Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 37
Текст из файла (страница 37)
ддд. Рас яжение бруска иод действием однородной нагругки. гом поведении. Сначала мы выпишем фундаментальный закон упругости, а затем применим его к нескольким различным ситуациям. Предположим, что мы веяли прямоугольный брусок длиной 1, шириной кв н высотой Ь (фиг. 38.1). Если мы потянем за его конец с силой Р, то его длина увеличится на Л~. Во всех случаях мы будем предполагать, что изменение длины составляет малую долю от первоначальной. На самом деле материалы, подобные стали или дереву, разрушаются еще до того, как изменение длины достигнет нескольких процентов от первоначального значения.
Опыты показывают, что для большого числа материалов при достаточно малых удлинениях сила пропорциональна удлинению (38.1) Это соотношение известно как закон Гука.. Удлинение бруска Л~ зависит и от его длины. Это можно продемонстрировать следующими рассуждениями.
Если мы скрепим вместе два одинаковых бруска конец к концу, то на каждый будет действовать одна и та же сила и каждый из них удлинится на ЛЛ Таким образом, удлинение бруска длиной 2~ будет в два раза больше удлинения бруска того же поперечного сечения, но длиной 1. Чтобы получить величину, полнее характеризующую сам материал и менее зависящую от формы образца, будем оперировать отношением Л1Д (удлинение к первоначальной длине). Это отношение пропорционально силе, но не зависит от й (38.2) Сила Р зависит также от площади сечения бруска. Предположим, что мы поставили два бруска бок о бок. Тогда для данного удлинения Л1 мы должны приложить силу Р к каждому бруску, или для комбинации двух брусков требуется вдвое болыпая сила. При данной величине растяжения сила должна быть пропорциональна площади поперечного сечения бруска А.
Чтобы получить закон, в котором коэффициент пропорциональности не зависит от размеров тела, мы для прямоугольного бруска будем писать закон Гука в вице Р=УА — . (38.3) Постоянная У определяется только свойствами природы материала; ее нааывают модулем Юнга, (Обычно модуль Юнга обозначается буквой Е, но эту букву мы уже использовали для электрического поля, для энергии и для э.
д. с., так что теперь лучше взять другую.) Силу, действующую на единичной п«ощади, называют напряжением, а удлинение участка, отнесенное к его длине, т. е. относительное удлинение называют деформацией, Уравнение (38.3) можно переписать следующим образом: —,-У>(-, Р Ж (38.4) Напряжение (Модуль Юнга) Х (Деформация). При растяжении, подчиняющемуся закону Гука, возникает еще одно осложнение: если брусок материала растягивается в одном направлении, то под прямым углом к растяжению он сжимается. Уменьшение толщины пропорционально самой толщине ю и еще отношению И/1. Относительное боковое сжатие одинаково как дчя ширины, так и для его высоты и обычно записывается в виде (38.5) где постоянная а характеризует новое свойство материала и называется отношением Пуассона. Это число положительное по знаку, по величине меньше >/,.
(То, что постоянная и в общем случае должна быть положительной, «разумно», но ниоткуда не следует, что она должна быть такой.) Две константы У и а полностью определяют упругие свойства однородного иготропнего (т. е. некристаллического) материала. В кристаллическом материале растяжение и сокращение в разных направлениях может быть различным, поэтому и упругих постоянных может быть гораздо больше. Временно мы ограничим наши обсуждения однородными изотропными материалами, свойства которых могут быть описаны постоянными оиУ. Как обычно, существует множество способов описания свойств. Некоторым, например, нравится описывать упругие свойства материалов другими постоянными. Но таких постоянных всегда берется две, и они могут быть связаны с нашими о и У.
Последний общий закон, который нам нужен,— это принцип суперпозиции. Поскольку оба закона (38.4) и (38.5) линейны в отношении сил и перемещений, то принцип суперпозиции будет работать. Если при одном наборе сил вы получаете некоторое дополнительное перемещение, то результирующее перемещение будет суммой перемещений, которые бы получились при независимом действии этих наборов сил. Теперь мы имеем все необходимые общие принципы: принцип суперпозиции и уравнения (38.4) и (38.5), т. е.
все, что куя<- но для описания упругости. Впрочем, с таким гке правом можно было заявить: у нас есть законы Ньютона, и зто все, что нужно для механики. Или, задавшись уравнениями Максвелла, мы имеем все необходимое для описания электричества. Оно, конечно, так; из зтих принципов вы действительно можетеполучить почти все, ибо ваши теперешние математические возможности позволяют вам продвинуться достаточно далеко. Но мы все же рассмотрим лишь некоторые специальныо приложения. З й. Однородная деФоудгатдтгя В качество первого примера посмотрим, что происходит с прямоугольным бруском при однородном гидростатическом сжатии. Давайте поместим брусок в резервуар с водой.
