Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 41
Текст из файла (страница 41)
1 2. ленеор упругоеты Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами — с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что аакон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. В гл.
31 мы определили тензор напряжений Я; как 1-ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси 1. Занан Гука говорит, что каждая компонента Б;1 линейно связана с каждой компонентой напрялгения. Но поскольку Я н 1 содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется 9 х 9=81 возможный козффицнент. Если материал однороден, то все зги козффициенты будут постоянными. Мы обозначим их С, определив посредством уравнения Яг — — 2,' Сг1ы евв (39 12) где каждый значок 1, у, )г и 1 может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты Сгуы связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор — на этот раз тензор четвертого ранга.
Мы молгем назвать его тепзором упругости. Предпело»ким, что все Сыы известны и что к телу какой-то произвольной формы мы предложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций — тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что зто довольно сложная задача.
Если вам известны деформации, то из уравнения (39 12) моягно найти напрялгения, и наоборот. Но напряжения н деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, чтб происходит во всей остальной части материала. Наиболее простой способ подступиться к такой задаче— зто подумать об энергии. Когда сила Р пропорциональна перемещению х, скажем Р=)сх, то работа, затраченная на любое перемещение х, равна )схг/2. Подобным же образом знергия ш, запасенная в любой единице объела деформированного материала, оказывается равной ш = — ~'„, С»1т ег1 еы 1 (39 13) ци Полная же работа И', затраченная на деформацию всего тела, будет интегралом от ш по всему его объему: Г 1 И'=) 2 ~» Сгдые,1еггсй'.
(39.14) 1м 214 1! а и~ = — ~С„„„„е„, + С„„„„е„„е„+ С„„„,е„„е„, + +С„„„е„„е +С„„„е„„е +... и т. д. + +С е' +... н т. д.... и т. д...~, (39.15) т. е, всего 81 слагаемое! Но кубический кристалл обладает определенными симметриями. В частности, если кристалл повернуть ка 90', то все его физические свойства останутся теми же. Например, у него должна быть одна и та же жесткость относительно растяжении как в направлении оси у, так и в направлении оси х. Следовательно, если мы переменим наши определения осей координат х и у в уравнении (39Л5), то энергия не должна измениться. Поэтому для кубического кристалла (39.16) ~ххххх Суууу = Сггяю Мы можем еще показать, что компоненты, наподобие С„„„, должны быть нулями.
Кубический кристалл обладает тем свойством, что он симметричен при отражении относительно любой плоскости, перпендикулярной к одной из осей координат. Коли мы заменим р па — у, то ничего не должно измениться. Но изменение р на — р меняет е„г на — е„, так как перемещение в направлении +у будет теперь перемещением в направлении — у. Чтобы энергия при этом не менялась, С„„„должно переходить в — С„„, . Но отраженный кристалл будет тем же, что и прежде, поэтому С„„„г должно бытыиаким лсе, как и — С„„„.
Это может произойти только тогда, когда оба онн равны нулю, 215 Следовательно, это и есть потенциальная энергия, запасенная во внутренних напряжениях материала. Когда тело находится в равновесии, эта внутренняя энергия должна быть минимальной. Таким образом, проблема определения деформаций в теле может быть решена нахождением таких перемещений и по всему телу,при которых гр минимальна.
В гл. 19 (вып. 6) я говорил вам о некоторых общих идеях вариационного исчисления, применяемого при решении задач на минимизацию подобного рода. Однако сейчас мы больше не будем вдаваться в подробности этой задачи. Сейчас нас главным образом будет интересовать то, что можно сказать относительно общих свойств тензора упругости. Прежде всего ясно, что на самом деле в С содержится не 81 различный параметр.
Поскольку Юу и еы — симметричные тензоры, каждый из которых включает только шесть различных элементов, то Сы, состоит максимум из 36 различных компонент. Обычно я~в их гораздо меньше. Рассмотрим специальный случай кубического кристалла, Плотность энергии ю для него получается такой: Схлх«( Суууу Сг«е«) ~ Сллуу ( ' уугз С«хгг н т д')~ Слугу ( Сулу« Схгг«и т' д')' (39Л7) Плотность же знергии для кубического кристалла выглядит так: = л ««С„„„„(е„',+е'„+е,*,)+ (39,18) Ъ' изотропного, т. е.
некристаллического, материала симметрия еще выше. Числа С доля<вы быть теми же самыми при любом выборе осей координат. При етом, как оказывается, существует другая связь между коэффициентами С: (39.19) Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тензор напряжений Ю; должен быть связан с е, способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин.
