåíèé:h8,0 B14 − h6,1B13 + h4,2 B12 − h2,3B1 + 1 = 0, h B 4 − h B 3 + h B 2 − h B + 1 = 0,8,06,1224,22,322h8,0 B34 − h6,1B33 + h4,2 B32 − h2,3B3 + 1 = 0, h B 4 − h B 3 + h B 2 − h B + 1 = 0.8,0 46,1 44,2 42,3 4(6.111)Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ Bk , ìû ïîëó÷àåì1h8,0 = − ,3h4,2 = 0,h6,1 = 0,h2,3 = 0.(6.112)Ó÷èòûâàÿ (6.112), èç äðóãèõ óðàâíåíèé ñèñòåìû ïîëó÷èì4h6,0 = gr ,3h4,0 = −16 2g ,9 rh2,0 =64 3g ,81 r(6.113)à âñå îñòàëüíûå hi,j ðàâíû íóëþ.
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè ñëåäóþùååóðàâíåíèå äëÿ óíêöèè M :4M′ =31 2M 3M 2 − 4gr ,81(6.114)êîòîðîå â òåðìèíàõ J èìååò ñëåäóþùèé âèä:4J′ =8 3J (3J − 4gr )3 .81(6.115)Óðàâíåíèå (6.41) ñ ui = 1, ur = 0, c̃ = 0, dr = 0, di = 0 è gi = 0 èìååò âèä:21′′′ 2′′′2(M ) − 2MM − MM 2 − gr = 0.4(6.116)2592Óìíîæèì (6.116) íà M ′ è èñïîëüçóåì (6.114) äëÿ òîãî, ÷òîáû âûðàçèòüâñå ïðîèçâîäíûå M(ξ) ÷åðåç M(ξ).
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ðåøåíèå (6.114)óäîâëåòâîðÿåò (6.116).Òàêèì îáðàçîì, íàéäåíû ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ èíçáóðãàËàíäàó â âèäå ñòîÿ÷åé (â ñëó÷àå si 6= 0) èëè áåãóùåé (ïðè si = 0) âîëíû.Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå (6.41) èç (6.72), èñïîëüçóÿ óñëîâèå äåéñòâèòåëüíîñòè M(ξ). Äëÿ gr < 0 è ëþáîãî íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ M ìû ïîëó÷àåì äåéñòâèòåëüíûå ðåøåíèÿ.  ñëó÷àå gr > 0 òîëüêî ÷àñòü ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé,ñîîòâåòñòâóþùàÿ íà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ M , áîëüøåìó íåêîòîðîãî ÷èñëà, ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè óíêöèÿìè.
Ôóíêöèÿ M(ξ) èìååò âèä (6.92), çíà÷åíèÿêîíñòàíò ìîæíî îïðåäåëèòü èç óðàâíåíèÿ (6.114).Èñïîëüçóÿ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (6.103) è óðàâíåíèå (6.114), ìû íàõîäèì, ÷òîψ̃ 4 =(3M 2 − 4gr )(96M 4 − 3M 2 − 32M 2 gr + 4gr )2.1296M 2(6.117)Ñóììèðóÿ, ìû ìîæåì îòìåòèòü äâà ðåçóëüòàòà: ìû ïîëó÷èëè íîâûå ýëëèïòè÷åñêèå âîëíîâûå ðåøåíèÿ äîêàçàëè, ÷òî ýòè ðåøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè ýëëèïòè÷åñêèìè ðåøåíèÿìè ïðè gr 6= 0.Èç îðìóëû (6.102) ñëåäóåò, ÷òî ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ìîãóò ñóùåñòâîâàòü, åñëè gr = 0 èëè gi = 0. Äëÿ âñåõ îòëè÷íûõ îò íóëÿ çíà÷åíèé gr è gi = 0ìû íàøëè ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ [221℄.  ñëó÷àå gr = 0 è gi = 0 íåò ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé.  ñëó÷àå gr = 0 è îòëè÷íîãî îò íóëÿ gi ìû íå íàøëè ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé, íî ýòîò ñëó÷àé òðåáóåò áîëåå äåòàëüíîãî àíàëèçà, êîòîðûéáû ïîçâîëèë íàéòè âñå ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ èíçáóðãàËàíäàóïÿòîé ñòåïåíè.2606.7.
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèéíåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåìÏîäõîä, êîòîðûé ìû ðàññìîòðåëè â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ, ïîìîãàåòîòûñêàòü ýëëèïòè÷åñêèå è âûðîæäåííûå ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ìíîãèõ íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì. Íàèáîëåå äåéñòâåííûì äàííûé ìåòîä îêàçûâàåòñÿ ïðèïîèñêå ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì àâòîíîìíûõ íåëèíåéíûõîáû÷íûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ ñ òàê íàçûâàåìûì ñâîéñòâîì îãðàíè÷åííîñòè [454℄: ñóùåñòâóåò òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ðÿäîâ Ëîðàíà, êîòîðûåÿâëÿþòñÿ îðìàëüíûìè ðåøåíèÿìè ñèñòåìû. ñòàòüå [208℄ áûë ïðåäëîæåí ìåòîä ïîèñêà êàê ýëëèïòè÷åñêèõ, òàê èâûðîæäåííûõ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé àâòîíîìíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.
