Диссертация (1097926), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîéíåëîêàëüíîé ìîäåëè ñâîéñòâà ðåøåíèÿ Ñòàðîáèíñêîãî ïîäðîáíî èññëåäîâàíûâ ñòàòüå [140℄.Îòìåòèì, ÷òî ïîõîæåñòü íàéäåííûõ ñ ïîìîùüþ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèéðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìîé íåëîêàëüíîé ìîäåëè è èçâåñòíûõ ðåøåíèé R2 ãðàâèòàöèè ïðèâåëà À.Ñ. Êîøåëåâà è àâòîðà äèññåðòàöèè ê ìûñëè î ñâÿçè ýòîéìîäåëè íåëîêàëüíîé ãðàâèòàöèè è R2 ãðàâèòàöèè, îïèñàííîé â ðàáîòå [235℄.84ëàâà 3ÌÎÄÅËÜ Ñ ÎÁÀÒÍÛÌ ÎÏÅÀÒÎÎÌÄÀËÀÌÁÅÀ3.1.

Ëîêàëèçàöèÿ ìîäåëèàññìàòðèâàåìàÿ â äèññåðòàöèè ìîäåëü áûëà ïðåäëîæåíà â ðàáîòå Äåçåðà è Âóäàðäà [142℄. Îòìåòèì, ÷òî èäåÿ èñïîëüçîâàòü îáðàòíûé îïåðàòîðÄàëàìáåðà äëÿ ìîäèèêàöèè ãðàâèòàöèè ïîÿâèëàñü ãîðàçäî ðàíüøå [141℄ èàêòèâíî èñïîëüçóåòñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ â ðàçíûõ êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëÿõ [147156, 159℄.Ìîäåëü ÄåçåðàÂóäàðäà, ïîäðîáíî ðàçîáðàííàÿ â íåäàâíåì îáçîðå [149℄,îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì äåéñòâèåì: 2Z√MPS = d4 x −gR 1 + f (−1R) − 2Λ + Lm ,2(3.1)ãäå f äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ, −1 îáðàòíûé îïåðàòîð Äàëàìáåðà,Λ êîñìîëîãè÷åñêàÿ êîíñòàíòà, à Lm Ëàãðàíæèàí ìàòåðèè.Âàðüèðîâàíèåì äåéñòâèÿ (3.1) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ [142℄:Gµν + ∆Gµν =h∆Gµν = Gµν + gµν − Dµ Dνi(1 (m)T ,MP2 µνf (−1R) +1h(3.2)Rf ′(−1R)i)hi 11 h ′ −1 i(ρ σ)ρσ−1+ δµ δν − gµν g ∂ρ R ∂σRf R,2+(3.3)ãäå f ′(ψ) ≡ df /dψ .Ââîäÿ äâà ñêàëÿðíûõ ïîëÿψ ≡ −1 R,ξ ≡ −1 Rf ′ −1 R ,(3.4)85ìîæíî ïåðåïèñàòü íåëîêàëüíûå óðàâíåíèÿ (3.2) â âèäå äèåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé.Ëîêàëèçàöèÿ äàííîé ìîäåëè áûëà ïðåäëîæåíà Íîäæèðè è Îäèíöîâûì âðàáîòå [143℄.

À èìåííî, áûëî ïðåäëîæåíî ëîêàëüíîå äåéñòâèå ñ äâóìÿ ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè, íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìè ñ ãðàâèòàöèåé: 2ZMP4 √[R (1 + f (ψ)) + ξ (R − ψ) − 2Λ] + Lm .Sl = d x −g2(3.5)Âàðüèðîâàíèå äåéñòâèÿ (3.5) îòíîñèòåëüíî âàðèàöèè ìåòðèêè ïðèâîäèòê óðàâíåíèÿì (3.2), çàïèñàííûì ÷åðåç ñêàëÿðíûå ïîëÿ:1gµν [RΨ + ∂ρ ξ∂ ρψ − 2(Λ + Ψ)] − Rµν Ψ −211− (∂µ ξ∂ν ψ + ∂µ ψ∂ν ξ) + ∇µ ∂ν Ψ = − 2 Tm µν ,2MP(3.6)ãäå Ψ = 1 + f (ψ) + ξ .Òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà ìàòåðèè îïðåäåëÿåòñÿ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì√2 δ ( −gLm )Tm µν ≡ − √.−gδg µνÂàðüèðóÿ äåéñòâèå (3.5) îòíîñèòåëüíî âàðèàöèé ïîëåé ξ è ψ , ïîëó÷àåìóðàâíåíèÿ ïîëåéψ = R ,(3.7)ξ = f ′(ψ)R .(3.8)Ýòè óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòîì äåéñòâèÿ îïåðàòîðà Äàëàìáåðà íà óðàâíåíèÿ (3.4).Îòìåòèì, ÷òî äàííàÿ ëîêàëèçàöèÿ âåðíà äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåëèíåéíîéóíêöèè f .

 ñëó÷àå ëèíåéíîé óíêöèè f äîñòàòî÷íî îäíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿψ äëÿ ëîêàëèçàöèè äåéñòâèÿ [151℄. Äëÿ ðåøåíèÿ ïðîáëåìû àíòîìíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû íóæíî íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ íà óíêöèè ðèíà,îïðåäåëÿåìûå îáðàòíûì îïåðàòîðîì Äàëàìáåðà [142, 148℄. Òàêèì îáðàçîì, áåçäîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé ëîêàëüíàÿ âåðñèÿ áóäåò èìåòü ëèøíèå ñòåïåíè ñâîáîäû, êîòîðûå îòñóòñòâóþò â èñõîäíîé íåëîêàëüíîé ìîäåëè.

Êàê ëåãêî çàìåòèòü,86ñèñòåìà (3.6) íå âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñàìó óíêöèþ ψ , à òîëüêî f (ψ) è f ′ (ψ), âìåñòåñ ïðîèçâîäíûìè óíêöèè ψ . Îòìåòèì, ÷òî óíêöèÿ f (ψ) ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû, òàê êàê äîáàâëåíèå êîíñòàíòû ê f (ψ)è âû÷èòàíèå ýòîé æå êîíñòàíòû èç ξ íå ìåíÿåò óðàâíåíèé.Ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìàòåðèÿ èìååò âèä èäåàëüíîé êîñìè÷åñêîé æèäêîñòè, òî åñòü, Tm 00 = ρm , Tm i0 = Tm 0i = 0 è Tm ij = Pm gij .  ìåòðèêå ÔËÓïëîòíîñòü ýíåðãèè è äàâëåíèå ìàòåðèè ñâÿçàíû óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòèρ̇m = − 3H(Pm + ρm ).(3.9)Óðàâíåíèÿ (3.6) ñâîäÿòñÿ ê ñèñòåìå113H 2Ψ = − ξ˙ψ̇ − 3H Ψ̇ + Λ + 2 ρm ,2MP(3.10)1122Ḣ + 3H Ψ = ξ˙ψ̇ − Ψ̈ − 2H Ψ̇ + Λ − 2 Pm .2MP(3.11)1Ψ̈ + 5H Ψ̇ + 2Ḣ + 6H 2 Ψ − 2Λ + 2 (Pm − ρm ) = 0.MP(3.12)Ñóììèðóÿ óðàâíåíèÿ (3.10) è (3.11), ïîëó÷èì ëèíåéíîå óðàâíåíèå âòîðîãîïîðÿäêà íà Ψ:Óðàâíåíèÿ (3.7) è (3.8) ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä2ψ̈ = − 3H ψ̇ − 6 Ḣ + 2H ,2¨˙ξ = − 3H ξ − 6 Ḣ + 2H f ′(ψ) .(3.13)(3.14)Åñëè Λ = 0 è ìàòåðèÿ îòñóòñòâóåò, òî óðàâíåíèå (3.12) èìååò ðåøåíèåΨ(t) ≡ 0.

Èç óðàâíåíèÿ (3.10) ñëåäóåò, ÷òî óíêöèè ψ è ξ ñóòü êîíñòàíòû.Èç óðàâíåíèÿ (3.13) ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâèçíàðàâíÿåòñÿ íóëþ è ïðîñòðàíñòâî Ìèíêîâñêîãî îêàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì.Ìû èçó÷àåì ìîäåëü, â êîòîðîé ìàòåðèÿ èìååò ïîñòîÿííûé ïàðàìåòðñîñòîÿíèÿ wm , à òàêæå ìîæåò ïðèñóòñòâîâàòü êîñìîëîãè÷åñêàÿ êîíñòàíòà.Ïîñêîëüêó êîñìîëîãè÷åñêàÿ êîíñòàíòà ÿâëÿåòñÿ êîñìè÷åñêîé æèäêîñòüþ ñ87wm = −1, åñòåñòâåííî íàëîæèòü óñëîâèå, ÷òî ïàðàìåòð ñîñòîÿíèÿ ìàòåðèèíå ðàâåí −1.Îòìåòèì, ÷òî ñëó÷àé ïîêàçàòåëüíîé óíêöèè f (ψ) íàèáîëåå àêòèâíîèññëåäîâàëñÿ [143145, 160162, 228, 233, 245℄. ×àñòíûå ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà è ñòåïåííûå ðåøåíèÿ íàéäåíû â ñòàòüå [143℄. Èññëåäîâàíèå ðåøåíèé äåÑèòòåðà áûëî ïðîäîëæåíî â ðàáîòàõ [161, 228, 245℄, à ñòåïåííûõ ðåøåíèé â [162, 231, 233℄.

