Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Обратите внимание на одну интересную особенность, которая наблюдается в случае несжимаемого безвихревого потока (в общем случае ее нет): если у нас есть какое-то одно решение и какое-то второе решение, то сумма нх токае будет решением. Это справедливо потому, что уравнения (40Л9) — линенные. Полный же набор гидродинамических уравнений, т. е. уравнений (40.8) — (40.10), не линеен, а зто уже совсем другое дело. Однако для безвихревого потока вокруг цилиндра мы можем сложить один поток (фиг.
40.11,а) и другой поток (фиг. 40Л1,б) и получить новый вид потока (фиг. 40Л(,в). Этот новый поток особенно интересен. Скорость потока на верхней стороне цилиндра оказывается больше, чем на нижеевй, М9 так что когда на циркуляцию вокруг цилиндра налагается чистый горизонтальный поток, то возникнет действующая на цилиндр вертикальная сила; она называется подъемной силой.
разумеется, если циркуляция отсутствует, то в соответствии с нашей теорией «сухой» воды для любого тела суммарная сила обращается в нуль. ф б. Вихревые л««н«««« Мы уже выписывали общие уравнения потока несжимаемой ясццкости нри наличии завнхренности: (1) 7 ч=О, (и) И=7хч, (РП) ~~ +Чх(ах )=О. Физическое содерясание этих уравнений было на словах описано Гельмгольцем в трех теоремах.
Прежде всего представьте себе, что мы вместо линий потока нарисовали вихрев»ис линии. Под вихревыми линиями мы подразумеваем линии поля, которые имеют направление вектора»«, а плотность их в любой области пропорциональна величине 11. Из уравнения (11) дивергенция Й всегда равна нулю ]вспомните гл. 34 7(вып. 5) с дивергенция ротора всегда нуль]. Таким образом, вихревые линии подобны линиям поля В: они нигде не кончаются и нигде ие начинаются и всегда стремятся замкнуться. Формулу (111) Гельмгольц описал словами: вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Это означает, что если бы вы пометили частички жидкости, расположенные на некоторой вихревой линии, например окрасив их чернилами, то в процессе движения жидкости и переноса этих частичен они всегда отмечали бы новое положение вихревой линии.
Каким бы образом ни двигались атомы жидкости, вихревые линии движутся вместе с ними. Это один из способов описания законов. Он также содерясит и метод решения любых задач. Задавшись первоначальным видом потока, скажем задав всюду ч, вы можете вычислить Я. Зная ч, можно также сказать, где будут вихревые линии немного позднев: они движутся со скоростью ч. А с новым значением П можно воспользоваться уравнениями (1) и (11) и найти новую величину ч.
(Точно как в задаче о нахождении поля В по данным токам.) Воли нам задан вид потока в какой-то один момент, то в принципе мы мок«ем вычислить его во все последующие моменты. Мы получаем общее решение невязкого потока. Мне бы хотелось показать вам, как (по крайней мерв частично) можно понять утверждение Гельмгольца, а следова- Ф и г. 40ЛЗ. Группа вихревых линий в момент В (а) и ии хсв самые линии в более поздний момент в' (б). l ~г длои)одь А тельно, формулу (ПП. Фактически это просто закон сохранения момента импульса, примененный к жидкости. Представьте / ~г л себе маленький жидкий Площадь цилиндр, ось которого л параллельна вихревым линиям (фиг. 40.13,а). Спустя некоторое время, тот осе самый объем неидкости бу- й дет находиться где-то в другом месте.
Вообще говоря, он будет иметь форму цилиндра с другим диаметром и находиться в другом месте. Он может еще иметь другую ориентацию (фиг. 40.13,б). Но если изменяется диаметр, то длина тонге должна иамениться так, чтобы объем остался постоянным (поскольку мы считаем жидкость несжимаемой). Кроме того, поскольку вихревые линии связаны с веществом, их плотность увеличивается обратно пропорционально уменьшению площади поперечного сечения цилиндра. Произведение 1е на площадь цилиндра А будет оставаться постоянной, так что в соответствии с Гельмгольцем ЯгА, = й,А,. (40.21) Теперь обратите внимание, что при нулевой вязкости все силы на поверхности цилиндрического объема (или любого объема в этом веществе) перпендикулярны поверхности. Силы давления могут заставить его изменить форму, но без танеенциальных сил величина леомента количества движенил жидкостгс внутри измениться не может.
