Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 42
Текст из файла (страница 42)
При зтом мы получаем ~внеюн+ ~внгер о Ргб) е (39.24) потоку В через объем. А используя теорему Гаусса, поток можно было бы записать в виде объемного интеграла от дивергенции В. На самом деле все это справедливо независимо оттого, есть ли у нас индекс х или нет. Это просто математическая теорема, которая доказывается интегрированием по частям. Другими словами, уравнение (39.29) можно превратить в ) ~ ~""+ э + ~"') лг'= ) 1.,ог ° (39.30) Теперь можно отбросить интегралы по объему и написать дифференциальное уравнение для любой компоненты 1: дай 1 (39.31) Оно говорит нам, как связана сила, действующая иа единицу объема с тензором напряжения о; . Вот как работает эта теория внутренних движений твердого тела.
Если первоначально нам известны перемещения, задаваемые, скажем, вектором и, то можно найти деформации е,,. Из деформаций с помощью уравнения (39.12) можно получить напряясения. Затем с помощью уравнения (39.31) мы из напряжений можем найти плотности сил 1. А зная 1, мы иэ уравнения (39.26) получаем ускорение г в материале, которое подскажет нам, как изменятся перемещения. Собирая все это вместе, мы получаем ужасно сложные уравнения движения упругого твердого тела. Я просто напишу вам ответ для изотропного материала. Если вы воспользуетесь для Яы уравнением (39.20) и запишете е; в виде '/ (ди;/дх,.
+ ди 7дх;), то окончательно получите векторное уравнение: Г=().+р) Ч(Ч и)+рЧ'к. (39.32) что как раз дает (39.32) с другим определением постоянных. Вас может удивить, почему у нас нет третьего слагаемого Ч х Ч х и, которое тоже вектор. Но вспомните, что Ч ХЧ х и Вы можете очень просто убедиться в том, что уравнение должно иметь такую форму. Сила должна зависеть от второй производной — перемещения и. Но какие можно составить вторые производные и так, чтобы они были векторами) Одна из них Ч (Ч и); это самый настоящий вектор.
Есть еще только одна такая комбинация — это Чаи. Так что наиболее общей формой силы будет Ге аЧ(Ч и)+ЬЧзп, в точности разно Ч'« — Ч(Ч и), т. е. это линейная комбинация двух уже написанных слагаемых. Так что опо не добавит ничего нового. к1ы еще раз доказали, что в изотропном материале есть только две упругие постоянные.
Для получения уравнения движения материала мы можем положить выражение (39.32) равным рд'п/дсэ и, пренебрегая объемными силами типа силы тяжести, написать (39.33) р —,=(Х+р) Ч(Ч «)+рЧ'«. Зто уравнение выглядит похожим на волновое уравнение, с которым мы познакомились в электромагнетизме, эа исключением одного добавленного слагаемого, которое усложняет дело. Для материалов, упругие свойства которых всюду одинаковы, мы можем увидеть, на что похоже общее решение. Вы, наверное, помните, что любое векторное поле может быть записано в виде суммы двух векторов, у одного из которых нулю равна дивергенция, а у другого — ротор.
Другими словами, можно положить « =- «1+ «ю (39.34) где (Ч «,) =О, Чх«,=О. (39.35) Подставляя вместо «в уравнении (39.33) а,+пю получаем р —,,(«,+«,) =(1+р) Ч (Ч «,)+р,Ч'(«,+«,). (39.36) Взяв дивергенцию этого уравнения, мы можем исключить из него «,: р,—, (Ч «) = () + р) Ч' (Ч ~.)+ ~Ч Ч'«з. Поскольку операторы Ч' и Ч могут быть переставлсны, можно вынести оператор дивергенции и получить Ч ° ( р —,,' — (Х+ 29) Ч'«, ) = О. (39.37) А так как Ч х«з, по определению, равно нулю, то ротор выражения в фигурных скобках также будет нулем, так что выражение в скобках само по себе тон<дественно равно нулю и р —,,' = (Х+ 2р) Ч'«,. Это векторное волновое уравнение для волн, движущихся со скоростью С,=1' (Х + 2р)/р.
