Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Уравнение (38.44) ба имеет довольно прос- Ф и г. ЗВ.17. лоордикавки кривой ирод«лоно иогкувкой балки Я и 8. Ф и е. 38.18. Формы яредельна иеоенуглоео ежержнл. ре рг гг тые геометрические свойства * . Решается оно немного сложнее, но зато гораздо интереснее. Вместо того чтобы описывать кривую через х и р, можно воспользоваться двумя новымн переменными: о — расстопнием вдоль кривой и 0 — наклоном касательной к кривой (фиг. 38.17.) Тогда кривизна будет равна скорости изменения угла с расстоянием 1 де н Ж' Поэтому точное уравнение (38.44) могкно записать в виде до 88 У1 — = — — Д. После взятия производной этого уравнения по 8 и замены егр/оБ на згп 0 получим дге Р дбг У1 — =.
— — з)п 0. (38.47) * Кстати, точно такое же уравнение возникает и в других 'физических ситуациях: например, в маниоке на поверхности жидкости, заклгочепной между двумя параллельными стенками, а поэтому можно воспользоваться тем же самым геометрическим рассмотрением. ** Решение его можно выразить такжечерез особые функции,называемые «эллиптическими функциями Якоби», которые когда-то раз навсегда были вычислены и протабулированы.
(Если углы 0 малы, то мы снова приходим к уравнению (38.45), стало быть здесь все в порядке.е Не знаю, можете ли вы еще удивляться, но уравнение (38.47) получилось в точности таким же, как и для колебаний маятника с большой амплитудой (разумеется, с заменой Р/У1 другой постоянной). Еще раньше, в гл. 9 (вып, 4), мы узнали, как находить решение такого уравнения численным методом ее. В ответе вы получите очаровательную кривую.
На фиг. 38Л8 показаны три кривые для разных значений постоянной Р/У1, 7"лава ЗО УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ б 1.'Тч взор дефорчшцип ьс 2.Тензор упр)гостч 9 3 Двпжскпя и упругом тол. ф 1. леччаор деформацчача й .1.11еупругос в о зелен ив з 5. Вы ч пеленке уярупчх яостояяпша п=г' — г. (39.1) Перемещение и зависит, конечно, от точки Р, из которой оно выходит так,что и есть векторная функция от г 'или от (х, у, з). Сначала рассмотрим простейший случай, когда деформация по всему материалу постоянна, т. е. то, что называется однородной деформа- Литература: СЬ. К111а1, 1вттодис11ов то Яо!Ы Вта1е РЬуз1сз, 2вй ой., Хек уот1с, 1956. (Имеется перевод: Ч. Н и т т ель, Введение з физику твердого тела, Физматгиз, 1й., 1962.) 209 В предыдущей главе мы говорили о возмущениях упругих тел в простых случаях.
В атой главе мы посмотрим, что может происходить внутри упругого материала в оби)ем случае. Как описать условия напряжения и деформации в большом куске желе, скрученном и сжатом каким-то очень слончкым образом? Для етого необходимо описать локальную деформацию в каждой точке упругого тела, а это можно сделать, задав в пей набор шести чисел — компонент симметричного тензора.
Ранее (в гл. 31) мы говорили о тензоре напряжений, теперь же вам потребуется текзор деформации. Предположим, что мы веяли недеформироваквый материал и, прикладывая напряжение, наблюдаем за движением маленького пятнышка примеси, попавшей внутрь. Пятнышко, которое вначале находилось в точке Р и имело положение г=(х, у, з), передвигается в новую точку Р', т. е. в положение г'=(х', у', з'), как зто показано ка фиг.
39.1. Мы будем обозначать через и вектор перемещения из точки Р в точку Р', т. е. гр и г. д9.1. Паткитко примеси е материггке ие точки Р гидефорлсироеаттго кубика после деформации пере- меагаетск е точку Р'. гриой. Предположим, например, что мы взяли балку из какого-то материала и равномерно ее растянули. Иначе говоря, мы просто равномерно изменили ее размер в одном направлении, скажем в направлении оси х (фиг.