«Это очень просто»,— скажете вы. «Единственный способ получить Яп из е, — умножить последнее на скалярную постоянную. Получйтся как раз закон Гука«дп — — (Постоянная) х е«у». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вставить единичный тензор бы, умноженный иа некоторый скаляр, линейно связанный с е; . Единственный инвариант, который можно составить и которйй линеен по е,— это ~~«~~ . (Он преобразуется подобно хг+ уг + зг, а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связываю- Но вы можете сказатгк «Рассуждая таким же образом, можно сделать и С =О!» Это неверно.
Ведь здесь у нас четыре игрека. Кан«дйй р изменяет знак, а четыре минуса дают плюс. Если у встречается дза или четыре раза, то такие компоненты не должны быть равны нулю. Нулю равны только те компоненты, у которых р встречается либо один, либо три раза. Таким образом, для кубического кристалла не равны нулю только те С, у которых один и тот же значок встречается четное число раз. (Рассуждения, которые мы провели для у, имеют силу и для х и для г.) Таким образом, выживают только компоненты типа С„„, С„„„С„„и т.
д. Однако мы уже показали, что если изменить все х на р и наоборот (нли все г на х и т. д.), то для кубического кристалла мы должны получить то «ке самое число. Это означает, что остаются всего три различные ненулевые возможности: щего Я,. с еы для изотропного материала, будет Я~ — — 2ре, + й Д",е»») б» . (39.20) (Первая константа обычно записывается как 2 )г; при этом коэффициент р равен модулю сдвига, определенному нами в предыдущей главе.) Постоянные р и Х называются унругими постоянными Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39А2), вы видите, что С„„л — — ), (39.21) ккУУ 1+о ~ $ 2о) ' (39.22) Я 3.
Движегг«гя е у»»ругом и»еле Мы подчеркивали, что в упругом теле, находящемся в раеноеесии, внутренние напряжения распределяются так, чтобы энергия была минимальной. Посмотрим теперь, что происходит, если внутренние силы не ураеноеешены. Возьмем маленький кусочек материала внутри некоторой поверхности А (фиг. 39.5).
Если этот кусочек находится в равновесии, то полная действующая на него сила г должна быть равна нулю. Можно считать, что эта сила состоит из двух частей, одна из которых обусловлена «внешними» силами, подобными гравитации, действующими на расстоянии па вещество нашего кусочка и приводящими к величине силы на единицу объема г,„, „. Полная же внешнян сила Г,», „равна интегралу от(„„„, „по всему объему кусочна: а,„, „= ) Г,„, „ат.
(39.23) В равновесии зти силы балансируются полной силой Р,„ действующей по поверхности А со стороны окружающего мате- 2»7 Таким образом, мы доказали, что уравнение (39Л9) действительно правильное. Вы видите также, что упругие свойства изотропного материала, как уже говорилось в предыдущей главе, полностью задаются двумя постоянными. Коэффициенты С могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, например через модуль Юнга У и отношение Пуассона о.
На вашу долю оставляю показать, что Ф и е. ор.б. Маленький клемент обвели 'е', ограниченный новерхноетью А. где р — плотность материала, а г — его ускорение. Теперь мы монсен скомбинировать уравнения (33.23) и (39.24) и написать У,„, =~( — Г,т „+рг)Л'. (39.25) Нашу запись можно упростить, положив Г= — Г,„, „+рг. Тогда уравнение (39.25) запишется в виде У,„пи= ) ГЛ".
(39.26) (39.27) Величина, названная нами г,„, связана с напряжениями в материале. Тензор напряжений о; был определен нами в гл. 31 таким образом, что х-компонента сйлы дР, действующей на элемент поверхности Иа с нормалью и, задается выражением ИГ„= (акоп„+ $„~п + Вкепе) ееа. (39.28) Отсюда х-компонента силы Р,„мо, действующей на наш кусочек, равна интегралу от еег" по всей поверхности. Подставляя это в х-компоненту уравйения (39.27), получаем ) (Бккп„+В и +Ялов,) да= ) ~„евое. (39.29) А о Оказалось, что поверхностный интеграл связан с интегралом по объему, а это напоминает нам нечто знакомое по главам об электричестве.
Заметьте, что если не обращать внимания на первый значок х в каждом из Я в левой части (39.29), то она выглядите точности как интеграл от величины (Я и), т. е. нормальной компоненты вектора по поверхности. Она была бы равна 218 риала. Когда же этот кусочек не находится в равновесии, а движется, сумма внутренних и внешних сил будет равна произведению массы на ускорение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
