Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Онн подобны звуковым волнам в воздухе или в воде, т. е. перемещение вещества в них происходит в ту же сторону, что и распространение волны. (На поверхности упругого тела могут распространяться и другие типы волн, называемые «волнами Рэлея». Деформация в них ни продольная, ни поперечная. Однако у нас нет времени говорить о них подробно.) Раз уж мы коснулись вопроса о волнах, то какова скорость волн чистого сжатия в большом твердом теле, подобном Землег Я сказал в «большом», ибо скорость звука в массивном теле отлична от скорости, свойственной, скажем, тонкому стержню.
Под массивным телом я подразумеваю тело, поперечные размеры которого много больше длины волны звука. Поэтому, нажимая на такой объект, можно обнаружить, что он не «раздается» в стороны — он может сжиматься только в одном направлении. К счастью, однако, мы уже разобрали специальный случай сжатия «сдавленного» упругого материала, а в гл. 47 (вып. 4) мы познакомилнсь еще со скоростью звука в газе. Рассуждая так же, как и выше, вы можете убедиться, что скорость звука в твердом теле равна )/У'/р, где У' — «продольный модуль», т.
е. давление, деленное на относительное изменение длины (для случая «сдавленного» стержня). Равно это просто отношению Ы// к г'/А, полученному нами в уравнении (38.20). Таким образом, скорость продольных волн определяется выра- жением «У' 1 — о У п»од= р ((+о)(1 — 2о) р (ЗЭ.ЗЗ) Поскольку значение а заключено между О и '/г, то модуль сдвига р меньше модуля Юнга У, а У', кроме того, болыпе У, так что р ~У~У. ф й.
Иагибание балки Разберем теперь другой практический вопрос — изгибание балки, стержня или бруска. Чему равны силы, необходимые для изгибания балки произвольного поперечного сечения г Это означает, что продольные волны распространяются быстрее, чем волны сдвига. Один из наиболее точных способов определения упругих постоянных вещества дает измерение плотности материала и скоростей двух сортов волн.
Из атой информации можно получить как У, так и о. Кстати, именно измеряя разность зо времени прихода двух сортов волн от землетрясения, сейсмологи только по сигналам, принятым одной станцией, способны установить расстояние до эпицентра. Ф и з. 88.11. Изогнутая балка. Так что напряжение, т. е. сила, действующая на единичную площадь в некоторой маленькой полоске вблизи у, тоже про- порциональна расстоянию от нейтральной поверхности 8 ЛА В (38.34) Мы определим эти силы для балки круглого сечения, но ответ будет пригоден для балки любой формы. Чтобы сберечь время, мы кое-где упростим дело, так что теория, которую мы разовьем, будет только приближенной. Наши результаты верны лишь при том условии, что радиус изгибания много больше толщины балки.
Представьте, что вы ухватились за оба конца прямой балки и согнули ее в вцце кривой, похожей на ту, что изображена на фиг. 38.11. Что же происходит внутри балки? Раз она искривлена, значит, материал на внутренней стороне сгиба сжат, а на внешней стороне растянут. Но имеется какая-то поверхность, более или менее параллельная оси балки, которая и не сжата, н не растянута. Называется она нейтральной поверхностью. По-видимому, эта поверхность проходит где-то «посредине» поперечного сечения. Можно показать (но я не буду этого здесь делать), что для небольшого изгиба простой балки нейтральная поверхность проходит через «центр тяжести» поперечного сечения.
Но это справедливо только для «чистого» сгиба, т, е. когда балка не растягивается и не сжимается как целое. При чистом сгибе тонкий поперечный отрезок балки возмущен (фиг. 38.12, а). Материал под нейтральной поверхностью испытывает деформацию сжатия, которая пропорциональна расстоянию от нейтральной поверхности, а материал над ней растянут тоже пропорционально расстоянию отнейтральной поверхности. Таким образом, продольное удлинение г»1 пропорционально высоте у. Константа пропорциональности равна просто длине 1, деленной на радиус кривизны балки (см. фиг. 38.12): Ф и г.
Яо.12. Маленький отрееок иеоенутой балки (а) и поперечное сечение балки (б). Теперь рассмотрим те си- Нешррсяьнся поооркяость лм, которые привели бы к подобной деформации. Силы, действующие на маленький Г отрезок, изображенный на фиг. 38Л2, показаны на том же рисунке.
Если мы возьмем Ау любое поперечное сечение, то действующие па пем силы направлены в одну сторону выше нейтральной поверхности и в другую — ниже ее. )е,чпрс Получается пара сил, кото- поверхность рая создает «изгибающий моменте %, под которым мы Б' понимаем момент силы относительно нейтральной липин, Интегрируя произведение силы на расстояние от нейтральной поверхности, можно вычислить полный момент на одной из граней отрезна фиг. ЗЗЛ2: % =- ) уеУ'. (38.35) Попереч.
оечеппо Согласно (38.34), еег =У(у)г()е)А, так что И= — ~ уаоА. У Р л3 Но интеграл от рте)А можно назвать «моментом инерции> геометрического поперечного сечения относительно горизонтальной оси, проходящей через его «центр масс» е;мы будем обозначать его через 1, т. е. ~= л' (38.36) (38.37) о Это и есть момент инерции пластинки единичной плотности и с единичной площадью сечения. 203 Ф и з. 88.18.
Двутавровал балка. Уравнение (38,36) дает нам соотношение между изгибающим моментом % 'и кривизной балки 1/Л. «)Кестность» балки пропорциональна У и моменту инерции 1. Другими словами, если вы хотите какую-то балку, скажем из алюминия, сделать как можно ткестче, то вы должны как можно больше вещества поместить как моявно дальше от оси, относительно которой берется момент инерции. Но етого нельзя доводить до предела, ибо тогда балка не будет искривляться так, как мы предположили: оиа согнется или скрутится и снова станет слабее.
