Диссертация (1097926), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Åñëè f0 6= 0, òî ìîæíî ââåñòè íîâîåñêàëÿðíîå ïîëå ϑ = φ − C1 /f0 è ïîëó÷èòü òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà (1.18) ñEµν∞n−11X Xfn∂µ lg ϑ∂ν n−1−lϑ,=g2 n=1 l=0∞n−11X X lf0 2 C12n−lW =fn ϑ ϑ − ϑ +.2 n=1 l=1 g g22f0Òàêèì îáðàçîì, â òåðìèíàõ ïîëÿ χ ìû ïîëó÷èëè ìîäåëü áåç ëèíåéíîãî ÷ëåíà èñ èçìåí¼ííîé íà C12 /(2f0) êîñìîëîãè÷åñêîé êîíñòàíòîé. Òåì ñàìûì, ìû ñâåëèýòîò ñëó÷àé ê ðàññìîòðåííîìó. ñëó÷àå f0 = 0 îäíèì èç êîðíåé óíêöèè F (J) áóäåò J = 0. Ëåãêîïîêàçàòü, ÷òî óíêöèÿ(1.95)χ̃ = φ0 + ψ,ãäå óíêöèè φ0 è ψ ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñëåäóþùèõ óðàâíåíèéF ()φ0 = 0,m ψ =C1,fm(1.96)m ïîðÿäîê êîðíÿ J = 0, óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþF ()χ̃ = C1 .(1.97)Ôóíêöèÿ φ0 çàäàíà îðìóëîé (1.66), ñ òîé ïîïðàâêîé, ÷òî ñóììà íå äîëæíàâêëþ÷àòü â ñåáÿ óíêöèþ φi0 , ñîîòâåòñòâóþùóþ êîðíþ J = 0, ïîñêîëüêó ýòóóíêöèþ ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòü ψ .àññìîòðèì ñëó÷àè m = 1 è m = 2.

 ïîñëåäíåì ñëó÷àå, êîãäà J = 0 äâóêðàòíûé êîðåíü, ìû îáîçíà÷èì ψ êàê ψ̃ .  ñëó÷àå ïðîñòîãî êîðíÿ òåíçîðýíåðãèèèìïóëüñà ïîëÿ χ̃ èìååò âèä [226℄:Tµν (χ̃) = Tµν (ψ) + Tµν (φ0 ),ãäåf2C12W (ψ) = C1ψ +,2f121Eµν (ψ) = f1 ∂µ ψ∂ν ψ.2(1.98)(1.99)60Ïîñêîëüêó óíêöèÿ φ0 , çàäàííàÿ îðìóëîé (1.66), óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.96), òî, Tµν (φ0 ) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (1.84). ñëó÷àå äâóêðàòíîãî êîðíÿ J = 0 óðàâíåíèå ψ̃ = τ,C12 ψ̃ =, ⇐⇒C1f2. τ =f2(1.100)Ñëåäîâàòåëüíî,Tµν (χ̃) = Tµν (ψ̃) + Tµν (φ0 ),1Eµν (ψ̃) =f2(∂µ ψ̃∂ν τ + ∂ν ψ̃∂µ τ ) + f3 ∂µ τ ∂ν τ ,2f2f3 C1τ.W (ψ̃) = τ 2 + C1 ψ̃ +2f2(1.101)ëàâíûì ðåçóëüòàòîì ïðèâåä¼ííûõ èññëåäîâàíèé ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèéñïîñîá ïîèñêà ÷àñòíûõ ðåøåíèé ãðàâèòàöèîííîé ìîäåëè ñ íåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì è êâàäðàòè÷íûì ïîòåíöèàëîì (1.63):• Èçìåíèòü çíà÷åíèÿ f0 è Λ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîòåíöèàë ïðèíÿë âèäV (φ) = C1 φ.• Íàéòè êîðíè óíêöèè F (J) è âû÷èñëèòü èõ ïîðÿäêè.• Âûáðàòü êîíå÷íîå ÷èñëî ïðîñòûõ è äâóêðàòíûõ êîðíåé.• Ïîñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùåå ëîêàëüíîå äåéñòâèå.

