Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Зто видно прямо из уравнения, ибо член с давлением представляет чистый градиент, тогда как второй член из-за плотности р не может быть им. И только когда величина р постоянна, потенциальный член становится чистым градиентом. Решение уравнения в этом случае имеет вид р + р<р = сопз$. Другая воэможность, допускающая состояние равновесия,— это когда р зависит только от р. Однако на этом мы расстанемся с гидростатикой, ибо она не так интересна, как движущаяся жидкость. ф М.

Уравнен««е движения Сначала обсудим движение жидкости с чисто абстрактной теоретической стороны, а затем рассмотрим некоторые частные примеры. Чтобы описать дви1кение жидкости, мы должны задать в каждой точке ее некие свойства. Например, вода (будем называть жидкость просто «водойг) в разных местах движется с различными скоростями. Следовательно, чтобы определить характер потока, мы должны в каждой точке и в любой момент времени задать три компоненты скорости. Если нам удастся найти уравнения, определяющие скорость, то мы будем знать, как в любой момент движется жидкость. Но скорость — не единственная характеристика жидкости, которая меняется от точки к точке. Только что мы изучали изменение давления от точки к точке. А есть еще и другие переменвые.

От точки к точке может меняться также плотность. Вдобавок жидкость может быть проводником и переносить электрический ток, плотность которого ) изменяется от точки к точке как по величине, так и по направлению. От точки к точке может меняться температура, магнитное поле н т. д. Так что число полей, необходимых для полного описания ситуации, зависит от сложности задачи. Очень интересные нвления возникают, когда доминирующую роль в определении поведения жидкости играют токи и магнетизм. Эта наука носит название магнитогидродинамика. В настоящее время ей уделяется очень большое внимание.

Но мы не собираемся рассматривать вти весьма сложные случаи, нбо имеется немало менее сложных, но столь же интересных явлений, и даже этот болееэлементарный уровень будет достаточно труден. Возьмем случай, когда нет ни магнитного поля, ни проводимости и нам, кроме того, не следует беспокоиться о температураи, нбо мы предположим, что температура в любой точке единственным образом опредечяется плотностью и давлением. Фактически мы уменьшим сложность нашей работы, допустив, что плотность постоянна, т. е.

что жидкость существенно несжижаема. Другими словами, мы предполагаем, что изменения давлений настолько малы, что производимыми ими изменениями плотности можно пренебречь. Если бы это было не так, то в дополнение к явлениям, рассмотренным здесь, необходимо было бы учитывать и другие явления, скажем распространение звуковых или ударных волн.

Распространение звуковых и ударных волн мы уже в какой-то степени изучали, так что при нашем рассмотрении гидродинамики мы изолируемся от этих явлений, допустив, что приближенно плотность р постоянная. Легко определить, когда такое предположение о постоянстве р будет хорошим. Если скорость потока гораздо меньп1е скорости звуковой волны, то нам не нужно заботиться об изменениях плотности.

Тот факт, что вода ускользает от нас при попытке понять ее, не связан с этим приближением постоянной плотности. Усложнения, которые все-таки позволили ей остаться непонятой, мы обсудим в следующей главе. Общую теорию жидкостей мы должны начать с уравнения состояния жидкости, связывающего давление и плотность; в нашем приближении оно имеет очень простой вкд: р = сопяг. Это и есть первое уравнение для наших переменных. Следующее соотношение выра~кает сохранение вещества. Когда вещество утекает иэ какой-то точки, то количество его в атой точке должно уменьшаться.

Если скорость жидкости равна ч, то масса, которая протекает за единичное время через единицу площади поверхности, равна нормальной к поверхности компоненте рч. Подобное соотношение у нас получалосьуже в теории упругости. Из знакомства с электричеством мы знаем также, что дивергенция такой величины определяется скоростью уменьшения плотности. Также и здесь уравнение Ч (рч) = —— др д~ (40.2) выражает сохранение массы жидкости: зто гидродинамическое ураекение непрерывности. В нашем приближении, т. е. в приближении несжимаемой жидкости, плотность р постоянна и уравнение непрерывности превращается просто в (7 ч) =О.

(40.3) Дивергенция скорости 1кидкости ч, как и магнитного поля В, равна нулю. (Гидродинамические уравнения очень часто оказываются аналогичными уравнениям электродинамики; вот почему мы сначала изучали электродинамику. Некоторые. предпочитают другой путь, считая, что сначала следует изучать гидродинамику, чтобы потом было легче понять электричество. На самом же деле электродинамика гораздо проще, чем гццродинамика.) Следующее уравнение мы получим из закона Ньютона; оно говорит нам, как происходит изменение скорости в резуль- тате действия сил. Произведение массы элемента объема жидкости на ускорение должно быть равно силам, действующим на этот элемент. Выбирая в качестве элемента объема единичный объем и обозначая силу, действующую на единичный объем, через Г, получаем Р Х (Ускорекке) =1'.