Ïðèìåí¼ííûé íàìè ïîäõîä [221, 238℄ ïîçâîëÿåò íàéòè òîëüêî ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ êàê îäíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, òàê è ñèñòåì äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïðè÷¼ì îí áîëåå ýåêòèâåí â ïîñëåäíåì ñëó÷àå. äàííîì ðàçäåëå ìû ñîðìóëèðóåì åãî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìû âèäà(n)(n−1)Fi(ỹ;t , ỹ;t, . . . , ỹ;t, ỹ) = 0,(k)ãäå ỹ = {y1 (t), y2(t), . . . , yL (t)} è yj;t =i = 1, . .
. , N,(6.118)dk yjdtk . ñëåäóþùåì ðàçäåëå ýòîé ãëàâû ìû îáîáùèì åãî íà ñëó÷àé îïðåäåë¼ííîãî âèäà ìíîãîçíà÷íûõ ðåøåíèé.  Ïðèëîæåíèè 3 îïèñàí ïàêåò ïðîöåäóðñèñòåì êîìïüþòåðíîé àëãåáðû, ïîçâîëÿþùèé àâòîìàòèçèðîâàòü âû÷èñëåíèÿ.Ìû ïðåäëàãàåì ñëåäóþùèé ìåòîä ïîèñêà ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé ñèñòåìû (6.118):1. Âûáèðàåì óíêöèþ yk , êîòîðàÿ äîëæíà áûòü ýëëèïòè÷åñêîé.2. Ïðîâåðÿåì, äîëæíû ëè äðóãèå óíêöèè â ýòîì ñëó÷àå áûòü ýëëèïòè÷åñêèìè èëè íåò.3. Ñòðîèì ðåøåíèÿ â âèäå îðìàëüíûõ ðÿäîâ Ëîðàíà.2614. Äëÿ íàëîæåíèÿ íà ïàðàìåòðû ñèñòåìû óñëîâèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé, èñïîëüçóåì òåîðåìó âû÷åòîâ.5. Âûáèðàåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî m, îïðåäåëÿåì âèä óðàâíåíèÿ (6.5) è âû÷èñëÿåì êîëè÷åñòâî íåèçâåñòíûõ êîýèöèåíòîâ hj,k .6. Âû÷èñëÿåì íóæíîå êîëè÷åñòâî êîýèöèåíòîâ âñåõ ðÿäîâ Ëîðàíà óíêöèè yk è ïîäñòàâëÿåì èõ â ñèñòåìó (6.5).
Äàííàÿ ïîäñòàíîâêà ïðåîáðàçóåò(6.5) â ëèíåéíóþ è ïåðåîïðåäåë¼ííóþ ñèñòåìó íà hj,k , êîýèöèåíòû êîòîðîé çàâèñÿò îò ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû.7. Èñêëþ÷àÿ hj,k , ïîëó÷àåì íåëèíåéíóþ àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó íà ïàðàìåòðû è ðåøàåì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó.Äàííûé àëãîðèòì ÿâëÿåòñÿ ìîäèèêàöèåé ìåòîäà ÊîíòàÌþçåòòû [208℄.Êëþ÷åâîé èäååé ïðåäëîæåííîé ìîäèèêàöèè ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå ïîèñêîìòîëüêî ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé, ÷òî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîèñêà òî÷íûõ ðåøåíèé íå îäíî, à íåñêîëüêî ðåøåíèé â âèäå ðÿäà Ëîðàíà.
 îòëè÷èåîò àâòîðîâ ñòàòåé [208, 209℄, ìû ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìó äèåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé âìåñòî îäíîãî ýêâèâàëåíòíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è äåìîíñòðèðóåì, ÷òî ñèñòåìà (6.73), áîëåå óäîáíà äëÿ àíàëèçà, ÷åì ðàâíîñèëüíîåóðàâíåíèå äëÿ M .