Åñëè C1 = 0, òî ëîêàëüíîå äåéñòâèå çàäà¼òñÿ îðìóëîé (1.87). Åñëè C1 6= 0 è f0 6= 0, òî íóæíî ââåñòè íîâîå ñêàëÿðíîå ïîëåϑ = φ−C1 /f0 è ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì èçìåíèòü çíà÷åíèå êîñìîëîãè÷åñêîé êîíñòàíòû.  òåðìèíàõ íîâîãî ïîëÿ ëîêàëüíîå äåéñòâèåçàäà¼òñÿ îðìóëîé (1.87).61 Åñëè C1 6= 0, à f0 = 0, òî ëîêàëüíîå äåéñòâèå çàäà¼òñÿ ñóììîéäåéñòâèÿ (1.87) è ëèáîZ1f2C124 √µνSψ = 2 d x −g f1 g ∂µ ψ∂ν ψ + 2C1ψ + 2,2gof1â ñëó÷àå ïðîñòîãî êîðíÿ J = 0, ëèáîZh14 √µνSψ̃ = 2 d x −g gf2 (∂µψ̃∂ν τ + ∂ν ψ̃∂µ τ ) + f3 ∂µ τ ∂ν τ +2gof3 C12+ f2τ + 2C1ψ̃ +τ2f2â ñëó÷àå äâóêðàòíîãî êîðíÿ J = 0.

Îòìåòèì, ÷òî ëîêàëüíîå äåéñòâèå (1.87) íå äîëæíî âêëþ÷àòü ÷ëåí, ñîîòâåòñòâóþùèé êîðíþJ = 0.• Âàðüèðóåì ïîëó÷åííîå ëîêàëüíîå äåéñòâèå è ïîëó÷àåì êàê óðàâíåíèÿÝéíøòåéíà, òàê è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ.• Èùåì ðåøåíèÿ ïîëó÷åííîé ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé êîíå÷íîãî ïîðÿäêà.Îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííûé àëãîðèòì ïîèñêà ÷àñòíûõ ðåøåíèé íå çàâèñèòîò âèäà ìåòðèêè.1.4. Òî÷íûå ðåøåíèÿ äëÿ ìîäåëåé ñ êâàäðàòè÷íûìïîòåíöèàëîì1.4.1. Òî÷íûå ðåøåíèÿ â ìåòðèêå ÔËÓ ýòîì ðàçäåëå ïðèâåäåíû ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ àëãîðèòìà ëîêàëèçàöèè è íàéäåíû òî÷íûå êîñìîëîãè÷åñêèå ðåøåíèÿ ÎÒÎ, ò.å.

ïðè f (R) = R, âìåòðèêàõ ÔËÓ è Áüÿíêè I.Ïðîñòåéøèå ñèñòåìû, ïîëó÷àþùèåñÿ ïðè ëîêàëèçàöèè äåéñòâèÿ (1.85) ñïîñòîÿííûì ïîòåíöèàëîì V (φ), ñîäåðæàò êâàäðàòè÷íûé ïîòåíöèàë, êîýèöèåíò ïåðåä êîòîðûì ïðîïîðöèîíàëåí J1 , çíà÷åíèþ ïðîñòîãî êîðíÿ óíêöèè62F:F ′(J1) 2Λ223H=φ̇+Jφ+,12m2pgo2m2pF ′ (J1) 2φ̇ . Ḣ = −2m2p go2(1.102)Òî÷íûå äåéñòâèòåëüíûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1.102) ïîëó÷åíû â ñòàòüÿõ[125, 223℄ è èìåþò ñëåäóþùèé âèä:• Ïðè J1 > 0√4m2p 3J1go2(t − t0 ),φ(t) = ±3F ′(J1)4m2p J1go2H(t) = −(t − t0 ),3F ′ (J1)(1.103)çäåñü è äàëåå t0 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. Ýòè ðåøåíèÿ ñóùåñòâóþòòîëüêî ïðè8m2p J1go2Λ= −.3F ′ (J1)(1.104)• Ïðè J1 = 0, ñóììèðóÿ ïåðâîå è âòîðîå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1.102), ïîëó÷àåì:Ḣ =1Λ − 3H 2.2mp(1.105)Òèï ðåøåíèÿ çàâèñèò îò çíàêà Λ: Ïðè Λ = 0√2 6mp goln(t − t0 ),φ(t) = C̃1 ± pF ′ (0)1H(t) = −,3(t − t0 )(1.106)C̃1 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.