Поскольку ротор «, есть нуль, то эти волны не связаны со сдвигом, а представляют просто волны сжатия наподобие звуковых, которые мы изучали в пре- дыдущих главах и скорость которых как раэ равна найденной нами для С, Подобиым же образом, беря ротор уравнения (39.36), можно показать, что и удовлетворяет уравнению (39.39) Это снова векторное волновое уравнеиие для волн, распростраияющихся со скоростью С, =)г' р/р. Поскольку р .и равно нулю, то перемещение и ие приводит к изменению плотпости; вектор и, соответствует поперечным или сдвиговым волнам, которые встречались иам в предыдущей главе, а Са Ссаваг' Если мы хотим звать статические напряжения в изотропном материале, то в принципе их можно найти, решая уравнение (39.32) с 2, равным нулю (или равным статическим объемным силам, обусловленным силой тяжести, такой, как ря) при определенных условиях, связакных с силами, действующими ка поверхности нашего большого куска материала.
Сделать это иесколько сложнее, чем в соответству2ощих задачах электромагкетизма. Во-первых, это более трудно потому, что сами уравнения кесколько сложпее, и, во-вторых, формы тех упругих тел, которыми мы обычпо интересуемся, гораздо сложнее. На лекциях по электричеству мы часто интересовались решением уравнений Максвелла в областях сравнительно простой геометрической формы, таких, как цилиндр, сфера и т.
д. В теории упругости, нам приходится заниматься объектами гораздо более сложной формы, например крюком подъемного крана, или колекчатым автомобильным валом, или ротором газовой турбины. Такие задачи иногда можно приближенно решить численным методом, воспользовавшись принципом ее д минимальной эиергии, о котором мы упомянули ранее. Другой способ — это Ф и в. 36.6. Иемереггие енутренггия наиряжений с помощью поляриеованяово света. ояв под налряженвем Ф и в. дд.7, Вид напряженной пластмассовой модели меясду двумя сяреослмними поляроидами. воспользоваться моделями предметов и измерять внутренние напряжения экспориментально с помощью поляризованного света.
Метод этот состоит в следующем. Когда кусок упругого изотропного материала, например прозрачную пластмассу типа плексигласа, подвергают напряжению, в ней возникает двойное лучепреломление. Если пропускать через эту пластмассу поляризованный свет, то плоскость поляриаации повернется на величину, связанную с напряжением. Измеряя угол плоскости поляризации, можно измерить напряжение.
На фиг. 39.6 показан примерный вид этого устройства, а на фиг. 39.7 приведена фотография упругой модели сложной формы под напряисением. ф А ляеутсругое новеденне Во всем, что до сих пор говорилось, мы предполагали, что напрялсение пропорционально деформации, а это вообще-то неверно. На фиг. 39.8 приведена типичная диаграмма напряжение — деформация упругого материала. Для малых деформаций напряжение пропорционально деформации. Однако после некоторой точки зависимость напряжения от деформации начинает отклоняться от прямой линии.
Для многих материалов„ которые мы назовем «хрупкими», разрушение наступает, когда деформация несколько превысит ту точку, где кривая начинает загибаться. В общем же случае в диаграмме напряжение— деформация есть и другие усложнения. Например, когда вы деформируете предмет, существующие большие напряжения могут затем медленно уменьшиться со временем. Если вы достигнете высоких напряжений, однако ниже точки разрыва, а затем будете уменьшать деформацию, то напряжения будут возвращаться назад уже по другой кривой. Возникает неболь- 222 И «Р и в. дд.д. Тииичиав диовром- й мо «ширвжение — д«Формации дло больших дввбормоциа. о ходит швнио шой гистерезисный эффект (наподобие того, что мы видели в связи между В и ХУ в магнитных материа- луе рорл«оцол лах).
Напряжения, при которых происходит разрушение, сильно изменяются от материала к материалу. Некоторые материалы разрушаются при максимальном растлгивающел«напряжении. Другие же раарушаются при определенной величине напряжения сдвига. Скажем, мел гораздо слабее противостоит растяжению, чем сдвигу. Если вы потянете за концы палочки мела, то она сломается перпендикулярно направлению приложенной силы (фиг. 39.9, справа). Ведь мел — это только спрессованные частички, которые легко растаскиваются в стороны, поэтому ок ломается перпендикулярно приложенной силе. А в отношении сдвига этот материал гораздо крепче, так как в этом случае частицы мешают друг другу. Вспомните теперь, что когда мы скручиваем стержень, то в любом его поперечном сечении воэникатот сдвиги. Мы показали, кроме того, что сдвиг эквивалентен комбинации растяжения и сжатия под углом 45'.
Но этой причине при скручивании кусочек мела разломится по сложной поверхности, которая расположена под углом 45' к обрааующим. На фиг. 39.9 (слева) приведена фотография куска мела, сломанного таким способом. Мел ломается там, где напряжения максимальны. Есть и другие материалы, которые ведут себя очень странным и сложным образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
