Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Выражение (41.14) представляет как раз такую сумму с коэффициентами ц и (т~ + т)'). Мы получаем 1,„,„=ВЧзч+(ц+<)') Ч (Ч т). (41.15) В случае несжимаемой жидкости Ч т = 0 и вязкая сила в единице объема будет просто равна цЧст. Это и все, чем обычно пользуются; однако если вам понадобится вычислить поглощение звука в жидкости, то вам потребуется и второй член. Теперь мы можем закончить вывод уравнения движения реальной жидкости. Подставляя (41.15) в уравнение (41.1), получаем р ( — -~-(ч Ч)т~ = — Чр — рЧ<р+цЧ'т+(<)+«) Ч(Ч т).
Уравнение получилось, конечно, сложное, но ничего не поделаешь, такова природа. Если мы введем 1< Чх ч, как делали это раньше, то наше уравнение можно записать в виде р С вЂ” + й Х т+ — Чээ) — Чр — рЧ<р+ <)Ч'т+ (дс 2 +(<)-(-т)') Ч (Ч т). (41.16) Мы снова предполагаем, что единственными объемными силами являются консервативные силы типа сил тяжести.
Чтобы понять смысл нового члена, давайте рассмотрим случай несжимаемой жидкости. Если мы возьмем ротор уравнения (41.16), то получим —,+Рх(1)Х )'= —" У'1У. (41.17) Это напоминает (40.9) с той только разницей, что в правой части имеется еще одно слагаемое. Когда правая часть была равна нулю, то имелась теорема Гельмгольца о том, что вихри всегда двюкутся вместе с жидкостью. Теперь >ке в правой части появилось довольно сложное выражение, из которого, однако, не сразу же следуют физические выводы.
Если бы мы пренебрегли членом Р х (Я х ч), то получили бы диффузионное уравнение. Новый член означает, что вихри диффундируют в жидкости. При большом градиенте вихри расползаются в соседние области жидкости. Именно поэтому утолщаются кольца табачного дыма. С этим же связано красивое явление, возникающее при прохождении кольца «чистого» вихря (т. е. «бездымного» кольца, созданного с помощью описанной в предыдущей главе аппаратуры) через облако дыма. Когда оно выходит из облака, к нему «прилипает» некое количество дыма н мы видим полу<о оболочку из дыма.
Какое-то количество завихренности Я диффундирует в окружающий дым, продолжая свое движение вперед вместе с вихрем. ф а. Чнело Рейнолъдса Посмотрим теперь, как изменяется течение жидкости нз-за нового члена с вязкостью. Рассмотрим несколько подробнее две задачи. Первая — обтекание жидкостью цилиндра; эту задачу мы пытались решить в предыдущей главе, используя теорию невязкой жидкости.
Оказывается, что сегодня возможно найти решение вязких уравнений только для некоторых специальных случаев. Так что кое-что из того, что я расскажу вам, основано на экспериментальных измерениях, считая, конечно, что экспериментальная модель удовлетворяла уравнению (41.17). Математически задача состоит в следую<цем< мы хотим найти решение для потока несжимаемой вязкой жидкости вблизи длинного цилиндра диаметром 77. Поток долх<ен определяться уравнением (41.17) и Й=ЧХч (41.18) с условием, что скорость на больших расстояниях равна некоторой постоянной У (параллельной оси х), а на поверхности 9»» з«в цилиндра равна нулю. Так что Э =и си=-О х у з при Рз х'+уз = — .
(41 Л9) Это полностью определяет математическую аадачу. Если вы вглядитесь в зти выражения, то увидите, что в задаче есть четыре различных параметра: ц, р, О и К Можно подумать, что нам придется иметь дело с целой серией решений для разных У, разных Ю и т. д. Вовсе нет. Все возмоя<ные различные решения соответствуют разным значениям одпосо парадюира. Такова наиболее важная общая вещь, которую мы можем сказать о вязком потоке.