Ïðè Λ > 0, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå äåéñòâèòåëüíûå ðåøåíèÿ:H1(t) =φ1 (t) = ±ssΛtanh3m2ps!3Λ(t − t0 ) ,m2p(1.107) √− go2arctan sinh 2 6πGΛ(t − t0 ) + C̃112πGF ′ (0)(1.108)63èH̃1 (t) =φ̃1 (t) = ±ssΛcoth3m2ps!3Λ(t − t0 ) ,m2p(1.109)√go26πGΛ(t−t)+ C̃1. (1.110)lntanh012πGF ′ (0) Ïðè Λ < 0 äåéñòâèòåëüíûå ðåøåíèÿ èìåþò ñëåäóþùèé âèä:H2 (t) = −φ2(t) = ±ssΛtan3m2ps!3Λ(t − t0 ) ,m2p(1.111) √go2arctanh sin 2 −6πGΛ(t − t0 ) + C̃1.12πGF ′(0)(1.112)Ñòàáèëüíîñòü ïðèâåä¼ííûõ âûøå òî÷íûõ ðåøåíèé èññëåäîâàëàñü â [279℄.1.4.2.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ â ìåòðèêå Áüÿíêè IÌåòðèêà Áüÿíêè I çàäà¼òñÿ èíòåðâàëîìds2 = − dt2 + a21 (t)dx21 + a22 (t)dx22 + a23 (t)dx23.(1.113)Óðàâíåíèÿ Ýéíøòåéíà, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîñòîìó êîðíþ J = 0 èìåþòñëåäóþùèé âèä:F ′ (0) 2φ̇ + Λ ,2go21 F ′ (0) 222Ḣ2 + H2 + Ḣ3 + H3 + H2H3 = − 2φ̇ − Λ ,mp2go21 F ′ (0) 222Ḣ1 + H1 + Ḣ2 + H2 + H1H2 = − 2φ̇ − Λ ,mp2go21 F ′ (0) 222Ḣ1 + H1 + Ḣ3 + H3 + H1H3 = − 2φ̇ − Λ ,mp2go21H1 H2 + H1 H3 + H2 H3 = 2mpãäå Hk ≡ ȧk /ak , k = 1, 2, 3. Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî F ′ (0) 6= 0.(1.114)(1.115)(1.116)(1.117)64Î÷åâèäíî, ÷òî ñóùåñòâóþò èçîòðîïíûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1.114)(1.117),ñîâïàäàþùèå ñ ðåøåíèÿìè èç ðàçäåëà 1.4.1. Äëÿ ýòèõ ðåøåíèé H1 (t) = H2 (t) =H3(t).

Íàøåé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå àíèçîòðîïíûõ òî÷íûõ ðåøåíèé.Ïðè Λ = 0 ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ðåøåíèå:C̃2 + C̃1 + 1C̃11, H2(t) = −, H3 (t) = −(1.118)C̃2 (t − t0 )C̃2(t − t0 )C̃2(t − t0 )r−m2p F ′(0) C̃1 C̃2 + C̃12 + C̃1 + C̃2 + 12√φ(t) = ±ln C̃2 (t − t0 ) + C̃3 ,go F ′ (0)C̃2 2(1.119)H1 (t) =ãäå C̃1 , C̃2 , C̃3 è t0 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû.Ïðè F ′ (0) < 0 óíêöèÿ φ(t) ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé, åñëèC̃1 > −1,C̃2 > 0 èëè C̃1 < −1,C̃12 + C̃1 + 1> C̃2 > 0.−C̃1 + 1(1.120)Ïðè F ′ (0) > 0 óíêöèÿ φ(t) ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé, åñëèC̃1 < −1,C̃12 + C̃1 + 1.C̃2 > −C̃1 + 1 ñëó÷àå Λ = m2p ñóùåñòâóåò íå òîëüêî èçîòðîïíîå ðåøåíèå√1H1(t) = H2 (t) = H3 (t) = √ tanh3(t − t0 ) ,3(1.121)íî òàêæå è àíèçîòðîïíîå!3(t − t0 ) ,2!√13H2 (t) = √ coth(t − t0 ) ,23!√13H3 (t) = √tanh(t − t0 ) + coth22 31H1 (t) = √ tanh3√(1.122)!!√3(t − t0 ).2Ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ äåéñòâèòåëüíî ïðè F ′(0) > 0è ðàâíîh√√i√332mp3(t−t0 )(t−t0 )(t−t0 )22pφ̃(t) = C̃4 ±ln(e+ 1) − ln(e− 1) − ln(e+ 1) ,3go F ′ (0)65ãäå C̃4 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.

