Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 20
Текст из файла (страница 20)
На самом деле некоторые иэ них наступают раныпе, а другие позже этого времени. Более короткие времена встречаются чаще, но их вклад в скорость дрейфа невелик, потому что слишком мала в этом случае вероятность«реального подталкивания вперед». Если принять во внимание существование распределения свободного времени мегкду столкновениями, то мы увидим, что множителю г!ю полученному во втором случае, неоткуда взяться. Ошибка произошла из-эа того, что мы, обманувшись простотой аргументов, попытались слишком просто связать среднюю скорость со средней конечноа скоростью. Связь между ними не столь уж проста, поэтому лучше подчеркнуть, что нам нугкна средняя скорость сама по себе.
В первом случае мы с самого начала искали среднюго скорость и нашли ее верное значение! Быть может, теперь вам понятно, почему мы не пытались найти точного значенкя всех численных коэффициентов в наших элементарных уравнениях? Вернемся к нашему предположению о том, что каждое столкновение полностью стирает пз памяти молекулы все о былом ее движении и что после каждого столкновения для молекулы начинается новый старт. Предположим, что наша о-молекула — зто тяжелый объект на фоне более легких молекул.
Тогда уже недостаточно одного столкновения, чтобы отобрать у о'-молекулы ее направленный «вперед» импульс. Только несколько последовательных столкновений вносят в ее движение «беспорядокм Итак, вместо нашего первоначального рассуждения предположим теперь, что после кап'дого столкновения (в среднем через время т)»'-гголекула теряет определенную часть своего импульса.
Мы не будем исследовать детально, к чему приведет такое предположенгие. Ясно, что это эквивалентно замене времени т (средного времени ггея«ду столкновениями) другим, более длннныи т, соответствующим среднему «времени заоывания», т. е. среднему времени, за которое чгголекула забудет о том, что у нее когда-то был импульс, направленный вперед.
Если понимать т так, то можно использовать нашу формулу (43.15) для случаев, не столь простых, как первоначальный. й .й. Иоки«гм «гроводи»госзггь Применим наши результаты к частному сггучаю. Предположим, что в сосуде, заполненном газом, содержатся также ионы — атомы нлп молекулы с избыточным электрически»« зарядом. Схематнчески это выглядит так, как яа фиг.
43.2. Если две противоположные стенки сосуда сделаны из металлических пластин, то их можно подсоединить к полюсам батареи и создать таким образом в газе электрическое поле. Электрическое поле будет с некоторой силой воздействовать на ионы, и они начнут свой дрейф к одной из пластин. В результате возникнет электрический ток, и газ со своими ионами 9$ Ф и е. ез.о. Э.еектшн ческий осок в иониеованном газе. Мепз Пяощ л йапгааее а напав>копием будет работать как сопротивление.
Выразив через скорость дрейфа ионный поток, можно рассчитать величину сопротивления. Больше всего нас интересует зависимость ионного потока от приложенной к пластинам разности потенциалов )е. В нашем случае сосуд — зто прямоугольный ящик, длина которого Ь, а площадь поперечного сечения А (см. фнг. 43.2). Если к пластинам приложена разность потенциалов )с, то алектрическое поле Е между пластинами равно КсЬ. (Электрический потенциал — зто работа, совершаемая при переносе единичного заряда от одной пластины к другой. Сила, действующая на единичный заряд, равна Е. Если вначенке Е одинаково всюду между пластинами, что можно с достаточным основанием предположить в нашем случае, то затраченная на единичный заряд работа равна ЕЬ, т. е.
У= — ЕЬ.) В нашем случае на ноны действует сила аЕ, где д — заряд иона. Скорость дрейфа иона равна произведеникз силы на и: к ло Э «еее )еи ь ' (43.16) Электрический ток 1 равен потоку заряда за 1 сек, Электрический ток через одну из пластин равен, таким образом, полному заряду ионов, достигающих пластины за 1 сея. Если ионы движутся к пластине со скоростью аео, то за время Т пластипы достигнут те ионы, которые находились пе дальше, чем на расстоянии агоТ от нее. Если в единичном объеме содержится л, ионов, то за время Т на пластине высадится пгАаяоТ ионов. Ток Х вЂ” это отношение собранного за время Т заряда к времени Т: Х = дп;А в«». (43.18) Подставлян сюда скорость дрейфа п„» из (43Л6), получаем Х= рд«П; Ь «'.
А (43.19) Мы выяснили, что ток пропорционален разности потенциалов, это н есть закон Ома, а сопротивление Я равно обратной по- стоянной пропорциональности: г А гЧ 'Ь вЂ” рд«л (43,20) Мы нашли связь сопротивления со свойствами молекул п,,д и З, которое в свою очередь зависит от т и т. Если мы при помощи атомных измерений определим иг и д, то, измеряя Й, можно определить р, а потом и т.