Ïðåäñòàâëåííûå â äèññåðòàöèè ðåçóëüòàòû ðàáîò [228, 229, 231℄îáîñíîâûâàþò âûáîð ïîêàçàòåëüíîé óíêöèè f (ψ) ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû ðåêîíñòðóêöèè.3.2. åêîíñòðóêöèÿ óíêöèè f (ψ) ïî çàäàííîìó âèäóïàðàìåòðà ÕàááëàÊîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè ÷àñòî âêëþ÷àþò â ñåáÿ óíêöèè, êîòîðûå íåìîãóò áûòü âûâåäåíû èç óíäàìåíòàëüíîé òåîðèè.

Êàê ïðàâèëî, ìîæíî òîëüêî ïðåäïîëîæèòü íåêîòîðîå ñâîéñòâî òàêîé óíêöèè, íàïðèìåð, ÷òî óíêöèÿäîëæíà áûòü ïîëèíîìîì èëè àíàëèòè÷åñêîé óíêöèåé. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãîòèïà íåëîêàëüíîé ãðàâèòàöèè åñòåñòâåííî âîçíèêàþò âîïðîñû, ïî÷åìó âûáèðàåòñÿ íåêîòîðàÿ ñïåöèè÷åñêàÿ îðìà óíêöèè f (−1R), à íå äðóãàÿ, êàêîâàèçè÷åñêàÿ ìîòèâàöèÿ ýòîãî âûáîðà. ×òîáû îòâåòèòü íà ýòè âîïðîñû ïðèõîäèòñÿ ïðèáåãàòü ê ïðîöåäóðå ðåêîíñòðóêöèè, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïîíÿòü âîçìîæíî ëè îïèñàòü äàííîé ìîäåëüþ ðàçëè÷íûå ýòàïû ýâîëþöèè Âñåëåííîé.Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé íåëîêàëüíîé ìîäåëè ìåòîä âûáîðà óíêöèè f (−1 R)áûë ïðåäëîæåí â ñòàòüå [147℄. ðàìêàõ ïîäõîäà ñ èñïîëüçîâàíèåì ëîêàëüíîãî äåéñòâèÿ (3.5) ïðîöåäóðàðåêîíñòðóêöèè ñ ïîìîùüþ óíêöèé ìàñøòàáíîãî àêòîðà a áûëà ïðåäëîæåíàâ ñòàòüå [145℄.

Ìåòîä ðåêîíñòðóêöèè, ðàññìàòðèâàåìûé â äèññåðòàöèè, âïåðâûåïðåäëîæåí â ñòàòüå [228℄ ñ öåëüþ ïîëó÷åíèÿ ìîäåëè ñ ðåøåíèåì äå Ñèòòåðà èîáîáù¼í â [229℄ íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî çàäàííîãî ïàðàìåòðà Õàááëà. Äàëü88íåéøåå îáîáùåíèå áûëî ñäåëàíî â ñòàòüå [231℄, ãäå áûëè ïîëó÷åíû óíêöèèf (ψ), êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ðåøåíèÿì ñ ïàðàìåòðîì Õàááëà H = n/t, ãäå n äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.