Äàííîå ðåøåíèå ïîëó÷åíî â ðàáîòå [226℄.Îòìåòèì, ÷òî âàæíûì ÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî çíàíèå îíîâîãî ðåøåíèÿ, íî èèññëåäîâàíèå êîñìîëîãè÷åñêèõ âîçìóùåíèé â îêðåñòíîñòè ýòîãî ðåøåíèÿ. Òåîðèÿ êîñìîëîãè÷åñêèõ âîçìóùåíèé äëÿ ðàññìîòðåííûõ ìîäåëåé ñ ìèíèìàëüíîñâÿçàííûì íåëîêàëüíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì áûëà ðàçâèòà â ñòàòüÿõ [252, 253℄.1.5. Ñïîñîáû èçó÷åíèÿ íåëîêàëüíûõ êîñìîëîãè÷åñêèõìîäåëåé ñ ïðîèçâîëüíûì ïîòåíöèàëîì1.5.1. Íåëîêàëüíîå óðàâíåíèå Êëåéíàîðäîíààññìîòðèì íåëîêàëüíîå óðàâíåíèå Êëåéíàîðäîíà â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ïîòåíöèàëà:F ()φ = V ′ (φ),(1.123)ãäå øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî φ. Êàê ïîêàçàíî â [227℄, ÷àñòíûì ðåøåíèåì (1.123) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå ñëåäóþùåé ñèñòåìû ëîêàëüíûõ óðàâíåíèéN−1Xn=0fn n φ = V ′ (φ) − C,fN N φ = C,(1.124)ãäå N − 1 ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, à C ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.Ïóñòü f1 6= 0, òîãäà ìîæíî âûáðàòü N = 2.

Äëÿ ïðîñòðàíñòâåííî ïëîñêîéìåòðèêè ÔËÓ, â êîòîðîé èíòåðâàë çàäà¼òñÿ îðìóëîé (1.1), ìû ïîëó÷àåìñèñòåìó (1.124) â ñëåäóþùåì âèäå:f1φ = − f1 φ̈ + 3H φ̇ = V ′ (φ) − f0 φ − C,f2 2 φ = C.(1.125)Î÷åâèäíî, ïðè f2 = 0 ìîãóò ñóùåñòâîâàòü ðåøåíèÿ òîëüêî ñ C = 0.àññìîòðèì ñëó÷àé f2 6= 0. Ïåðâîå óðàâíåíèå ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäå:1C′H= −φ̈ + Ṽ (φ) −,(1.126)f13φ̇ãäåṼ ′ (φ) ≡1(V ′ (φ) − f0 φ) .f1(1.127)66Óðàâíåíèå C 2∂t + 3H∂t φ̈ + 3H φ̇ =f2ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó: 2C∂t + 3H∂t Ṽ ′ = Ṽ ′′′φ̇2 + Ṽ ′′(φ̈ + 3H φ̇) = − .f2Èñêëþ÷èâ èç óðàâíåíèÿ H , íåòðóäíî ïîëó÷èòü, ÷òîC ′′ C1′′ ′2Ṽ Ṽ − Ṽ −.φ̇ =f1f2Ṽ ′′′(1.128)(1.129)(1.130)Äàííîå óðàâíåíèå ðåøàåòñÿ â êâàäðàòóðàõ. Ïîëó÷åííîå ðåøåíèå çàâèñèò îòäâóõ ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðîâ: C è t0 , ñîîòâåòñòâóþùåãî ñäâèãó ïî âðåìåíè.Ïðè C = 0 ïîëó÷àåì óðàâíåíèåṼ ′ Ṽ ′′(V ′ − f0 φ)(V ′′ − f0 )φ̇ =≡,f1 V ′′′Ṽ ′′′2(1.131)êîòîðîå äà¼ò ðåøåíèÿ è ïðè f2 = 0.Îòìåòèì, ÷òî äàííûé ñïîñîá íåïðèìåíèì ê ëèíåéíûì è êâàäðàòè÷íûìïîòåíöèàëàì, ïîñêîëüêó äëÿ íèõ Ṽ ′′′ ≡ 0.

