Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(39.45) Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с атомом 1, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только х- ну-компоненты деформации, вклад в них дает еще некоторая добавочная энергия, связанная с диагональными соседями вне плоскости ху. Эта добавочная энергия равна (39.46) Упругие постоянные связаны с плотностью энергии в> уравнением (39.13). Энергия, которую мы вычислили, связана с одним атомом, точнее это удвоенная энергия, приходящаяся на один атом, ибо на каждый из двух атомов, соединенных пружинкой, должно приходиться по >/ ее энергии.
Поскольку в единице объема находится 1/ав атомов, то к> н П связаны соотношением оа И> 2ао Чтобы найти упругие постоянные С, „„нужно только возвести в квадрат суммы в скобках в уравнении (39.45), прибавить (39.46) и сравнить коэффициенты при е„е, с соответствующими коэффициентами в уравнении (39.13). Йапример, собирая слагаемые с е„„и в, мы находим, что множитель при нем уу' равен (/в, +2йа) а', поэтому С С й>+ 2йо хххх уууу а В остальных слагаемых нам встретится небольшое усложнение, Поскольку мы неможемотличить произведения е„„е от е е„„, то коэффициент при нем в выра>кении для энергий равен сумме двух членов в уравнении (39.13). Коэффициент при ех„е в уравнении (39.45) равен 2ха, так что получаем Однако из-за симметрии выражения для энергии при перестановке двух первых значений с двумя последними можно считать, что С«х С „„, поэтому «в С«»уу уухх а Таким же способом можно получить « *С »уху уху» Заметьте, наконец, что любой член, содержащий один раз значок х или у, равен нулю, как это было найдено ранее из соображений симметрии.
Подытожим наши результаты: »в+ 2»в «ххх уууу а «в «уху уху» (39.47) »в ххуу уухх хуу» у»ху а Итак, оказалось, что мы способны связать макроскопическне упругие постоянные с атомными свойствами, которые проявляются в постоянных «, и «в. В нашем частном случае С„ух =С»а . Эти члены для кубического кристалла, как вы, вероятно, заметили из хода вычислений, оказываются всегда равными, какие бы силы мы нп принимали во внимание, но только при условии, что силы действуют вдоль линии, соединяющей каждую пару атомов, т.
е. до тех пор, пока силы между атомами подобны пружинкам и не имеют боковой составляющей (которая несомненно существует прв ковалентной связи). Наши вычисления можно сравнить с экспериментальными намерениями упругих постоянных. В табл. 39.2 приведены наблюдаемые величины трех упругих коэффициентов для некоторых кубических кристаллов х. Вы, вероятно, обратили внимание на то,что Схх,вообще говоря, не равно С„х .
Причина ааключается в том, что в металлах, подобных йатрию и калию, мел<атомные силы не направлены по линии, соединяющей атомы, как предполагалось в нашей модели. Алмаз тоже не подчиняется этому закону, нбо силы в алмазе — это ковалентные силы, которые обладают особым свойством направленности: «прук<инки» предпочитают связывать атомы, расположенные в вершинах тетраэдра. Такие ионные кристаллы, как фтористый литий или хлористый натрий и т. д., обладают " в» литературе вы часто столкнетесь с другкмк обозначениями. Так, многие кашу<: с»»«» = СВ< Сххуу Свв в< Схуху Свв Таблица 29.2 ° ъпрттнв ПОСтоянНЫК КУБИЧКСКИХ КРИСТАЛЛОВ В ! О" дин смс (В 1Ос нснннсн мс1 Кристалл *"уу Сауна почти всеми фиэическнми свойствами, предполояОенными в нап1ей моДели; согласно Данным табл. 39,2, постоЯнные Сх Я ххуу С у ннх почти равны. Только хлористое серебро почему-то духу не хочет подчиняться условию Сх„ = С„ „ .
!ц К Уе Алмаа А! 1!У ЯаС! КС1 !ЧаВО К7 А8С! 0,055 0,046 2,37 10,76 1,08 1,19 0,486 0,40 0,33 0,27 0,60 0,042 0,049 0,037 0,026 1,41 1,16 1,25 5,76 0,62 0,28 0,54 0,53 0,127 0,128 0,062 0,062 0,13 0,13 0,043 0,042 0,36 0,062 Г,аава 40 ТЕЧЕНИЕ «СУХОЙ» ВОДЫ й К Гпдрзстз ч;г 2 х !'!в'с: ! . д$!!!:.!с'!!!ь 6 й ! ;и. ь."!ток; =.! с! . Ес~ь!!. ':к В 1. Гмдростпатныма Кого не пленяет течение жидкости, кто не любуется течением воды! Все мы в детстве - й П,ш„т ..., любили плескаться в ванне или возиться в гряз- ' ных лужах. Став постарше, мы восхюцались, б В„. плавным течением реки, водопадами и водо- воротами; мы любуемся ими, рядом с твердыми телами они кажутся нам почти одушевленными.
