Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Остальная часть нашей теории — чисто математическая: нахождение решения уравнения движения, полученного под- становкой ускорения (40.5) в (40.4), т. е. (-(ч Р)ч= — — Р~р, дч Чр (40.6) д1 где слагаемое с вязкостью уже выброшено. Воспользовав- шись известным тоэкдеством иэ векторного анализа, это уравнение можно переписать по-другому; (ч Р) ч=(Рхч) хч+ — Р (ч ч). 1 Если определить новое векторное поле Я как ротор скорости ч, т. е. П=Рхч, (40.7) то векторное тон<дество можно записать так1 (ч Р) ч=йхч+ — Р и', а наше уравнение движения (40.6) примет вид — +(2хч+ — Рэ = — — — Рр.
дч 1 я ЧР дг 2 р (40.8) Вы можете проверить эквивалентность уравнений (40.6) и (40.8), расписывая их по компонентам и сравнивая их, восполь- зовавшись при этом выражением (40.7). Если Й всюду равно нулю, то такой поток мы называем безвихревым (илн потенциальным). В гл. 3, з 5 (вып. 5), мы уже определяли величину, называемую циркуляцией векторного поля. Циркуляция по любой замкнутой петле в жидкости равна криволинейному интегралу от скоростижидкости в дан- ный момент времени вокруг этой петли: Циркуляцяя =фч Ня. Циркуляция на единицу площади для бесконечно малой петли по теореме Стокса будет тогда равна Р Х ч.
Таким образом, й представляет собой циркуляцию вокруг единичной площади (перпендикулярной направлению й). Кроме того, ясно, что если в любое место жидкости поместить маленькую соринку (именно соринку, а ие бесконечно малую точку), то она будет вращаться с угловой скоростью й/2. Попытаитесь доказать это, Вы можета также попробовать доказать, что для ведра воды на вращающемся столике й равна удвоенной локальной угловой скорости воды.
Если нас интересует только поле скоростей, то из наших уравнений можно исключить давление. Взяв ротор обеих частей уравнения (40.8) и вспомнив,что р — величина постоянная, а ротор любого градиента равен нулю, а также использовав уравнение (40.3), находим — + чх(йх ) =О. (40.9) Это уравнение вместе с уравнениями П= — «хч и (40.10) 7.ч=О, рхч=О. Они в точности напоминают уравнения электростатики или магнитостатики в пустом пространстве.
Поаднее мы вернемся к ним и рассмотрим некоторые частные задачи. ф 3. Ста»4иояау»»ь»«» почпо««г п»еорема Леупул»«« Вернемся к уравнениям движения (40.8), но ограничимся теперь приближением «стационарного» потока. Под стационарным потоком я подразумеваю поток, скорость кото- 7 ч=О (40 11) полностью описывают поле скоростей ч. На языке математики — если в некоторый момент мы знаем Й, то мы знаем ротор вектора скорости и, кроме того, внаем, что его дивергенция равна нулю, так что в этих физических условиях у нас есть все необходимое для определения скорости ч повсюду. (Все это в точности напоминает нам знакомые условия в магнетизме, где ч В=О и ч х В=)/з«с».) Таким образом, данная величина»«определяет ч точно так же, как ) определяет В.
Затем из известного значения ч уравнение (40.9) даст нам скорость изменения»«, откуда мы можем получить новую П в следующий момент. Используя снова уравнение (40ЛО), найдем новое значение ч и т. д. Теперь вы видите, как в эти уравнения входит весь механизм,необходимый для вычисления потока. Заметьте, однако, что эта процедура дает только скорости, а всю информацию о давлении мы потеряли.
Отметим особое следствие нашего уравнения. Если в какой-то момент времени ~ повсеместно Я=О, то дй/дг тоя;е исчезает, так что Я всюду останется равной нулю и в момент ~ + Л«. Отсюда следует, что поток все время остается безвихревым. Если вначале поток не вращался, то он так никогда и не начнет вращаться. При этом уравнения, которые мы должны решать, таковы: рого в любом месте жидкости никогда не изменяется.
Жидкость в любой точке постоянно заменяется новой жидкостью, движущейся в точности таким же образом. Картина скоростей всегда выглядит одинаково, т. е. ч представляет статическое векторное поле. Как в магнитостатяке мы рисовали силовые линии, так и здесь можно начертить линии, которые всегда касательны к скорости яаидкости (фиг. 40.5). Эти линии называются «линиями тока».
Для стационарного потока они действительно представляют реальные пути частиц жидкости. (В нестацконарном потоке картина линий тока меняется со временем, однако в лтобой момент времени она не представляет пути частиц жидкости.) Стационарность потока вовсе не означает, что ничего не происходит — частички жидкости движутся и изменяют свои скорости. Это означает только то, что дч(д$= О. Если теперь мы скалярно умножим уравнение движения на ч, то слагаемое ч (оа Х ч) выпадет н у пас останется только ч ч ( — "+<у+ — иэ) =-О. (40.12) Согласно этому уравнению, при малых перемещениях в и правлении скорости жидкости величина внутри скобок не изменяется.