А чтобы понять, почему это так, заметьте сначала, что вязкость и плотность появляются в виде отношения ц/р, т. е. удельной вязкости. Это уменьшает число независимых параметров до трех. Предположим теперь, что все расстояния мы измеряем в единицах той единственной длины, которая появляется в задаче: диаметра цилиндра В, т. е. вместо х, у, г мы вводим новые переменные х', у', з', причем х = х'1), у = у'Ю, г = г'Ю. При том параметр Ю иэ (41Л9) исчезает. Точно так же если будем измерять все скорости в единицах У, т. е.
если мы подох~им р= р'у', то избавимся от У, а р'на больших расстояниях будет просто равно единице. Поскольку мы фиксировали наши единицы длины и скорости, то единицей времени теперь должно быть П/у', так что мы должны сделать подстановку' , Р $' (41.20) В наших новых переменных проиаводные в уравнении (41Л8) тоже изменятся: так, д/дх перейдет в (1/Ю) (д/дх') и т. д., так что уравнение (41Л8) превратится в й = Ч х ч = — Ч' х ч' = — Я'. Р Р (41.21) А наше основное уравнение (41Л7) перейдет в д", + Ч' х (й' х ч') = —" Чза'. ш' руР * Все постоянные при этом собираются в один множитель, который мы, следуя традиции, обозначим через 1/Я: а= — "рв. (41.22) ч Если теперь мы просто аапомним, что все наши уравнения должны выписываться для величин, иамеряемых в новых единицах, то все штрихи можно опустить.
Тогда уравнения для потока примут вид (41.23) й=чхч, с условиями ч=О для (41.24) для ха + рз + аз )~ 1 Что все зто значит? Если, например, мы решили задачу для потока с одной скоростью г и некоторого цилиндра диаметром В , а затем интересуемся обтеканием цилиндра другого диаметра 1), другой жидкостью, то поток будет одним и тем же при такой скорости 1'„которая отвечает тому же самому числу Рейнольдса, т. е. когда й1 = ~' ~'т1) =4Хз= ~' ~'Ф . Чй ' ' ' Чя (41.25) 263 9Ф В любых случаях, когда числа Рейнольдса одинаковы, поток при выборе надлежащего масштаба х', у', г' и Р будет «выглядеть» одинаково. Это очень важное утверждение, ибо оно означает, что мы можем определить поведение потока воздуха при обтекании крыла самолета, не строя самого самолета и не испытывая его.
Вместо этого мы можем сделать модель и провести измерения, используя скорость, которая дает то же самое число Рейнольдса. Именно этот принцип позволяет нам применять результаты измерений над маленькой моделью самолета в аэродинамической трубе или результаты, полученные с моделью корабля, к настоящим объектам, Напомню, однако, что это можно делать только при условии, что ся1имаемостью жидкости можно пренебречь. В противном случае войдет новая величина — скорость авука. При атом различные модели будут действительно соответствовать друг другу только тогда, когда отношение У к скорости звука тоже приблизительно одинаково. Отношение скорости У к скорости звука называется числом Маха.
Таким образом, для скоростей, близких к скорости звука или больших, поток в двух задачах будет выглядеть одинаково, если и число Маха и число Рейнольдса в обеии ситуациях одинаковы. й 4. Обееееесаеечее есгтугового гучелтеегдра Вернемся теперь обратно к задаче об обтекании цилиндра медленным (почти несжимаемым) потоком. Я дам вам качественное описание потока реальной жидкости. О таком потоке нам необходимо знать множество вещей.
Например, какая увлекающая сила действует на цилиндр? Сила, увлекающая цилиндр, показана на фиг. 41.4 как функция величины ск, которая пропорциональна скорости г", если все остальное фиксировано. Фактически на рисунке отложен коеффициент увлеченин Сл — безразмерное число, равное отношению силы к '/ерш'Ю! (ее — диаметр, 1 — длина цилиндра, а р — плотность жидкости); р Сл= 1 руетп 2 Коэффициент увлечения изменяется довольно сложным образом, как бы намекая нам на то, что в потоке происходит нечто интересное и сложное. Свойства потока полезно описывать для различных областей изменения числа Рейнольдса. Прежде всего, когда число Рейнольдса очень мало, поток вполне стационарен, скорость в любой точке потока постоянна и он плавно обтекает цилиццр. Однако распределение линий потока не похо'ке на их распределение в потенциальном потоке.
