Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Сначала мы характеризовали н«идкость так, что если прилонгить к ней напряжение сдвига, то, сколь бы мало оно ни было, жидкость «поддается» и течет. В статическом случае никаких напряжений сдвига нет. Однако, когда равновесия еще нет, в момент, когда вы давите на жидкость, силы сдвига вполне могут быть. Вявкосл»ь как раз и описывает эти силы, возникающие в движущейся жидкости. Чтобы намерить силы сдвига в процессе движения жидкости, рассмотрим такой эксперимент. Предположим, что имеются две плоские твердые пластины, между которыми находится вода (фиг.
41.1г, причем одна «Больши«частицы ложа» сдуть со стола, а мельчайшие —. кево»можко. Их верхушки не «высовываются» в поток, »" Можно представить себе и такой случай, когда»то окажется кевериым. Теоретически стекло есть тоя«е «жидкость», одвако ово вполне может скользить по стальной поверхности. Так что и такая теория где-то должна погореть. Площадь А ь !,':„'!:,'::!:;:!:;;;:.'!,':."'! .!,:ф5''З"..:;.' !:левееодрость".'";:.", Ф и е. ЕКК Увлечение жидееоепие меяеду двумя параллельными нлатпинками.
из пластин неподвижна, тогда как другая движется параллельно ей с малой скоростью оо. Если вы будете измерять силу, требуемую для поддержания движения верхней пластины, то яайдете, что она пропорциональна площади пластины и отношению оо/и, где е( — расстояние между пластинами. Таким образом, напряжение сдвига Р/А пропорционально оо/е(е р ов А=Ч Н Коэффициент пропорциональности Ч называется козеб1диь1иектом вязкости.
Если перед нами более сложный случай, то мы всегда можем рассмотреть в воде неболыпой плоский прямоугольный объем, грани которого параллельны потоку (фиг. 41.2). Силы в этом объеме определяются выражением ~ок док — =Ч вЂ” "=Ч вЂ”" ° (41.2) ЬА Лу ду Далее, до„/ду представляет скорость изменения деформаций сдвига, определенных нами в гл. 38, так что силы в жидкости пропорциональны скорости иаиенения деформаций сдвига.
В общем случае мы пишем олу — Ч(д + — ") . (41 3) Ф и г. Ол.л. Напряжения едвава в валкой жидкоети. Ф и е. 41.3. Поток жидкосньи между деума концентрическими циаиндрини, еращающимиса с разними уееоеими скоросткзьи. При равномерном вращении жидкости производная дрк/ду равна дгь /дх с обратным знаком, а Я„ будет равна нулю, как зто и требуется, ибо в равно- из мерно вращающейся жидкости напряжения отсутствуют.
(Подобную же вещь мы проделывали в гл. 39 при определении е„.) Разумеется, для Яг, и Я,„тоже есть соответствующие выражения. В качестве примера применения этих идей рассмотрим движение жидкости между двумя коаксиальнымн цилиндрами. Пусть радиус внутреннего цилиндра равен и, его скорость будет вю а радиус внешнего цилиндра пусть будет Ь, а скорость равна уо (фиг. 41.3). Возникает вопрос, каково распределение скоростей между циликдрамиг Чтобы ответить на него, начнем с получения формулы для вязкого сдвига в жидкости на расстоянии г от оси. Из симметрии задачи можно предположить, что поток всегда тангенциален и что его величина зависит только от г; в= у (г).
Коли мы, понаблюдаем за соринкой в воде, расположенной на расстоянии г от оси, то ее координаты как функции времени будут у =гв1па1, х= гсоват, где а=в/г. При этом х- и у-компоненты скорости равны (41.4) е = — гав1паз= — ау и г =-га сов аз'=ах.
к У Из формулы (41.3) получаем 'оку = зь (д (ха) — д Уа~ ~ = чь ьь(х д У -Ь вЂ” ~ . (41.5) Для точек с у=О имеем да/ду=О, а х(да/дх) будет равно г(сьа/сьг). Так что в втих точках (Разумно думать, что величина Я должна зависеть от деъ/дг, когда еъ не изменяется с г, жидкость находится в состоянии равномерного вращения и напряженна в ней не возникают.) Вычисленное нами напряя<ение представляет собой тангенциальный сдвиг, одинаковый повсюду вокруг цилиндра. Мы можем получить аъомвмт сил, действующий на ъ1илиндрической поверхности радиусом т, путем умножения напряжеяия сдвига на плечо импульса г и площадь 2яг1: т=2ягъ1 (Я„,,)г а=2яъ)1г' — „„.