Плотность сил можно записать в виде суммы трех слагаемых. Одно из них, силу давления на единицу объема — (Чр), мы ужо рассматривали. Но есть еще действующие на расстоянии «внешние» силы, подобные тяжести нли электричеству. Если этн силы консервативные с потенциалом, отнесенным к единице массы, равным Ч, то они приводят к плотности сил — р (ЧЧ). (Если же внешние силы не консервативные, то мы вынуждены писать внешнюю силу, приходящуюся на единицу объема, как 1,„,, ) Ироме нее, на единицу объема действует еще одна «внутренняя» сила, которая возникает из-за того, что в текущей жидкости могут действовать сдвиговые силы.

Они называются силами вязкости, и мы будем обозначать их через 1„,„. Тогда наше уравнение двия«ения приобретает вид р Х (ускор«нзе) = — (Чр) — р(Ч<р)+ваяя«» (40 4) В этой главе мы будем предполагать, что наша вода «жидкая» з том смысле, что ее вязкость несущественна, так что слагаемое 1„,„будет опускаться. Выбрасывая слагаемое с вязкостью, мы делаем приближение, которое описывает некое идеальное вещество, а не реальную воду.

Об огромной разнице, возникающей в зависимости от того, оставляем ли мы слагаемое с вязкостью или нет, в свое время хорошо знал Джон фон Нейманн. Известно ему было и то, что во времена наибольшего расцвета гидродинамики, т. е. примерно до 1900 г., основные усилия были направлены на решение красивых математических задач в рамках именно этого приближения, котороеничего не имеет общего с реальными жидкостями. Поэтому теоретиков, которые занимались подобными веществами, он называл людьми, изучающими «сухую воду».

Они отбрасывали важнейшее свойство жидкости. Именно потому, что в этой главе мы при наших вычислениях тоже этим свойством будем пренебрегать, я озаглавил ее «Течение «сухой» воды». А обсуждение настоящей, «мокрой» воды мы отложим до следующей главы. Если мы отбросим 1„,„, то в уравнении (40.4) все нам известно, эа исключением выражения для ускорения. Может показаться, что формула для ускорения частиц жидкости должна быть очень простой, ибо очевидно, что если ч — скорость частицы в некотором месте жидкости, то ускорение ее будет просто равно дч/дй Но вто совсем неверно, и по довольно о(х,у,в,« Ф и в.

дд.»«. Ускорелие часа»ицы жидкости. Лхж нкЛ«» Лу «иУЛ«и Лз = ееЛ«. Из определения частных производных [вспомните уравнения гл. 2, вып. 5[ мы с точностью до членов первого порядка получаем ч(х+гкЛ«, у+о Л«, з+ввЛ«, «+Л«) (, у, з, «)+ — гкЛ«+ д о Л«+ дч дч дч дч +д е +д« Ускорение же Ло«'Л«будет равно дч дч дч дч и — +г — +о — +— "дк Уду в де д« Считая 7 вектором, зто можно записать символически» + дв (40.5) Обратите внимание, что, даже когда дч/д«=0, т.

е. когда скорость в данной точке не изменяется, ускорение все же хитрой причине. Проиаводная дч/д«выражает изменение скорости ч (х, у, з, «) в фиксированной точке пространства. А нам нужно звать, как изменяется скорость данной каиельвих<идкости. Представьте, что мы пометили одну капельку воды цветной краской и можем наблюдать за ней. За маленький интервал времени Л«эта капелька продвинется в другое положение.

Если капелька движется по некоторому пути, изображенному на фиг. 40.4, то за промевсуток Л«она из точки Р, переместится в точку Р,. Фактически в направлении оси х она передвинется на расстояние о„Л«, в направлении оси у — на расстояние о Л«, а в направлении оси з — на расстояние ивЛ«. Мы видим, что если ч (х, у, з, «) — скорость частицы в момент «, то скорость той же самой частицы в момент «+Л«представляет величину ч (х+ Лх, у + Лу, з+ Лз, «+ Л«), причем останется. Примером может служить вода, текущая с постояно ной скоростью по кругу: она ускоряется даже тогда, когда ско- рость в данной точке не изменяется. Причина, разумеется, состоит в том, что скорость данной капельки воды, которая первоначально находилась в одной точке, моментом позднее будет иметь другое направление — это центростремительное ускорение.

Характеристики

Список файлов книги