Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Площадь, на которой действует зта сила, равна 72Л; следовательно, напряжение, нормальное к этой плоскости, будет просто 6/А. Точно так же если взять плоскость, наклоненную под углом 45' в другую сторону, т. е. по диагонали В, то мы увидим, что на ней действует нормаль- юлдь л Ф и г. 88.6. Две пары сил сдвига (а) согдают тапсе самое напрагхениеь пто и сгхььмающие . растпгивающие силы (6). аР 1+о С Р У А (38 А 1) (Одна диагональ сокращается, а другая удлиняется.) Часто деформацию сдвига удобно описывать с помощью угла «нскажения» кубика О, показанного на фиг.
38.7. Из геометрии фигуры вы видите, что горизонтальный сдвиг б верхнего края равен »с 2Л«л, так что О= ' =' "Р =2". (38.1 2) Р Напряжение сдвига у определяется как отношение тангенциальной силы, действующей на грань, к площади грани у=С/А. Воспользовавшись уравнением (38.11), мы из (38.12) получаем 8=2 — д. 1+о У Или, если написать это в форме Напряжение = Постоянная х Деформация у = 1«О. (38.13) Коэффициент пропорциональности 1« называется модулем сдвига (или иногда коэффициентом жесткости). Вот как он выражается через У и о: р = — . (38.14) У лР 2(1+о) ' Кстати, модуль сдвига должен быть положительным, Ф и г. 88.7. Напряг«авив сдвига 0 равна 2ЬР(Р.
199 ное сдавливающее напряжение, равное -С/А. Из этого ясно, что напрлженссе прн «чистом сжатии» эквивалентно комбинации растягивающего и сжимающего напряжений, направленных под прямым углом друг к другу и под углом 45' к первоначальным граням кубика. Внутренние напряжения и деформации будут такими же, как и в большом кубике материала под действием сил, показанных на фиг. 38.6, б. Но эту задачу мы уже решили. Изменение длины диагонали задается уравнением (38ЛО)! Ф и в. 88.8. Растяясение бее сокращения бокового росмера.
(38.17) (38.19) 196 иначе мы бы могли получить энергию от самопроизвольного сдвига кубика. Иэ уравнения (38.14) очевидно, что постоянная и должна быть больше — 1. Теперь мы знаем, что о заключена между — 1 и '/„но на практике, однако, она всегда больше нуля, В качестве последнего примера состояний подобного типа„когда напряженность постоянна по всему материалу, давайте рассмотрим задачу о бруске, который растягивается и в то же время закреплен таким образом, что боковое сокращение невозможно.
(Технически немного легче сжимать брусок и сдерживать бока его от «распирания», но в сущности — зто та же самая задача.) Что при этом происходится На брусок должны действовать боковые силы, которые препятствуют изменению его толщины,— силы, которых мы не знаем непосредственно, но которые следует вычислить.
Эта задача того же самого сорта, что мы репали, но только с немного другой алгеброй. Представьте себе силы, действующие на все три стороны, как ето показано на фиг. 38.8. Мы вычислим изменение размеров и подберем такие поперечные силы, чтобы ширина и высота оставались постоянными. Следуя обычным рассуждениям, мы получаем для трех напряжений Л1„1р„а ив апс 1 ÄРР, у 1 у А у 1 у ~А (А +А )~ (38.15) Но поскольку по условию Ы и М, равны нулю, то уравнения (38.16) и (3817) дают два соотйошения, связывающие Р и Р, с Р„. Совместно решая нх, найдем (38.18) а подставляя (38.18) в (38.15), получаем Это соотношение вы часто можете встретить «перевернутымз и с преобразованным квадратичным полиномом по в, т. е.
с" 1 — с угтг А (1+ с) (1 — 2с) Т (38,20) Когда вы удерживаете бока, модуль гОнга умножается на некоторую сложную функцию о. Из уравнения (38.г9) можно сразу х'е увидеть, что множитель перед У всегда болыпе единицы. Растянуть брусок, когда его бока удерживаются, гораздо труднее.Это означает также,что брусок становится жесвгче, когда его боковые стороны закреплены, нежели когда они свободны.
ф 3. Кручение стержня; волны, сдвига Обратимся теперь к более сложному примеру, когда различные части материала напряжены по-разному. Рассмотрим скрученный стержень — скажем, приводной вал какой-то машины или подвеску из кварцевой нити, применяемую в точных приборах. Из опытов с маятнякои кручения вы, по-видимому, знаете, что мояент сил, действующий на закручиваемый стержень, пропорционален углу, причем константа пропорциональности, очевидно, зависит от длины стержня, его радиуса и свойств материала.
Но каким образом — вот в чем вопроср "Теперь мы в состоянии ответить на него: просто нужно немного разобраться в геометрии. На фиг. 38.9, а показан цилиндрический стержень, обладающий длиной Ь и радиусом а, один из концов которого закручен на угол гр по отношению к другому. Если мы хотим связать деформацию с тем, чтб уже известно, то стержень можно представить состоящим из множества цилиндрических оболочек и выяснить, что происходит в каждой из зтих оболочек.