Момент количества двинеения жидкости внутри маленького цилиндра равен произведению его момента инерции Х на угловую скорость ясидкости, которая пропорциональна завихренности й. Момент же инерции ци- Ф и г. 40,1а. Раснространкющигса викрсвив кольца. линдра пропорционален тг». Поэтому из сохранения момента количества движения мы бы заключилн, что (м,л,') а, =(м,л',*) а,. Но масса будет одной и той же (М,=М,), а площадь пропорциональна Лз, так что мы снова получим просто уравнение (40.21). Утверждение Гельмгольца, которое эквивалентно формуле (П1), есть просто следствие того факта, что в отсутствие вязкости момент количества движения элемента жидкости измениться не может. Есть хороший способ продемонстрировать двиясущийся вихрь с помощью аппаратуры, показанной на фнг. 40.14.
Зто «барабан» диаметром и длиной около 60 скс, состоящий из цилиндрической коробки с натянутым на ее открытое основание толстым резиновым листом. Барабан стоит на боку, а в центре его твердого дна вырезано отверстие диаметром около 8 см.
Если резко ударить по резиновой диафрагме рукой, то из отверстия вылетает кольцевой вихрь. Хотя этот вихрь увидеть нельзя, можно смело утверждать, что он существует, так как он гасит пламя свечи, стоящей в 3 — 6 кс от барабана. По запаздыванию этого эффекта вы можете сказать, что «нечто» распространяется с конечной скоростью. Лучше разглядеть то, что вылетает, можно, предварительно напустив в барабан дыму. Тогда вы увидите вихри в виде изумительно красивых колец «табачного дыма». Кольца дыма (фиг. 40.15,а) — это просто баранка из вихревых ливий.
Поскольку 0=7 Х т, то этн вихревые линии описывают также циркуляцию ч (фиг. 40.15,б). Для того чтобы объяснить, почему кольцо движется вперед (т. е. в направлении, составляющем с направлением а правый винт), можно рассуждать так: скорость циркуляции увеличивается к внутренней поверхности кольца, причем скорость внутри кольца направлена вперед.
Поскольку линии 9 переносятся вместе с жидкостью, то и они движутся вперед со скоростью ч. (Конеч- Вокрсчо лани Ф и е. «О.И. Движущееся вихревое кольцо (а) и вво понереч. ное сечение (б). апроелвнвв в«женин Вверг«осе в Иоааеленае деаясвная но, большая скорость на Ф внутренней части кольца ответственна за движение О «з вперед вихревых линий б» Э О на его внешней части.) Здесь необходимо указать на одну серьезную трудность. Как мы уже отмечали, уравнение (40.90) З говорит, что если первоначально завихренность »« была равна нулю, то е она всегда останется разной нулю. Этот результат — крушение теории «сухой» воды, ибо он означает, что если в какой-то момент значение й равно нулю, то оно всегда будет равно нулю, и ни при каких обстоятельствах создать завихренность нельзя.
Однако в нашем простом опыте с барабаном мы могли породить вихревые кольца в воздухе, который до того находился в покое. (Ясно, что пока мы ве ударили по барабану, внутри него у=О и 0=0.) Все анают, что, загребая веслом, можно создать в воде вихри.
Несомненно, для полного понимания поведения жидкости следует перейти к теории «мокрой» воды. Другим неверным утверждением в теории «сухой» воды является предположение, которое мы делали при рассмотре-' нии потока на границе между ним и поверхностью твердого предмета. Когда мы обсуждали обтекание потоком цилиндра (например, фиг. 40.И), то считали, что жидкость скользит по поверхности твердого тела.