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìû àíàëèçèðóåì òîëüêî ðÿä Ëîðàíàóíêöèè M , òî ìû äîëæíû òàêæå ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà M èìååò íå ÷åòûðå, à òîëüêî äâà ðàçëè÷íûõ ðÿäà Ëîðàíà, íà÷èíàþùèõñÿ ñ B1 è B2 èëè B3 èB4, ñîîòâåòñòâåííî. àññìîòðåíèå ðÿäîâ Ëîðàíà äâóõ óíêöèé: ψ̃ è M , ïîçâîëÿåò íàì ñðàçó èñêëþ÷èòü ýòó âîçìîæíîñòü. Êðîìå òîãî, ìû ìîæåì âûáðàòüóíêöèþ, àíàëèòè÷åñêèé âèä êîòîðîé ìû õîòèì íàéòè. Âìåñòî óíêöèé ψ̃è M ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü íåêîòîðóþ êîìáèíàöèþ ýòèõ óíêöèé, íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåí, è èñêàòü ýòó êîìáèíàöèþ â àíàëèòè÷åñêîì âèäå.
Îòìåòèì,÷òî ìû íå èìååì íèêàêîé ïîòðåáíîñòè â äèåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè äëÿýòîé êîìáèíàöèé. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì çàêëþ÷èòü, ÷òî èñïîëüçîâàíèå262ðÿäîâ Ëîðàíà äà¼ò íîâûé âçãëÿä íà ðåøåíèå çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì. åàëèçàöèè äàííîãî àëãîðèòìà ñ ïîìîùüþñèñòåì êîìïüþòåðíîé àëãåáðû îïèñàíà â ðàáîòàõ [237, 238℄. Äàííûé ïîäõîä,ïðåäëîæåííûé â 2003 ãîäó â ðàáîòå ÊîíòàÌþçåòòû, è óñîâåðøåíñòâîâàííûéâ ðàáîòàõ Õîíà è ìîèõ, â íàñòîÿùåå âðåìÿ àêòèâíî ðàçâèâàåòñÿ â ðàáîòàõ ļìèíîé è Êóäðÿøîâà [210, 211℄.Ñðàâíèì íàø ïîäõîä ñ äðóãèìè ìåòîäàìè ïîèñêà ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì (îáçîð ýòèõ ìåòîäîâ äàí â [395℄). ×òîáû íàéòè ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ èíçáóðãàËàíäàó ïÿòîé ñòåïåíè, àâòîðû ðàáîò [383, 451, 452℄ íàêëàäûâàþò íåêîòîðûå îãðàíè÷åíèÿ íà çàâèñèìîñòü óíêöèé ψ̃ è M . Èñïîëüçîâàíèå ðÿäîâ Ëîðàíà ïîçâîëÿåò íàì èñêàòü ψ̃ áåç îãðàíè÷åíèé è íå èñêëþ÷àòü M èç ñèñòåìû (6.73).
Áåç èñïîëüçîâàíèÿ ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà áûëî áû î÷åíü òðóäíî íàéòè ïîëó÷åííûå ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ èíçáóðãàËàíäàó ïÿòîé ñòåïåíè, ïîòîìó ÷òî âèä óðàâíåíèÿ (6.109) äîñòàòî÷íî ñëîæåí. Íàïðèìåð, îí ñëîæíåå, ÷åì âèä óðàâíåíèé, èñïîëüçóåìûõÔàíîì [386, 387℄. Îòìåòèì, ÷òî ìû íå òîëüêî íàøëè ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ èíçáóðãàËàíäàó ïÿòîé ñòåïåíè, íî òàêæå äîêàçàëè îòñóòñòâèåèíûõ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé ïðè gr 6= 0. Èñïîëüçóÿ ñòàíäàðòíûå ìåòîäû,íåëüçÿ äîêàçàòü åäèíñòâåííîñòü ïîëó÷åííîãî ýëëèïòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íåèíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû.6.8. Ïîèñê òî÷íûõ ìíîãîçíà÷íûõ ðåøåíèé ñ ïîìîùüþðÿäîâ Ïüþç¼Îáîáùèì ðàññìîòðåííûé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå àëãîðèòì ñ öåëüþ ïîèñêà îïðåäåë¼ííîãî âèäà ìíîãîçíà÷íûõ ðåøåíèé. Äàííûé àëãîðèòì ïðèâåä¼íâ ñòàòüå [220℄, à åãî ðåàëèçàöèÿ â âèäå ïàêåòîâ ïðîöåäóð äîñòóïíà íà ñàéòåàâòîðà äèññåðòàöèè â èíîðìàöèîííîòåëåêîììóíèêàöèîííîé ñåòè Èíòåðíåò(Vernov S.Yu., Pakages of Proedures for Maple 9 ('ellipso') and REDUCE 3.7,2632005, http://theory.sinp.msu.ru/svernov/programs/ ).åøåíèÿ àâòîíîìíîãî ïîëèíîìèàëüíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ(6.1):F (y (n) (t), y (n−1)(t), .
