Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Напишем теперь уравнение Бернулли для линии тока наподобие той, что показана на фиг. 40.7. В верхней части резервуара скорость о мы примем равной нулю; гравитационный потенциал ср здесь выберем тояее равным нулго. В отверстии же скорость равна р,„„, а ср= — лЬ, так что 1 а Ро=Ро+ 2 Рэвых — Рбй~ илн гвых = У 2оЬ (40Л8) Скорость получилась в точности равной скорости предмета, падающего с высоты Ь. В этом нет ничего удивительного — ведь в конечном счете вода на выходе получает свою кинетическую энергию из запаса потенциальной энергии воды, находящейся наверху резервуара.
Однако не воображайте, что вы мелеете определить скорость убывания жидкости из резервуара, умножив эту скорость рв „на площадь отверстия. Скорости частиц жидкости в тот момент, когда струя вырывается из отверстия, не параллельны друг другу, а имеют компоненту, направленную к центру потока; струя сужается.
Пройдя небольшое расстояние, струя перестает сжиматься, и скорости становятся параллельными. Таким образом, полный поток равен скорости, умноженной на площадь именно в тоэс зсеслсе, где сжатие струи прекратилось, На самом деле, если у нас есть выходное отвер- Ф и е. бд.д. Если еиеоднал труба оставлена внутрь жидкости, то сокраиввнив струи состаеллет на- ловину нлоивади отверстии. стие просто в виде круглой дыры с острым краем, то сечение струи сокращается до 62% от площади отверстия.
Уменьшение эффективной площадк выходного отверстия для различных форм выходных труб разное, а его экспериментальное значение поясно найти в таблице яооф4ициентов исюечсиия. Если выходная труба вдается в резервуар, как показано на фиг. 40.8, то можно весьма красиво доказать, что коэффициент истечения в точности равен 50%.
Я лишь намекну вам, как проводится это доказательство. Чтобы получить скорость, мы использовали закон сохранения энергии [см. уравнение (40.18)). Можно еще рассмотреть закон сохранения импульса. Поскольку с выходящей струей 'должен утекать и импульс, то к поперечному сечению выходящей трубы долксна быть приложена сила. Откуда же она берется7 Сила эта доля'на происходить от давления на стенки. Но наше выходное отверстие мало и распололсено далеко от стенок, поэтому скорость лсидкости вблизи стенок резервуара будет очень мала.
Следовательно, давление на каждую стенку, согласно (40.14), почти точно такое же, как статическое давление в покоящейся жидкости. При этом статическое давление на любую точку с одной стороны резервуара должно уравновешиваться равным давлением на противоположную стенку, эа исключением точки на стороне, противоположной выходной трубе. Если теперь мы вычислим импульс, выталкиваемый со струей этим давлением, то сможем показать, что коэффициент истечения равен '/в. Однако этот метод непригоден для отверстия, наподобие показанного на фиг. 40.7, ибо увеличение скорости около стенок вблизи области отверстия дает падение давления, которое невозможно вычислить.
Рассмотрим теперь другой пример — горизонтальную трубу с переменным поперечным сечением (фиг. 40.9), по которой от одного конца 'к другому течет вода. Сохранение энергии, а именно формула Бернулли, говорит, что в суженной области, там, где скорость выше, давление пня<о. Мы можем легко продемонстрировать этот эффект, измеряя давление в разных а4Ь Ф и е. 40.9. Там, еде скорость иовишаетса, давление иони- местах с различным сече- нием с помощью столбика ~ воды, сообщающегося с потоком через достаточно малые отверстия, не возмущающие потока. При этом давление измеряется высотой вертикального столбика воды.
И оно в узких местах действительно оказывается меньше, чем в широких. Если после сужения площадь сечения возвращается к своей прежней величине— той, что была до сокращения, то давление снова воарастает. Формула Бернулли предсказывает, что давление до сужения должно быть тем же, что и после него, однако на самом деле оно заметно меньше. Ошибка нашего предсказания кроется в том, что мы пренебрегли трением, вязкой силой, которая вызывает падение давления вдоль трубы.
Однако, несмотря на зто падение, давление в узком месте определенно меньше (из-за возрастания скорости), чем по обеим сторонам от него, как зто предсказал Бернулли. Скорость па должна превышать скорость и„чтобы через сужение могло пройти то же количество воды. Поэтому вода должна ускоряться, переходя нз широкой части в узкуго. Силы, которые приводят к этому ускорению, н есть перепаД давления. Этот результат можно про- верить с помощью еще одного простого опыта.
Представьте, что у нас есть резервуар с водой Ф и г. 40ПО. Докаватеаьство того, нто о не равно у ЗЗХ. и выходной трубой, которая выбрасывает струю воды вверх (фш. 4040). Если бы скорость истечения была в точности равна У2~Ь, то выходящая вода должна была бы подняться вплоть до уровня воды в резервуаре. Однако на опыте она начинает падать несколько ниже его. Наше приближение оказывается очень грубым; вязкое трение, которое мы не учли в нашей формуле для сохранения энергии, приводит к потере зпергии. Пытались ли вы когда-нибудь, дунув между двумя слипшимися листками бумаги, оторвать их друг от друга) Попытайтесь! Они сойдувтсл вновь.
