Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Чем сложнее материал, тем причудливей его поведение. Если мы воаьмем лист сарана о, скомкаем его и бросим на стол, то постепенно он расправится и примет свою первоначальную плоскую форму. На первый взгляд кажется соблазнительным считать, что адесь основную роль играет именно упругость. Но простои подсчет покажет, что она слишком слаба (на несколько порядков слабее), чтобы как-то влиять на этот эффект. Оказывается, что здесь соревнуются о Пластик с мудреным названном «полнннннлндонхяорндь, применяемый для обертки.— Прим. ред.
йг и е. Ву.у. Сломанннй кусочек мела.' Сарова — растягиванием ва нон«н; гтва — сяравиванигм. два механизма: «нечто» внутри материала «помнит» первоначальную форму и «пытается» вернуться к старому виду, а «нечто» другое «предпочитает» новую форму и сопротивляется возврату к старой.
Я не хочу вдаваться в подробности и описывать тот механизм, который играет роль в поведении скомканного листа сарана, но получить представление о том, как такие эффекты происходят, вы можете на следующей модели. Представьте себе материал, изготовленный из длинных гибких, но крепких нитей вперемешку с пустотелыми ячейками, эаколненными вязкой жидкостью. Представьте также, что между каждой ячейкой и соседними с ней имеются узкие проходы, по которым жидкость может медленно проникать из одной ячейки в другую. Если мы скомкаем лист такого материала, то длинные нити деформируются, жидкость из одной ячейки будет выжиматься и переходить в другие ячейки, которые оказались растянутыми. Когда же мы отпускаем лист, то длинные нити будут стремиться вернуться к своей первоначальной форме.
Однако, чтобы сделать это, они должны заставить жидкость возвратиться на свое прел«нее место, что происходит довольно медленно из-за ее вязкости. Силы, которые мы прилагаем, комкая лист, гораздо больше сил, развиваемых нитями. Скомкать лист можно очень быстро, а вот вернуться к прежнему виду он сможет гораздо медленнее. Несомненно, что здесь основную роль играет комбинация больших, жестких молекул и более мелких„но более подвижных. Этот механизм согласуется так ке с тем фактом, что материал быстрее принимает свою первоначальную форму, если он нагрет, и медленнее в холодном состоянии: тепло увеличивает подвюкность (уменьшает вязкость) мелких молекул. Хотя мы обсуждали, как происходит нарушение закона Гука, но, по-видимому, наиболее удивительно все же не нарушение этого закона при больших деформациях, а его универсальность.
Некоторое понятие о том, почему так происходит, вы можете получить, рассматривая энергию деформации мате- риала. Утверждение о том, что напряжение пропорционально деформации, равносильно утверждению, что энергия деформации изменяется как квадрат напряжения. Предположим, что мы скрутили стержень на малый угол О. Если справедлив закон Рука, то энергия деформации должна быть пропорциональна квадрату О.
Предположим, что энергия является некоторой произвольной функцией угла. Мы можем записать ее в виде разложения Тэйлора около нуля: и (0) = П (О) + Г (О) О +-', П-(О)0 + †,' Г" (0)0 + .... (00.40) Момент силы т представляет производную с' по углу, поэтому т(0) = П'(0)+ П" (0) О+ — У"'(0) Оз+ ... (39,4() Если теперь отсчитывать угол от положения равновесия, то первое слагаемое будет равно нулю. Таким образом, первое оставшееся слагаемое пропорционально О и при достаточно малых углах оно будет превосходить слагаемое с Оз.
[На самом деле, внутренне материалы в достаточной мере симметричны, так что т (0) = — т ( — 0); слагаемое с О' оказывается нулем, а отклонение от линейности происходит только из-за слагаемого с Оа. Однако нет причин, по которым это было быверкодля растяжения и с)катил.) Единственно, что мы не обьяснили,— почему материалы обычно разрушаются вскоре после того, как становятся существеянымн члены высшего порядка.
ф д. Вы зислеиие утьуэугиаз иосэиояииью Последний вопрос в теории упругости, который я разберу,- это попытка вычислить упругие постоянные материала, исходя из некоторых свойств атомов, составляющих этот материал. Мы рассмотрим простой случай ионноэо кубического кристалла типа хлористого натрия, Размер или форма деформированного кристалла изменяются. Такие изменения приводят к увеличению потенциальной энергии кристалла.
Для вычисления изме. некая энергии деформации следует знать, куда идет каждый атом. Чтобы сделать полную энергию как можно меньше, атомы з решетке сложных кристаллов перегруппировываются весьма слоязным обрааом. Это довольно сильно затрудняет вычисление энергии дефорагации. Но понять, чтб получается в случае простого кубического кристалла, асе-таки можно. Возмущения внутри кристалла будут геометрически подобны возмущениям его внешних граней. 233 3 эа ззз Упругие постоянные кубического кристалла можно вычислить следующим образом.