. . , y(t)) = 0áóäåì èñêàòü â âèäå ïîëèíîìà ïî ñòåïåíÿì óíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ (6.5) ïðè óñëîâèè, ÷òî p = 1/q , ãäå q íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Îáùèåðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé áóäóò èìåòü îñîáåííîñòè âèäà t−1/q è ðàçëîæåíèÿ âîêðåñòíîñòè îñîáåííîñòåé â âèäå ðÿäà̺=∞XCj/q tj/q .(6.119)j=−1Ôóíêöèþ y , ðàçëàãàþùóþñÿ â ðÿä Ïþèç¼y=∞XSk/q tk/q ,(6.120)k=−Lãäå L íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áóäåì èñêàòü â âèäå ïîëèíîìà ñòåïåíè L îò óíêöèè ̺:y = ̺L + PL−2̺L−2 + PL−3 ̺L−3 + · · · + P0 ,óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþm (q+1)(m−k)XXk=0hjk ̺j ̺t k = 0,h0m = 1.(6.121)j=0Äëÿ óïðîùåíèÿ âû÷èñëåíèé áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ïîëîæèòüPL = 1 è PL−1 = 0 , òàê êàê óíêöèÿ pPn−1̺˜ = ̺ −/ n Pnn(6.122)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ òèïà (6.121).Ïðåäëàãàåòñÿ [220℄ ñëåäóþùèé àëãîðèòì ïîèñêà ïîäîáíûõ ðåøåíèé:Øàã 1.
Îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (6.1), ïðè êîòîðûõäëÿ çàäàííîãî q ñóùåñòâóþò ëîêàëüíûå ðåøåíèÿ âèäà (6.120). Äàííûé øàã264ñîñòîèò â òåñòå Ïåíëåâå èñõîäíîãî íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ, ïîñëå íåãî îïðåäåëÿåòñÿ òàêæå çíà÷åíèå L.Øàã 2. Ïðåîáðàçîâàíèå óðàâíåíèÿ (6.1) ñ ïîìîùüþ çàìåíû y íà ̺ è ïîñòðîåíèå ðåøåíèé ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ â âèäå (6.119), òî åñòü îïðåäåëåíèåêîýèöèåíòîâ Cj/q êàê óíêöèé îò Pk è ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû. Ïðè ýòîì íåêîòîðûå êîýèöèåíòû ìîãóò îêàçàòüñÿ íîâûìè ïðîèçâîëüíûìè ïàðàìåòðàìè.Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ÷àñòíûõ ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà òðèâèàëüíî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé ðÿäîâ Ïþèç¼.Øàã 4. Âûáîð m è ïîäñòàíîâêà ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé Cj/q â óðàâíåíèå(6.5) è ïðåîáðàçîâàíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ â ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.Øàã 5. Èñêëþ÷åíèå âñåõ hij èç ñèñòåìû.Øàã 6. åøåíèå îñòàâøåéñÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû è îïðåäåëåíèå Pk è äðóãèõ ïàðàìåòðîâ, âõîäÿùèõ â êîýèöèåíòû Cj/q .Ïðè êîìïüþòåðíîì ñ÷¼òå òðóäíîñòè âûçûâàåò òîëüêî ïîñëåäíèé øàã, òàêêàê ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó ÷àñòî íå óäà¼òñÿ ðåøèòü ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíûõ ïðîöåäóð ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì.
Ýòà ïðîáëåìà íîñèò ñêîðååòåõíîëîãè÷åñêèé, ÷åì ïðèíöèïèàëüíûé õàðàêòåð, ïîñêîëüêó àëãîðèòì Áóõáåðãåðà ãàðàíòèðóåò ïîñòðîåíèå áàçèñà ð¼áíåðà çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ [455℄.Ñèñòåìà, äëÿ êîòîðîé ïîñòðîåí áàçèñ ð¼áíåðà â ëåêñèêîãðàè÷åñêîì óïîðÿäî÷åíèè, àêòè÷åñêè ðåøåíà.Ê ñîæàëåíèþ, äàæå â ñëó÷àå îäíîçíà÷íûõ ðåøåíèé óêàçàííûå àëãîðèòìûíå ïîçâîëÿþò íàéòè âñå âîçìîæíûå ðåøåíèÿ. Âî-ïåðâûõ, ðåøåíèå ìîæåò âûðàæàòüñÿ íå ÷åðåç ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, à ÷åðåç ðåøåíèÿ áîëååñëîæíûõ óðàâíåíèé (ïðèìåð àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ, ðåøåíèÿ êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ óíêöèÿìè îò òðàíñöåíäåíòíûõ Ïåíëåâå, ïðèâåä¼í â [208℄). Âî-âòîðûõ,ðåøåíèÿ, âûðàæåííûå â òåðìèíàõ ýëëèïòè÷åñêèõ è ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé, íîíå ÿâëÿþùèåñÿ íè ýëëèïòè÷åñêèìè, íè âûðîæäåííûìè ýëëèïòè÷åñêèìè óíêöèÿìè, íàïðèìåð t+tanh(t), íå ìîãóò áûòü íàéäåíû äàííûì ìåòîäîì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