Вот почему каркасные балки делают в форме буквы 1 или Н (фиг. 38.13). В качестве примера применения нашего уравнения (38.36) для балки вычислим отклонение консольной балки под действием сосредоточенной силы И', действующей на ее свободный конец (фиг. 38.14). (Консольная балка закреплена одним концом, который вмурован в стенку.) Какая яве тогда будет форма балки? Обозначим отклонение на расстоянии х от закрепленного конца через а; мы хотим найти з(х). Будем вычислять только малые отклонения. Как вы знаете из курса математики, кривизна 1/В любой кривой з(х) задается выражением 1 бвг/Ыхг Нас интересуют только малые изгибы (обычная вещь в инженерных конструкциях), позтому квадратом производной (огз/с(х)з можно пренебречь по сравнению с единицей и считать (38.36) Нам нужно еще знать изгибающий момент И. Он является функцией от х„так как в любом поперечном сечении он равен Ф и г.
ВВЛ8. Коксольиал балка с нагрузкой ка конце. моменту относительно нейтральной оси. Весом самой балки пренебрежем и будем учитывать только силу И', действующую вниз на свободный ее конец. (Если хотите„можете сами учесть ее вес.) При этом изгибающий момент на расстоянии х равен ибо это и есть момент сил относительно точки х, с которым действует грув И', т. е. груз, который должен поддерживать балку. Получаем У1 с(ее И" (Х,— х) = — =У1 —,, с(ее 'ее' ох У1 — = — (1 — х).
(38.40) Это уравнение можно проинтегрировать без всяких фокусов и получить (38.44) т. е. отклонение возрастает пропорционально кубу длины балки. При выводе нашей приближенной теории мы предполагали, что при изгибании поперечное сечение бруска не изменяется. Когда толщина бруска мала по сравнению с радиусом кривизны, поперечное сечение изменяется очень мало и все отлично. Однако в общем случае этим эффектом пренебречь нельзя — согните пальцами канцелярскую резин- ку и вы сами убедитесь в атом.
Если первоначально поперечное сечение было прямоугольным, то, согнув резинку, вы увидите, как она выпирает у осно- Ф и е, оо.1б. Согнутое рееиссиа (а) и ее поперечное сечение (б). воспользовавшись предварительно нашим предположением, что г(0)=0 и что 3з/с(х в точке х=0 тоже равно нулю. Это и есть граничные условия. А отклонение конца будет з(1) И' 1.е (38.42) вания (фиг. 38Л5). Это получается потому, что, согласно отношению Пуассона, при сжатии основания материал «раздается» вбок. Резинку очень легко согнуть или растянуть, по она несколько напоминает жидкость в том отношении, что изменить ее объем очень трудно.
Это и скааывается при сгибании резинки. Для несжимаемых материалов отношение Пуассона было бы точно равно '/„для резинки же оно близко к этому числу. ф б. Лродолънъ«й «гвг«гб Теперь воспользуемся нашей теорией, чтобы понять, что происходит при продольном изгибе бруска, опоры или стержня. Рассмотрим то, что изображено на фиг. 38Л6. Здесь стержень, обычно прямой, удерживается в согнутом виде двумя противоположными силами, давящими на его концы. Найдем форму стержня и величину сил, действующих на концы. Пусть отклонение стержня от прямой линии между концами будет у(х), где х — расстояние от одного конца.
Изгибающий момент% в точке Р на рисунке равен силе г', умноженной на плечо, перпендикулярное направлению у: Й((х) =Гу. Воспользовавшись выражением для момента (38.36), имеем уг П= (38.44) Прн малых отклонениях можно считать 1/гг = — д»у/ох» (отрицательный знак выбран потому, по кривизна направлена вниз). Отсюда бар (38.45) т. е. появилось дифференциальное уравнение для синуса. Таким образом, для малых отклонений кривая такого про. дольно изогнутого стержня представляет синусоиду, «Длина волны» Х этой синусоиды в два раза больше расстояния Е между концами. Если изгиб невелик, она просто равна удвоенной длине неизогнутого стержня.
Таким образом, полу- Ф а а. Ззлб. Прод«лько аэогкр- таа балка. чается кривая ЛХ у = Кз(в —. Ь Беря вторую производную, находим дву кк дав — — — — у Сравнивая это с (38.45), видим, что сила равна 7=Я»1 —,. (38.46) Для малого продольного изгиба сила не зависит от перемеи)ения у! Физически я«е получается вот что. Если сила Г меньше определяемой уравнением (38.46), то никакого продольного изгиба не происходит.
Но если она хоть немного болыае этой силы, то балка внезапно и очень сильно согнется, т. е. под действием сил, превьппающих критическую величинуязу11Х» (частоназываемую «силой Эйлера»), балка будет «гнуться». Если на втором этаже здания разместить такой груз, что нагрузка на поддерживающие колонны превысит силу Эйлера, то здание рухнет. Другая область, где очень важны продольно изгибающие силы,— зто космические ракеты. С одной стороны, ракета должна выдерживать свой вес на стартовой площадке и вынести напряжения во время ускорения, а с другой — очень важно свести вес всей конструкции до минимума, чтобы полезная нагрузка и полезная мощность двигателей были как можно больше.
Фактически превышение силы Эйлера вовсе не означает, что после этого балка полностью разрушится. Когда отклонение становится большим, сила благодаря члену (Нзфк)» в уравнении (38.38), которым мы пренебрегли, будет на самом деле больше вычисленной. Чтобы найти силы при большом продольном изгибании стержня, мы должны вернуться к точному уравнению (38.44), которое получалось до использования приближенной связи между В и у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