При этом возникнет сила, действующая на каждую грань бруска и пропорциональная его площади (фиг. 38.2). Поскольку гидростатическое давление однородно, то напряжение(сила на единичную площадь) на каждой грани бруска будет одним и тем же. Прежде всего найдем изменение длины бруска. Его можно рассматривать как сумму изменений длин, которые происходили бы в трех независимых задачах, изображенных на фиг. 38.3. Задача 1. Если мы приложим к концам бруска давление р, то деформация сжатия будет отрицательна и равна р/У; осе У Задача 3.
Если мы надавим на горизонтальные грани бруска, то деформация по высоте будет равна — р/У', а соответ- Фиг. дд.д, Брусок код действием р Ровномерноео еидростотикеского довввнин. $9$ Ф и е. 88.8. е идростатииесное довеение равно сунерноэиоии трех сжатий. ствующая деформация в боковом направлении будет + ор/У'. Мы получаем — '= +о —. ! и Задача 8. Воли мы приложим к сторонам бруска давление р, то деформация давления снова будет равна р/У, но теперь нам нужно определить деформацию длины.
Для этого боковую деформацию нужно умножить на — о. Боковая деформация равна Лэо р у так что Лез Р— =+о— У Комбинируя результаты этих трех задач, т. е. эаписывая Ы как Лев+ Ыэ+ Ыэ, получаем — = — — (э — 2о). М р У (38.6) Задача, разумеется, симметрична во всех трех направлениях, поэтому — = — = — — (1 — 2а). Лэо ЛЬ р эо Ь у (38.7) Интересно также найти изменение объела при гидростатическом давлении. Поскольку у =еиэй, то для малых перемещений можно записать Ле' Л1 Лиэ ЛЬ вЂ” — + — + — ° У ~ иэ Ь Воспользовавшись (38.6) и (38.7), мы имеем ЛУ р — — 3 — (1 — 2о).
у у (38.8) Ф и г. д8.4. Однороднна сдвиг. Имеготся любители называть Л в'/ в' об»емкой деформацией и писать ЛУ р= — К вЂ”. У Объемное напряжение р (гидростатическое давление) пропорционально вызванной им объемной деформации — снова закон Гука. Коэффициент К называется объемным модулем и связан с другими постоянными выражением К= 3 ($ — 2о) (38.9) Изменение я<е высоты по вертикали равно просто тому же выраясению с обратным знаком. т »е з«9 Поскольку коэффициент К представляет некоторый практический интерес, то во многих справочниках вместо У и о приводятся У и К.
Но если вам нужно знать а, то вы всегда можете получить это значение из формулы (38.9). Из атой формулы видно также, что коэффициент Пуассона а должен быть меньше »/ . Если бы это было не так, то объемный модуль К был бы отрицательным и материал прн увеличении давления расширялся бы. Это позволило бы добывать механическую энергию из любого кубика, т. е. это означало бы, что кубик находится в неустойчивом равновесии. Если бы он начал расширяться, то расширение продолжалось бы само по себе с высвобождением энергии. Посмотрим, что получится, если мы приложим к чему-то «косое» напряжение. Под косым, или скалывающим, напршкением мы подразумеваем такое воздействие, как показано на фиг. 38.4. В качестве предварительной задачи посмотрим, какова будет деформация кубика под действием сил, показанных на фиг.
38.5. Снова можно разделить эту'задачу на две: вертикальное давление и горизонтальное растяжение. Обозначая через А площадь грани кубика, мы получаем для изменения горизонтальной длины ~~1 1 Р «Р 1+о Р—,= — — +а — — = — —. Т У А У А У А (38 ЛО) Ф и г. 58.5. Деиствие агсимающих сил, дагнщих на вершину и основание, и равных им растпгивающих сил с двух спьорон. Предположим теперь, что мы имеем тот >не самый кубик, и подвергнем его действию сдвиговых сил, показанных на фиг. 38.6, а.
Заметим' теперь, что все силы должны быть равными, ибо на тело не должен действовать никакой момент сил и оно должно находиться в равновесии. (Подобные силы должны действовать также и в случае, изображенном на фиг. 38.4, поскольку кубик находится в равновесии. Они обеспечиваются тем, что кубик еприклеен» к столу.) При таких условиях говорят, что кубик находится в состоянии чистого сдвига. Но обратите внимание, что если мы разрежем кубик плоскостями под углом 45', скажем, вдоль диагонали А на фиг. 38.6, о, то полная сила, действующая в этой плоскости, нормальна к ией и равна 'у' 26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