Прежде всего мы предположим яаличие некоего закона взаимодействия между каждой парой атомов в кристалле. Затем вычислим изменение внутренней эяергии кристалла при отклонении от равяовесиой формы. Зто даст иам соотяошеиия между эяергией и деформацией, которая квадратичяа по деформациям. Сравнивая энергию, полученную таким способом, с уравнением (39,13), можно идентифицировать коэффициеиты при кап|дом слагаемом с упругими постоянными С; „,. В нашем примере мы будем предполагать следующий простой заков взаимодействия: между соседними атомами действуют с)ентрлльные силы, имея в виду, что они действуют по ликии, соединяющей два соседних атома. Мы ожидаем, что силы в ионяых кристаллах должны быть именно такого типа, ибо в основе их лежит простое кулоновское взаимодействие.
(При ковалеиткой связи силы обычно более слоя<вы, ибо ояи приводят и к боковому давлению па соседние атомы; яо яам все эти усложнения ня к чему.) Кроме того, мы собираемся учесть только силу Ф и е. ВРПО. Принимаемые нами е расчет межа омане силн (а) и модель, е катеров атома ссаеани нрржинками (б). 226 Оно — (с~) — Окав ;АЯКС вЂ” Π— Π— О— :~М~М~; — Π— Π— О- '1''1' '1 взаимодействия каждого атома с ближайшим к лему и следующими поблизости соседями. Другими словами, мы будем делать приближение, в котором преиебрежем силами между далекими атомами.
На фиг. 39.)0,а показаиы силы в плоскости лр, которые мы будем учитывать. Следует еще учесть соответствующие силы в плоскостях уз и гт. Поскольку яас интересуют только упругие постоянные, которые описывают малые деформации, и, следовательно, в вы- их = е„„х+ е„у, и„=е, х+е у. (39.
42) Назовем атом с координатами х= у= О «атомом 1», а номера его соседей показаны па фиг. 39.11. Обозначая постоянную рещетки через а, мы получаем х- и у-компоненты перемещения и„, и, выписанные в табл, 39.1. Таблица 80.> ° компонкнты пкгкмкщкяия а,, и Пола>хенхех, > Ауа» ху О, а а, О а, а О, а -а, а — а, О -а, — а О, — а а, — а I<, ><е ><> ><е Л.> ><> )<> "а ехха (.хх+.ху) а ех„а ( — е„х+е„)а — е а хх — (ех +е„) а — е а ку (ех„— ех ) а е ха (е х+е,) еууа ( — е „ + е „) а — е а ух — (е .+е )а — е а (еух — е ) а Теперь можно вычислить энергию, запасеннук> в пруя<инках, которая равна произведению ><г/2 на квадрат растяжения кая<дой пружинки.
Так, энергия горизонтальной пружинки между Вх ражении для энергии нам вуя<ны только слагаемые, квадратичные по деформациям, то моя<но считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно. Поэтому для наглядности моя<но представлять, что каждая пара атомов соединена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10, б).
Все пружикки между атомами натрия к хлора должны иметь одну и ту же упругую постояннук>, <кажем )<>. Пружинки между двумя атомами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить ва>пи рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим нх через й» (Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вь> сможете вернуться назад и сделать их разными.) Предположим теперь.
что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором е> . В общем случае у него будут компоненты, содержащие х, у и г, но мы для болыпей наглядности рассмотрим только деформации с тремя компонентами: е„„, е„и е . Ксли один из атомов выбрать в качестве начала коордйнат, то перемещение любого другого атома задается уравнением типа (39.9); 4 еууа ! е„„а ~(-) Я~Ч' в Ф и е.
дд.11. Леремеиуение ближайших и следующих лоблиеости соседей атома 1. (Масштаб сильно искажен.) атомами 1 и 2 будет равна Ь, (е„„а)е (39.43) 2 Заметьте, что с точностью до первого порядка д-перемещекие атома 2 ие измекяет длины пруя икки менарду атомами 1 и 2.
Однако, чтобы получить зверппо деформации диагокаяьиой пружинки, той, что идет к атому 8, кам нужно вычислить измекекие длины как из-за вертикалького, так к из-за горизонтального перемещекий. Для малых отклонений от начала коордиват куба изменение расстояния до атома 2 можно записать в виде суммы компонент ик и и„ в диагояальиом направлении: 1 — (и„+ и ).
у' 2 Боспользовавепись величинами и„в и„. можко получить выражение для знергии 2' ~ — ) = '4 (е„„+е„„+е„,+е )', (39.44) Для полной авергии всех пружинок в плоскости ху кам нужна сумма восьми членов типа (39.43) в (39.44). Обозиачая эту энергию через с>„ получаем аа 1й о йо Ьуо= % ((к '"х+ 2 (ах +ву +в««+ау«)'+ -)-й,ехх+ — '(е„„+Е „+е„«+ау«)'+ йо а~ +й уу+-2 — (ах — '" — "«+'уу) )'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