39.2). Перемещение и„пятнышка с координатой х пропорционально самому х. Действительно, и а1 к к Т' Мы будем записывать и следующим образом; и„= е„„х. Разумеется, константа пропорциональности 億— зто то же, что наше старое отношение ск111. (Скоро вы увидите, почему нам потребовался двойной индекс.) Если же деформация неоднородна, то связь между х н ик в материале будет изменяться от точки к точке. В таком общем случае мы определим е„„ как своего рода локальную величину ск1/1, т. е. ди„ е дк (39.2) 210 Это число, которое теперь будет функцией х, р и х, описывает величину растяжения в направлении оси х по всему куску желе.
Возможны, конечно, растяжения и в направлении осей р и з. Мы будем описывать нк величинами (39.3) Ф в е. дд.2. Одаородвая деформация рвов(яжеяия. Кроме того, нам нужно описать деформации типа сдвигов. Вообразите, что в первоначально невозмущенном желе вы выделили маленький кубик. Нажав на желе, мы изменяем его форму, и наш кубик может Р Р * Р " Р (ф . 39.8(*. вр * е е Ф рмации перемещение в направлении х каждой частицы пропорционально ее координате у: В и — — у е 2 (39.4) а перемещение в направлении у пропорционально х; и — х.
В (39.5) Таким образом, деформацию сдвигового типа можно описать с помощью и„=е„гу, и„— — е „х, где В е =е ху «» В В и — у к 2 ' у 2 и — — х. о Предположим на мапуту, вто полный угол сдвига В делятся на две равные насти, атаби деформация была симметричной огаоснтольно осей н у. 2И Теперь вы сочтете, что при неоднородной деформации обобщенную деформацию сдвига можно описать, определив величины е„и е „следующим образом: (39.6) Однако здесь есть некая трудность. Лредположим, что перемещения и„ и и имеют вид После д у Ф и г.
дд.д. Одхородиаа деерорнациа едвига. Они напоминают уравнения (39.4) и (39.5), за исключением того, что при и стоит обратный знак. При таком перемещении маленький кубик из желе претерпевает простой поворот на угол О/2 (фиг. 39.4). Никакой деформации здесь вообще нет, а есть просто вращение в пространстве. При этом никакого возмущения материала не происходит, а относительное положение всех атомов совершенно не изменяется. Нужно как-то устроить так, чтобы чистое вращение не входило в наше определение деформации сдвига. Указанием может послужить то, что если ди /дх и ди„/ду равны и противоположны, никакого У напряжения нет; этого можно добиться, определив Для чистого вращения оба они.равны нулю, но для чистого СдВИГа МЫ ПОЛуЧаЕМ, Кан И ХОТЕЛИ, Ехр = Е „. В паиболее общем случае возмущения, который наряду со сдвигом мояоет включать растяжение или сжатие, мы будем определять состояние деформации заданием девяти чисел." ди.
е хх дх' ди УУ ду " (39П) Они образуют компоненты тенввра деформации. Поскольку тен.зор этот симметричен (согласно нашему определению, 212 После Ф и е. дд.е. Однородный нооороно. пинании Оемормоций иеои е„всегда равно е „), то на самом деле различных чисел здесь только шесть, Вы йомните (см. гл. 31) общее свойство всех тензоров — элементы его преобразуются при повороте подобно произведению компонент двух векторов.
(Если А и  — векторы, то С, =А,Вт — тензор.) А каждое наше еы есть произведение (или сумма таких произведений) компойент вектора тд д дт и = (и„, и„, и,) и оператора Р=( —, —, — ~, который, ка мы знаем, преобразуется подобно вектору. Давайте вместо х, у и з писать х„х, и х„а вместе и„, и и и писать и, и, и и;, тогда н~ о о общий вид элемента тензора е; будет выглядеть так: где индексы 1 и 1 могут принимать значения 1, 2 или 3. Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая может включать как растяжения, так и сдвиги, то все е; постоянные, и мы можем написать и„= е„„х+ е„у+ е„,з.
(39.9) (Начало координат выбрано в точке, где и равно нулю.) В этих случаях тензор деформации еы дает соотношение между двумя векторами — вектором координаты г = (х, у, з) и вектором перемещения п = (и„, и, и,). Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем Ли, = ~ч ,'(ен — оь~) Ьхм (39.10) где ю~ — антисимметричный тенэор (39.11) 213 описывающий поворот. Нам незачем беспокоиться о поворотах; займемся только деформацией, которая описывается симметричным тензором еы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