Онн ~О ИР Ие Юк Ие Ю' гО Я Ф и е. и1.к. Кееуккиииенке уелеченин Сл круееееее чиеиндри кек функции числа Реянклъдск. йв и в, в1.5. Вявкий каток вбвиви Кияикдра (какая вявковть). описывают решение несколько другого уравнения. Когда скорость очень мала или, что эквивалентно, вязкость очень велика, так что вещество по своей консистенции напоминает мед, можно отбросить инерционные члены и описать поток уравнением Это уравнение впервые было решено Стоксом. Он также решил задачу для сферы. Когда маленькая сфера двивкется при малых числах Рейнольдса, то к ней приложена сила, равная 6 яцав', где а — радиус сферы, а У вЂ” его скорость.
Это очень полезная формула: она говорит нам о скорости, с которой мельчайшие частички, которые приблюкенно можно считать шариками, движутся в жидкости под действием данной силы, как,например, в центрифуге, или при осаждении, нли, наконец, в процессе диффузии. В области малых чисел Рейнольдса, т.
е. при Я~1, линии ч вокруг цилиндра имеют такой вцд, как на фиг. 41.5. Если теперь мы увеличим скорость потока, так что число Рейнольдса станет несколько больше единицы, то увидим, что поток изменится. Как показано на фиг. 41.6, б,эа сферой возникнут вихри. До сих пор неясно, существовали ли вихри и прн малых числах Рейнольдса или же онн воэннкли неожиданно при некотором определенном числе? Обычно считали, что циркуляция нарастает постепенно.
Однако теперь думают, что скорее она проявляется неожиданно и воэрастает с увеличением Я. Во всяком случае, поток в районе от Я = 10 до Я = — 30 меняет свой характер. За цилиндром образуется пара вихрей. Когда число Рейнольдса проходит через значения в районе 40, поток снова меняется. Характер движения претерпевает неожиданное и резкое иэменение.
Один из вихрей эа цилиндром становится настолько длинным, что он отрывается и плывет вниз по течению вместе с жидкостью. При атом жидкость за цилиндром снова закручивается и возникает новый вихрь. Эти вихри поочередно отслаиваются то с одной, то с другой стороны, так что в какой-то момент поток выглядит приблизительно так, как показано на фиг. 41.6, в. Такой поток вихрей ЕЗ и г.
бв".б. Поток, обтекающий цилиндр, при равличник числак Рейнолвдса. называется вихревой цепочкой Кармана. Она всегда появляется для чисел Рейнольдса Я~40. Фотография такого потока показана на фиг. 41.7. Разница в режиме между двумя потоками, изображенными на фиг. 41.6, а, б или в, очень велика. На фиг.
41.6, а и б скорость постоянна, тогда как на фиг. 41,6, в скорость в любой точке иаменяется со временем. Выше.й =40 стационарное решение отсутствует; граница перехода отмечена на фиг. 41.4 пунктирной линией. Для таких более высоких чисел поток изменяется со временем некоторым регулярным периодическим образом. Создаются вихри. 266 Ф и г. о1.7.
Фотография цепочки вихрей в потоке га цияиийром. Можно представить себе физическую причину возникновения этих вихрей. Мы знаем, что на поверхности цилиндра скорость жидкости должна быть равна нулю, но при удалении от поверхности скорость быстро возрастает. Это большое местное изменение скорости жидкости и создает вихри. Когда скорость основного потока достаточно мала, у вихрей хватает времени, чтобы продиффундировать из тонкого слоя вблизи поверхности твердого тела, где они соадаются, и «расплыться» на большую область.
Эта физическая картина должна подготовить нас к следующему изменению природы потока, когда скорость основного потока или число Я увеличивается еще больше. По мере возрастания скорости у вихря остается все меньше и меньше времени, чтобы «расплываться» на большую область жидкости. К тому моменту, когда число Рейкольдса достигнет нескольких тысяч, вихри начинают заполнять тонкую ленту (фиг. 4г.6, г). В таком слое поток хаотичен и нерегулярен. Такая область называется пограничным слоем, и этот нерегулярный поток с увеличением Ж пробивает себе путь все дальше и дальше вниз по течению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