В стационарном потоке все перемещения направлены вдоль линий тока; поэтому уравнение (40.12) говорит, что для всех точек вдоль линии тока — + — во+ ~р = сопзз. р 1 2 (40.13) р~ — '+ —,' "+ р~=-О, Ф и о. аОХ Линии тока ота- ционарнооо нотока. Это и есть творе.иа Бернулли.
Постоянная, вообще говоря, для различных линий тока может быть разной; мы знаем только, что левая часть уравнения (40.13) постоянна всюду вдоль данной линии тока. Заметьте, кстати, что если стационарный поток безвихревой, т. е. если для него (а=О, то уравнение движения (40.8) дает нам соотношение так что — + — аз+<р=совз1 (повсюду). (40А4) р 2 Оно в точности напоминает уравнение (40.13), за исключением того, что теперь постоянная ео всей жидкости одна и та эее.
На самом деле теорема Бернулли ие означает ничего большего, чем утверждение о сохранении энергии. Подобные теоремы о сохранении дают вам массу информации о потоке без детального решения уравнений. Теорема Бернулли настолько важна и настолько проста, что мне бы хотелось показать вам, как можно ее получить другим способом, отличным от тех формальных вычислений, которые мы только что провели. Представьте себе пучок линий тока, образующих трубку тока (фиг. 40.6, а). Поскольку стенки трубки образуются линиями тока, то жидкость через них не протекает. Обозначим площадь на одном конце трубки через А„скорость жидкости через э„ллотвость через р, а потенциальную энергию через ср,. Соответствующие величины на другом конце трубки мы обозначим через А„вв, рв и срв.
После короткого интервала времени Лс жидкость на одном конце передвинется на расстояние э„йг, а жидкость на другом конце — на расстояние эвЫ (см. фиг. 40.6, б). Сохранение жаееы требует, чтобы масса, которая вошла через А, была равна массе, которая Ф и е. 40.д. Движение жидкости в тоудке. вышла через А,. Изменение масс в этих двух концах должно быть одинаково: ЛМ=р АзвзМ=раАтрай1. Таким образом, мы получаем равенство рзАзэз = рзАаэа. (40 А 5) Оно говорит нам, что при постоянном р скорость изменяется обратно пропорционально площади трубки тока.
Вычислим теперь работу, произведенную давлением в жидкости. Работа, произведенная над жидкостью, входящей со стороны сечения А„равна р,А, рзЬ1, а работа, произведенная в сечении А„равна раА,и,Ы. Следовательно, полная работа, произведенная над жидкостью, заключенной между Аз и Аа, будет рзАзэз Ь1 — рзАаэз а1з что должно быть равно возрастанию энергии массы язидкости ззМ при прохождении от Аз до А,. Другими словами, рзАзэз (11 — рзАага Л1= ЛМ (Е,— Е,), (40А6) где Е, — энергия единицы массы жидкости в сечении А„а Е, — энергия единицы массы в сечении А,, Энергию единицы массы жидкости моязно записать в виде 2 +у+ где з/зэа — кинетическая энергия единицы массы, зр — потенциальная энергия, а У вЂ” дополнительный член, представляющий внутреннюю энергию единицы массы жидкости.
Внутренняя энергия мажет соответствовать, например, тепловой энергии сжимаемой жидкости или химической энергии. Все эти величины могут изменяться от точки к точке. Воспользовавшись выражением для энергии в уравнении (40ЛО), получим рзАзнз ЛЗ р,А,н, ЛЗ 1 з а ззМ йаз н з а 2 Х з 1 1' = — э + ар + У вЂ” —, и — зр — бз . Но мы видели,,что АМ= рАиЫ, и получили — "+ 2 р',+зрз+ сз з = — + ~ р,'+ ~ра+ У„(40.17) а это как раз приводит нас к результату Бернулли, где имеется дополнительный член, представляющий внутреннюю энергию. Если жидкость несжимаемая, то внутренняя энергия с обеих сторон одна и та же и мы снова убеждаемся в справедливости уравнения (40Л4) вдоль любой линии тока.
Ф и а. 40.7. Вытекание жидкости иа реаерерара. Рассмотрим теперь некоторые простые примеры, в которых интеграл Бернулли позволяет нам сразу описать поток. Предположим,что нз отверстия вблизи дна резервуара вытекает вода 1фиг. 40.7). Рассмотрим случай, когда скорость потока ио „ в отверстии гораздо больше скорости потока вблизи поверхности воды в резервуаре; другими словами, предположим, что диаметр резервуара настолько велик, что падением уровня жидкости можно пренебречь. (Мы могли бы прн желании проделать н более аккуратные вычисления.) Давление на поверхность воды в резервуаре равно ро (атмосферному давлению), т, е. такое же, как и давление на бока струи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