Причина, разумеется, состоит в том, что воздух между листами имеет ббльшую скорость, нежели когда он выходит наружу. Поэтому давление между листами ниже атмосферного, и они вместо того, чтобы разлететься в разные стороны, соединятся. ф 4..Цтсужу.ищтся В начале предыдущего параграфа мы видели, что если у нас есть безвихревая несжимаемая жидкость, то поток удовлетворяет следующим двум уравнениям: 'Р в=0, 7хч=0. Эти уравнения аналогичны уравнениям злектростатики или магнитостатики в пустом пространстве. При отсутствии зарядов дивергенция злектрического поля равна нулю, а ротор электростатического поля всегда равен нулю. Ротор магнитного поля равен нулю при отсутствии токов, а дивергенция магнитного поля всегда равна нулю.
Следовательно, уравнения (40.19) имеют такие же решения, как и уравнения для Е в электростатике или уравнения для В в магнитостатике. Фактически в гл. 42, $ 5 (вып. 5), мы уже решили задачу об обтекании сферы потоком в качестве электростатического аналога. Электростатическим аналогом является однородное электрическое поле плюс поле днполя, причем поле диполя подбирается таким, чтобы скорость потока, нормальная к поверхности сферы, была равна нулю.
Задачу об обтекании цилиндра можно решить таким же способом, выбрав подходящее направление диполя относительно однородного потока. Эти решения справедливы в тех случаях, когда скорость жидкости на больших расстояниях постоянна как по величине, так и по направлению. Они изображены на фиг. 40Л(,а. Задача об обтекании цилиндра имеет и другое решение, когда условия таковы, что поток на больших расстояниях движется по окружности вокруг цилиндра. Тогда поток будет круговым повсюду (фиг.
40.И,б). У такого потока есть циркуляция вокруг цилиндра, хотя 7 Х ч в жидкости остается нулем. Но как циркуляция может существовать без ротора? Ф и е. бд.11. Обтекание цилиндра идеальной кеидкоетью (а), циркуляция вокруе цилиндре (б) и еунерноеицил слунаее а и б (е). в' нас есть циркуляция вокруг цилиндра, ибо криволинейный интеграл от т по замкнутой петле, охватывающей цилиндр, не равен нулю. В то же время криволинейный интеграл от ц который не охватывает цилиндра, будет нулем. Аналогичные вещи встречались нам и раньше, когда мы определяли магнитное поле вокруг проводника.
Ротор В был кулем вке провода, хотя криволинейный интеграл от В по пути, охватывающему провод, не исчезает. Поле скоростей в безвихревой циркуляции вокруг цилиндра в точности такое же, как и магнитное поле вокруг провода. Для кругового пути с центром, совпадающим с центром цилиндра, криволинейный интеграл от скорости равен т е(з = 2яг о.
Ф Для безвихревого потока интеграл не должен зависеть от г, Обозначим его через постоянную С и получим С о=— тие ' (40.20) где и — тангенциальная скорость, а г — расстояние от оси. Существует очень хороший способ демонстрации циркуляции жидкости в трубе. Вы берете прозрачный цилиндрический резервуар с трубкой в центре дна. Наполняете его водой, немного раскручиваете ее палочкой и вынимаете пробку из отводной трубы. И получаете тот красивый аффект, который показан на фиг. 40.12.
(Подобное явление вы наверняка много раз видели и ванне!) Хотя вначале вы и создали некоторую угловую скорость ю, она из-за вязкости вскоре затухает и Фио. ВОЛЯ. Вода о цираулиц ей еитеааепе ие рееерерара, поток становится безвихревым. Однако какая-то циркуляция вокруг трубки все же остается. Из теории можно вычислить форму поверхности воды в цилиндре. По мере того как частицы движутся внутрь, они пабираеот скорость. Согласно уравнению (40.20), тангенциальная скорость увеличивается как 1/г — просто благодаря закону сохранения момента количества двюкения, как у фигуриста, нрккеавшего руки к телу.
Радиальная скорость тоже возрастает как 1/г. Если пренебречь тангенциальным движением, то получится, что вода идет внутрь по радиусу к отверстию, а из уравнения 7 и=0 следует, что радиальная скорость пропорциональна 1/г. Таким образом, полная скорость тоже возрастает как 1/г и вода идет по спирали Архимеда. Поверхность вода— воздух целиком находится под атмосферным давлением, так что, согласно уравнению (40.14), она должна обладать свойством уз+ — тг =сопзФ. 1 2 2 Но здесь о пропорционально 1/г, позтому форма поверхности будет такой: а (з — зо) = —,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