Òàêèì îáðàçîì, äàííûé ñïîñîá ðåøåíèÿ ãîäèòñÿ òîëüêî äëÿ íåëèíåéíîãî ïî φ óðàâíåíèÿ (1.123).  ñëó÷àå ëèíåéíîãî ïî φ óðàâíåíèÿ (1.123) ïîèñê ðåøåíèé âîçìîæåí ñ ïîìîùüþ ìåòîäàëîêàëèçàöèè [223, 224, 226, 244℄.1.5.2. Êóáè÷åñêèé ïîòåíöèàëÑëó÷àé êóáè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà îñîáåííî àêòèâíî èçó÷àåì, ïîñêîëüêóñâÿçàí ñ ïîëåâîé òåîðèåé áîçîííîé ñòðóíû [249, 254℄. Íàéä¼ì ðåøåíèÿ (1.123)äëÿV (φ) = B3φ3 + B2φ2 + B1 φ + B0 ,(1.132)ãäå B0 , B1 , B2 è B3 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû, ïðè ýòîì B3 6= 0.

Óðàâíåíèå(1.130) èìååò ñëåäóþùèé âèäφ̇2 = 4C3φ3 + 6C2φ2 + 4C1φ + C0 ,(1.133)67ãäå(B1 − C)(2B2 − f0)Cf12−,C0 =6f1B36f1f2B3C2 =6B3(B1 − C) + (2B2 − f0)2C1 =,24f1B32B2 − f0,4f1C3 =3B3.4f1(1.134)(1.135)Îòìåòèì, ÷òî C3 6= 0, ïîñêîëüêó B3 6= 0. Êîíñòàíòû B2 è f0 âõîäÿò âóðàâíåíèå (1.133) òîëüêî â êîìáèíàöèè 2B2 − f0 .

Ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ1(2ξ − C2 ),2C3(1.136)ξ˙2 = 4ξ 3 − g2 ξ − g3 ,(1.137)φ=ïîëó÷àåì óðàâíåíèåãäå(2B2 − f0 )2 − 12B3(B1 − C)g2 =− 4C1C3 =,16f123B3Cg3 = 2C1C2C3 − C23 − C0C32 = −.32f2f13C22(1.138)(1.139)åøåíèå óðàâíåíèÿ (1.137) ýòî ëèáî ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ Âåéåðøòðàññàξ(t) = ℘(t − t0 , g2, g3),(1.140)ãäå t0 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, ëèáî âûðîæäåííàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ. Êàêèçâåñòíî [280℄, ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ Âåéåðøòðàññà ýòî äâîÿêîïåðèîäè÷åñêàÿ ìåðîìîðíàÿ óíêöèÿ, èìåþùàÿ â óíäàìåíòàëüíîì ïàðàëëåëîãðàììåïåðèîäîâ îäèí äâîéíîé ïîëþñ. Åñëè φ(t) ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ, òî ïàðàìåòð Õàááëà H(t) òîæå ýëëèïòè÷åñêàÿ óíêöèÿ2 .àññìîòðèì âûðîæäåííûå ñëó÷àè.

Ïðè g2 = 0 è g3 = 0 ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.137) áóäåò óíêöèÿ1,(t − t0 )2(1.141)1C24f12B2 − f0−=−.C3(t − t0 )2 2C33B3(t − t0 )26B3(1.142)ξ=ñëåäîâàòåëüíî,φ1 =2Ñâîéñòâà ýëëèïòè÷åñêèõ óíêöèé ïåðå÷èñëåíû â Ïðèëîæåíèè 2.68Ïîäñòàâëÿÿ φ1 â (1.126), ïîëó÷àåìH1 =5.3(t − t0 )(1.143)Èç óñëîâèé g2 = 0 è g3 = 0 ñëåäóåò, ÷òîC=0èB1 =(2B2 − f0 )2.12B3(1.144)Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ðåøåíèÿ, îãðàíè÷åííûå íà âñåé äåéñòâèòåëüíîé îñè è ñòðåìÿùèåñÿ ê êîíå÷íîìó ïðåäåëó ïðè t → ∞. Òàêèì ðåøåíèåìáóäåò óíêöèÿD2 =4f1 β 2 ,3B3φ2 = D2 tanh(β(t − t0 ))2 + D0,D0 =ãäå β êîðåíü óðàâíåíèÿ13(f0 − 2B2) − 16f1β 2 ,18B31024f2f1β 6 + 576f12β 4 + 324B3B1 − 27(2B2 − f0)2 = 0.(1.145)(1.146)(1.147)Îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.133) ñîîòâåòñòâóþò äåéñòâèòåëüíûì êîðíÿì óðàâíåíèÿ (1.147).

Характеристики

Список файлов диссертации