(41 7) Интегрируя, находим как ю изменяется с г~ А еъ= — — +В. 2гъ (41.9) Постоянные А и В должны определяться из условия, что еъ=-еь, в точке г=а, а еъ=еъь в точке г=Ь. Тогда находим 2аъЬь 4 =,ъ аъ (юь — юа)г (41.1О) ьь,— ъ Ьъ — аъ Таким образом, еъ как функция г нам известна, а стало быть.
известно и э =еъг. Если же нам нужно определить момент сил, то его можно получить из выражений (41.7) и (41.8); с = 2яъ)(А, или 4яи 1аъдь Ьъ — аъ ( Ъ а)' (41Л1) Он пропорционален относительной угловой скорости двух цилиндров. Имеется стандартный прибор для измерения коэффициентов . вязкости, который устроен следующим образом: один из цилиндров (скажем, внешний) посажен на ось, но удерживается в неподвижном состоянии пруланнным динамометром, Поскольку движение воды стационарно и угловое ускорение отсутствует, то полный момент, действующий на цилиндрическую поверхность воды между радиусами г и г + ог, должен быть нулем; иначе говоря, момент сил на расстоянии г доляген уравновешиваться равным ему и противоположно направленным моментом сил на расстоянии г+ ог, так что т не должно зависеть от г.
Другими словами, г' (гйо/й) равно некоторой постоянной, скажем А, и (41.8) дг гъ ' который иамеряет действующий на него момент сил, а внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью. Коэффициент вязкости определяется при атом из формулы (41.11). Из определения коэффициента вязкости вы видите, что т) измеряется в ньютон.сек/мг. Для воды при 20' С т) =10» ньютон.сек/м«. Часто удобнее бывает пользоваться удельной вязкостью, которая равна т), деленной на плотность р. При этом величины удельных вязкостей воды и воздуха сравнимы: Вода при 20'С ~ =10 ' м'/еек, (41.12) Воздух при 20'С вЂ”" 15 10 «м'/сек.
Р Обычно вязкость очень сильно аавнсит от температуры. Например, для воды непосредственно над точкой замерзания отношение ц/р в 1,8 болыпе, чем при 20' С. й) М. Вязы«гй по»моя Перейдем теперь к общей теории вязкого потока, по крайней мере настолько общей, насколько это и известно человеку. Вы уже понимаете, что компоненты сдвиговых напряжений сдвига пропорциональны пространственным производным от различных компонент скорости, таких, как ди„/ду или дв /дх. Однако в общем случае ехсимаемой жидкости в напряжейиях есть и другой член, который аависит от других производных скорости. Общее выражение имеет вид у дег д»у ~ Яг~=т) ( э +~ /+«)'бг~(у.ч), (41.13) г где хг — какая-либо из координат х, у или х; о, — какая-либо из прямоугольных составляющих скорости.
(Значок бы обозначает символ Кронекера, который равен единице при г=/ и нулю при гну.) Ко всем диагональным элементам Яг, тензора напряжений прибавляется дополнительный член т)''ч ч. Если я<идкость несжимаема, то ч ч=0 и дополнительного члена не появляется, так что он действительно имеет отношение к внутренним силам при сжатии. Для описания ягидкости, точно так же как и для описания однородного упругого тела, требуются две постоянные. Коэффициент т) представляет «обычный» коэффициент вязкости, который мы уже учитывали, Ои называется также первым ковффициентом вязкости, а новый коэффициент г) называется вторим ко»ффициентом вязкости.
259 Теперь нам предстоит найти вязкую силу 1,„,„, действующую на единицу объема, после чего мы смол<ем подставить ее в уравнение (41.1) и получить уравнение движения реальной жидкости. Сила, действующая на маленький кубический объем жидкости, представляет собой равнодействующую всех сил, действутощих на все шесть граней.
Взяв их по две сразу,мы получим разность, которая зависит от производных напряя<екнй, и, следовательно, от вторых производных скоростей. Это приятный результат, ибо он приведет нас опять к векторному уравнению. Компонента вязкой силы, действусощей на единицу объема в направлении оси х;, равна з с (У.„„)<=Х,— -Ч~~.',д, Ч(д— ,+ — „,)1+ —,~ЧЧ т) (41 14) с Обычно зависимость коэффициентов вязкости от координат полол<ения несущественна и ею можно пренебречь. Тогда вязкая сила на единицу объема содержит только вторые производные скорости. Мы видели в гл. 39, что наиболее общей формой вторых производных в векторном уравнении будет сумма Лапласиана (Ч.Ч)т Чзт и градиента дивергенции (Ч(Ч т)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