В нашей теории скорость на поверхности твердого тела могла иметь любое значение„зависящее от того, как началось движение, и мы не учитывали никакого «трения» между жцдкостью и твердым телом. Однако то, что скорость реальной жидкости доллсза на поверхности твердого тела сходить на нуль, — зкспериментальный факт. Следовательно, наши решения для цилиндра и с циркуляцией, и без иее неправильны, как и результат о создании вихря. О более правильных теориях я расскажу вам в следующей главе.
ТЕЧЕНИЕ «МОКРОИэ ВОДЫ $ 1.Вязкость й 2.В«зкн<< поток ф 1..Вяамоетпь В предыдущей главе мы говорили о поведении воды, пренебрегая при этом аффектами вязкости. Теперь я<с мне хотелось бы обсудить, как вязкость влияет на течение жидкости. Рассмотрим реальное поведение жидкости. Я опишу качественно, как ведет себя жидкость в самых разных условиях, так чтобы вы получше'прочувствовали эту науку. И хотя вы увидите сложные уравнения и услышите о трудных вещах, наша цель совсем не в том, чтобы изучить все тонкости. Цель этой главы скорее «общеобразовательная», просто я хочу дать вам некоторое понятие о том, как устроен мир. Однако здесь все же есть один пункт, который отбит того, чтобы его выучить:полезно знать простое определение вязкости. С него мы и начнем.
Все же остальное предназначено для вашего удовольствия. В предыдущей главе мы нашли, что законы движения жидкости содержатся в уравнении — + (т Ч) т = — — Р— Ч<р+ — "'" . (41Л) дс р В нашем приблия<ении «сухой» воды мы отбрасывали последнее слагаемое, так что всеми аффектами вязкости мы пренебрегали. Кроме того, мы иногда делали еще дополнительное приближение, считая х<идкость несжимаемой, и при атом получали дополнительное уравнение: Ч в=О. Это приближение часто оказывается вполне приличным, особенно когда скорость потока много меньше скорости звука.
Но в реальных 5 3.<1ис«о Рсйяольдса 4 4.0бтсканяо кругового цилиндра <) 5Л1редел пулсво, вязкости й 6Л1оток Кусттз жидкостях мы почти никогда не можем пренебречь внутренним трением, называемым нами вязкостью; большинство интересных вещей в поведении жидкости так или иначе связано именно с этим свойством. Так, мы узнали, что циркуляция «сухой» воды никогда не изменяется: если ее не было вначале, то она никогда и не появится. Но в то же время мы повседневно сталкиваемся с циркуляцией в жидкости. Так что нашу теорию надо подправить. Начнем с важного экспериментального факта.
Когда мы занимались потоком «сухой» воды, обтекающей какой-то предмет или текущей мимо него, т. е. так наэываемым «потенциальным потоком», у нас не было причин запретить воде иметь составляющую скорости, тангенциальную к поверхности предмета; только нормальная компонента должна была быть равна нулю. Мы не принимали во внимание воэможность возникновения сил сдвига между жидкостью и твердым телом. А вот оказывается, хотя это далеко и не очевидно, что во всех случаях, где это было проверено экспериментально, скорость жидкости на поверхности твердого тела в точности равна кулю.
Вы замечали, конечно, что лопасти вентилятора собирают на себя тонкий слой пйли, и это несмотря на то, что они вращаются в вовдухе. Тот. же эффект можно наблюдать даже в больших аэродинамических трубах. Почему же пыль не сдувается воздухом? Несмотря на то что лопасти вентилятора быстро вращаются в воэдухе,скорость воздуха относительно них,измеренная непосредственно на их поверхности, равна нулю, так что поток воэдуха не возмущает даже мельчайших пылинок *. Мы должны модифицировать теорию так, чтобы она согласовалась с тем экспериментальным фактом, что во всех обычных жидкостях молекулы, находящиеся рядом с поверхностью, имеют нулевую скорость (относительно поверхности ее).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