Предметом этой и следующей глав будет пове- дение н<идкости, столь неожвданное и столь интересное. Попытки ребенка преградить путь маленькому ручейку, текущему по улице, и его удивление перед тем, как вода умудряется все же пробить себе дорогу, напоминает наши мно- голетние попытки понять механизм течения жидкости. Мы пытались мысленно преградить путь воды дамбой, т. е.
получить законы и урав- нения, которые описывают поток. Рассказу об этих попьпках и посвящена настоящая глава. А в следующей главе мы опишем тот уникаль- ный способ, с помощью которого вода проры- вает дамбу и ускользает от нас, не дав нам понять ее. Я предполагаю, что элементарные свойства воды вам уже известны. Основное свойство, которое отличает в!идкость от твердого тела, заключается в том, что жидкость не способна сдерлсивать ни мгновение напряжения сдви- га.
Если к жидкости прнлоя<ить напряжение сдвига, то она начинает двигаться. Густые жидкости, подобные меду, движу~си менее легко, чем жидкости типа воды нли воздуха. Мерой легкости, с которой жидкость течет, является ее вязкость. В этой главе мы рас- смотрим такие случаи, когда эффектом вяз- кости можно пренебречь. А эффекты вязкости отложим до следующей главы.
Ф и е. 40.1. В неподвижной хсидкости сила, действующаа на единичную площадь любой поверхности, перпендикуларна втой поверхности и при любых ориентачилх иоверхноппи одна и та же. Начнем с рассмотрения гидросшатини, т. е. теории неподвижной н<идкости. Если жидкость находится в покое, то на нее не действуют никакие сдвиговые силы (даже в вязкой жидкости). Поэтому закон гидростатики заключается в том, что напряжения внутри жидкости всегда нормальны к любой ее поверхности. Нормальная сила на единичную площадь называется давлением. Из того факта, что в неподвижной жидкости нег сдвигов, следует, что напряжение давления во всех направлениях одинаково (фиг.
40.1). Займитесь самостоятельно доказательством того, что если на люоой плоскости в жидкости сдвиг отсутствует, то давление во всех направлениях должно быть одинаковым. Давление в жидкости ьшлсет изменяться от точки к точке. Так, в неподвюкной жидкости на поверхности Земли давленис будет изменяться с высотой из-за веса ясидкости. Если плотность жидкости р считается постоянной и давление на некотором нулевом уровне обозначено через ро(фиг. 40.2), то давление на высоте й над этой точкой будет р=ро — рбй,где д — сила тяжести единицы массы. Комбинация р+ рдй Поверхность в неподвижной жидкости остается постоянной. Вы знаете это соотношение, но теперь мы получим более общий результат, где на- ше соотношение будет Ф и г.
йд.у. Давление в не подвихсной жидкости. Ф и а. 40.3. Полная сила ~+'а ь, в~м Б д Ю х 4х х+Зх лишь частным случаем. Возьмем маленький кубик воды. Какая сила действует на него в результате оказываемого давленияг Поскольку давление в любом месте во всех направлениях одинаково, то полная сила, действующая на единицу объема, может быть обусловлена только изменением давления от точки к точке. Предположим, что давление изменяется в направлении оси х, и выберем направления других осей координат параллельно ребрам кубика.
Давление на грань с координатой х дает силу рбрбз (фиг, 40.3), а давление на грань с координатой х + Лх дает силу — (р+(др!дх)бх) арубе, так что результирующая сила равна — (др!дх) Ьхйуйз. Если же мы учтем остальные пары граней куба, то нетрудно убедиться, что сила давления на единичный объем равна — Чр. Если вдобавок есть еще и другие силы, наподобие силы тяжести, то давление при равновесии должно компенсироваться ими. Разберем случай, когда такие дополнительные силы можно описать потенциальной энергией, наподобие силы тяжести.
Обозначим через ~р потенциальную энергию единицы массы. (Для притяжения, например, ~р просто равно ях.) Сила, действующая на единичную массу, задается через потенциал у выражением — Ч~р, а если плотность жидкости равна р, то на единицу объема будет действовать сила — рт р. В состоянии равновесия зта действующая на единичный объем сила в сумме с силой давления должна давать нуль: -Чр-ртдр=о. (40Л) Это и есть уравнение гидростатики. В общем случае оно ке имеет решения. Если плотность изменяется в пространстве каким-то произвольным образом, то нет возможности уравновесить все силы и жидкость не может находиться в состоянии статического равновесия. В ней возникнут разные конвекционные потоки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