Начнем с рассмотрения тонкого короткого цилиндра радиусом г (меньшего„чем а) н толщиной Лг, как показано на фиг. 38.9, б. Если Ф и е. ВВ.9. Кручение цилиндрического стерясня (а), кручение цилиндрического слоя (б) и сдвиг любого маленького кусочка е слое (в). теперь посмотреть на кусочек внутри этого цилиндра, который первоначально был маленьким квадратом, то мопгно заметить, что он превратился в параллелограмм.
Каждый элемент цилиндра сдвигается, а угол сдвига Е равен е= —. гц> х,' Поэтому напряжение сдвига д в материале будет (иа уравнения (38.13)] б=РЕ=Р— "'. (38.2т) Напряжение среза равно тангенциальной силе ЬР, действующей на конец квадратика, поделенной на его площадь ЛИг (см. фиг. 38.9, в): ЛР 0= — ° Л1Л.
Сила ЬР, действующая на конец такого квадратика, создает относительно оси стержня момент сил Лт, равный Ьт = гав| = гбЫМ. (3 8. 22) Полный момент т равен сумме таких моментов по всему периметру цилиндра. Складывая достаточное число таких кусков так, чтобы все Ы составляли 2яг, находим, что полный момент сил для пустотелой трубы равен гд (2яг) Ьг.
(38.23) Или, используя уравнение (38.21), (38.24) Мы получили, что жесткость т/ф пустотелой трубы по отношению к кручению пропорциональна кубу радиуса г и толщине Лг и обратно пропорциональна его длине Ь. Теперь представьте себе, что стержень сделан из целой серии таких концентрических труб, каждая из которых закручена на угол ~р (хотя внутренние напряжения в каждой трубе различны). Полный момент равен сумме моментов, требуемых для скручивания каждой оболочки, так что для твердого стержни т=2яр — ) гзйг, р где интеграл берется от 0 до а — радиуса стержня.
После интегрирования получаем ла4 т=р Ф. 21 (38,25) Если закручивать стержень, то его момент оказывается пропорциональным углу и чстпаертпой степени диаметра: стержень йт) Конел 1 ) ~ Конек 2 з з+лг Ф и е. 88.10. Волка кручен я е стержне (а) и элемент объема стержня (б). вдвое большего радиуса в шестнадцать раз жестче относительно кручения. Прежде чем расстаться с кручением, рассмотрим применение теории к одной интересной задаче — волнам кручения. Возьмем длинный стержень и неожиданно закрутим один его конец; вдоль стержня, как показано на фиг.
38.10, а, пойдет волна кручения. Это явление более интересно, нежели простое статическое скручивание. Посмотрим, моясем ли мы понять, как это происходит. Пусть з — расстояние от некоторой точки до основания стержня. Для статического закручивания момент сил на всем протяясении стержня один и тот же и пропорционален ср/Ь— полному углу вращения на полную длину. Но в нашей задаче важна местная деформация кручения, которая, как вы сразу поймете, равна дср1дз.
Если кручение вдоль стержня неравномерное, то уравнение (38.25) следует заменить таким~ т(з)=р"— „"' —, (38.26) Посмотрим теперь, что же происходит с элементом длины сяз, который показан в увеличенном масштабе на фиг. 38.10, б. На конце 1 маленького отрезка стержня действует момент т(з), а на конце 2 — другой момент сил т(з+Лз). Если величина Ьз достаточно мала, то можно воспользоваться разложением в ряд Тэйлора и, сохранив только два члена, написать т(з+ Ьг) = т (х)+ ( — ) Ьг. (38.27) Полный момент сил Лт, действующий на маленький отрезок стержня между з и Лз, равен разности т (з) и 199 ч(з+ Лз), или Лт =(дт/дз) Лг. Дифференцируя уравнение (38.26), получаем (38.28) Действие этого полного момента должно вызвать угловое ускорение отрезка стержня.
Масса его равна ЛМ = (яаз Лг) р, где р — плотность материала. В гл. 19 (вып. 2) мы нашли, что момент инерции кругового цилиндра равен вдгв/2; обозначая момент инерции нашего отрезка через дскб, получаем дг ~ 444з = г (38.29) Закон Ньютона говорит нам, что момент силы равен произведению момента инерции на угловое ускорение, или Дт=м дм. (38.30) Собирая теперь все воедино, находим Вад двср К 4 дв~р р — — Лз = — радЛг —, 2 дв' 2 ддв' или др рдр — — — =О.
д. а д4 (38.31) Вы, должно быть, уже узнали, что это такое: зто одномерное волновое уравнение. Мы получили, что волны кручения распространяются по стержню со скоростью (38.32) Чем влажнее стержень при одной и той же жесткости, тем медленнее движется волна, а чем он жестче, тем волна бежит быстрее. Скорость ее не гависигв от диаметра стержня. Волны кручения представляют частный случай волн сдвига. Волны сдвига в общем случае — зто такие волны, при которых деформация не изменяет объема любой части материала. В волнах кручения мы сталкиваемся с особым распределением напряжений сдвига — они распределены по кругу.
Но волны при любом распределении напряжений сдвига будут распространяться с одной и той же скоростью, которая определяется формулой (38.32). Сейсмологи, например, обнаружили, что такие волны сдвига распространяются и внутри Земли. В мире упругих явлений возможен и другой сорт волн внутри твердого материала. Если вы толкнете что-нибудь, то можете возбудить «продольные» волны, так называемые волны «сжатия».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