Ýòè ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò ñòåïåííîìó ìàñøòàáíîìóàêòîðó a = tn è íàçûâàþòñÿ ñòåïåííûìè. Êðîìå òîãî, áûëè íàéäåíû óíêöèè f (ψ), äëÿ êîòîðûõ ìîäåëü èìååò êàê ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà, òàê è ñòåïåííûåðåøåíèÿ. Îòëè÷èòåëüíîé ÷åðòîé îïèñûâàåìîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèåòîëüêî óíêöèé êîñìè÷åñêîãî âðåìåíè t.Èòàê, íåîáõîäèìî âûÿñíèòü ïðè êàêèõ óíêöèÿõ f (ψ) ñóùåñòâóåò ðåøåíèå êîñìîëîãè÷åñêèõ óðàâíåíèé (3.10)(3.13) ñ çàäàííûì ïîâåäåíèåì ïàðàìåòðà Õàááëà H(t). Åñëè ïàðàìåòð óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ wm èçâåñòåí, òî äëÿëþáîãî çàäàííîãî H(t) óðàâíåíèå (3.9) èíòåãðèðóåòñÿ è ìû ïîëó÷àåì ρm (t). Ïîñëå ýòîãî ìîæíî ðåøèòü óðàâíåíèå (3.12) è ïîëó÷èòü Ψ(t). Çíàíèå H(t) òàêæåïîçâîëÿåò ïðîèíòåãðèðîâàòü (3.13) è ïîëó÷èòü ψ(t). Ïîäñòàâëÿÿξ(t) = Ψ(t) − f (ψ) − 1â óðàâíåíèå (3.14) è èñïîëüçóÿ óíêöèþ t(ψ), ìû ïîëó÷àåì ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà íà óíêöèþ f (ψ), à èìåííî2ψ̇ f (ψ) − 12 Ḣ + 2H f ′ (ψ) = Ψ̈ + 3H Ψ̇ .2 ′′(3.15)Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì óðàâíåíèåì ïðåäëàãàåìîãî ìåòîäà ðåêîíñòðóêöèè [229, 231℄.

Óäîáíî ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå (3.15) â âèäå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà:ãäå s(t) = f ′(ψ(t)).2ṡψ̇ − 12 Ḣ + 2H s = Ψ̈ + 3H Ψ̇ ,(3.16)Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (3.15) ÿâëÿåòñÿ òîëüêî íåîáõîäèìûì óñëîâèåìñóùåñòâîâàíèÿ ó ìîäåëè ðåøåíèé çàäàííîãî âèäà.

Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûåóíêöèè f (ψ) â óðàâíåíèå (3.10) èëè óðàâíåíèå (3.11), íóæíî ïðîâåðèòü ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèé çàäàííîãî âèäà. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ýòîò ìåòîä íåòîëüêî ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ f (ψ), íî è ÿâëÿåòñÿ ñïîñîáîì89ïîëó÷åíèÿ ÿâíîãî âèäà óíêöèé ξ(t) è ψ(t) äëÿ çàäàííîãî H(t).  ñëåäóþùèõðàçäåëàõ ìû íà íåêîòîðûõ èçè÷åñêè âàæíûõ ïðèìåðàõ âîçìîæíîãî ïîâåäåíèÿ H(t) ïîêàæåì, êàê ðàáîòàåò äàííûé àëãîðèòì.3.3. åøåíèÿ äå ÑèòòåðàÀëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè íåëîêàëüíîé ãðàâèòàöèè, îáëàäàþùåé ðåøåíèåì äå Ñèòòåðà, ïðåäñòàâëåí â ðàáîòå [228℄ è ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåìîïèñàííîãî ìåòîäà.

àññìîòðèì åãî ïîäðîáíî. Ïîäñòàâëÿÿ H = H0 â óðàâíåíèå (3.13) è èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì åãî îáùåå ðåøåíèåψ(t) = − 4H0(t − t0 ) − ψ0e−3H0 (t−t0 ) ,(3.17)ñ êîíñòàíòàìè èíòåãðèðîâàíèÿ t0 è ψ0 . Òàê êàê óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíûìè, òî ìîæíî ïîëîæèòü t0 = 0 áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè. ×òîáû ïîëó÷èòüf (ψ) â âèäå ýëåìåíòàðíîé óíêöèè, ìû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì ψ0 = 0.Äëÿ ìàòåðèè ñ ïîñòîÿííûì wm óðàâíåíèå (3.9) îáëàäàåò ñëåäóþùèì îáùèì ðåøåíèåìρm = ρ0 e−3(1+wm)H0 t ,(3.18)ãäå ρ0 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. Âèä îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.12) çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ wm :ρ0 (wm − 1)e−3H0(wm +1)(t−t̃0)1Υ−,w=60,w=6−,mm223MHw(1+3w)3mmP 0ρ0 −3H0(t−t̃0 )Ψ(t) = Υ − 2 e(t − t̃0),wm = 0,MH0P4ρ0 −2H0 (t−t̃0 )1e(t−t̃),w=−,Υ +0m3MP2 H03(3.19)ãäåΥ = c3 e−3H0(t−t̃0 ) + 4c1e−2H0 (t−t̃0 ) +Λ,3H02c1 , c3 è t̃0 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû. Óðàâíåíèå (3.15) èìååò ñëåäóþùèé âèä:16H02f ′′ (ψ) − 24H02f ′ (ψ) = υ(ψ),(3.20)90ãäå υ(ψ) = υ(−4H0 t) ≡ Ψ̈ + 3H0 Ψ̇.

Характеристики

Список файлов диссертации