ф д. Молекуллугн««я дыд)д)увыя Перейдем к другой аадаче, для которой нам придется несколько иаменить метод анализа, — к задаче о диффузии. Предположим, что мы взяли ящик, заполненный газом, находящимся в тепловом равновесии, а потом в любое меото внутри ящика вспрыснули небольшое количество другого газа. Назовем первоначальный газ газом «фона», а новый газ — «особым» газом.
Особый газ начинает распространяться по всему ящику, но распространение это замедляется наличием молекул фона. Явление такого замедленного распространения называется диффувивй, Диффузия в основном определяется столкновениями молекул особого газа с молекулами фона. После многих столкновений особые молекулы более илн менее равномерно распределятся по всему ящику. Важно нв спутать диффузию газа с переносом больших количеств вещества в результате конвекционных токов. Обычно смешение двух газов происходит именно в результате комбинации конвекцнн н диффузии.
Сейчас нас интересует только такое перемешиванве, которое нв сопровождается «порывами ветра». Газ распространяется только благодаря молекулярному движению, т. е. происходит диффузия. Давайте выясним, быстро ли происходит диффузия. Итак, мы приступаем к вычислению общего потока молекул особого газа, порождаемого молекулнрным движением. Общий Каждый ион несет заряд д, поэтому Собр«нный га время Т заряд = дп;Азг»Т. (43.17) в-з ЛТ вЂ” з+г Г1Т Лт (43.21) (43. 22) нли У=(п — и ) а. А что понимать под п н в ? Когда мы говорим «плотность слева от площадки», то как далеко налево? Мы должны измерить плотность в том месте, откуда молекула отправляется в свой «свободный полете, потому что число стартующих молекул определяется числом молекул, находящихся в этом месте. Таким образом, п — это плотность молекул на расстояния длины свободного пробега ( слева от нашей воображаемой площадки, а п,— плотность молекул на расстоянии длины свободного пробега справа от нее.
Распределение особых молекул в ящике удобно описывать с помощью непрерывной функции х, у и г, которую мы обозначим и,. Под в,(х, у, з) нужно понимать плотность особых молекул в маленьком объеме вокруг точки (х, у, г). Тогда поток не равен нулю только тогда, когда распределение молекул отличается от равновесного, иначе усреднение молекулярного движения сводит общий ноток к нулю. Рассмотрим сначала поток в направлении оси х.
Чтобы определить, чему этот поток равен, мь. должны вообразить площадку, перпендикулярную к оси, и подсчитать число молекул, пересекающих эту площадку. Чтобы определить общий поток, мы должны считать положительными те молекулы, которые движутся в направлении положительных х, н вычесть из этого числа те молекулы, которые движутся в противоположном направлении.
Как мы неоднократно убеждались, число молекул, пересекающих площадку в течение времени ЛТ, равно числу молекул, находящихся к началу интервала ЛТ внутри объема, ааключенного между нашей площадкой п площадкой, расположенной от нее на расстоянии и ЛТ. (Заметим, что здесь и — настоящая скорость молекулы, а отнюдь не скорость дрейфа.) Мы упростим наши выкладки, если возьмем площадку единичной площади, Тогда число особых молекул, пересекающих площадку слева направо (справа от площадки лежат положительные х-направления), равно и гЛТ, где п — число особых молекул в единичном объеме слева от площадки (с точностью домножителя - г/и но мы такими миожителямн пренебрежем!). Аналогично, число особых молекул, движущихся справа налево, равно и г ЛТ, где и„— плотность особых молекул справа от площадки.
Если мы обозначим молекулярный поток буквой У, под котороп мы будем понимать общий поток молекул через единичную площадку за единицу времени, то получим (43.23) Мы выяснили, что поток особых молекул пропорционален производной плотности, или, как иногда говорят, «градиенту плотности». Ясно, что мы сделали несколько грубых приближений. Не говоря уже о том, что мы постоянно забывали о множителях, мы использовали г, когда нужно было ставить г„, а разместив объемы, содержащие молекулы и и и, на концах перпендикуляров к площадке, взяли перпендикуляры длиной й Между тем для тех молекул, которые двпжутся не перпендикулярно к поверхности, » соответствует длине наклонного пути.
Моя«но исправить зги недоделки; более тщательный анализ показал бы, что правую часть уравнения (43.24) нужно умножить на»~» Итак, более правильный ответ выглядит следующим образом: аа (43. 25) Лнзлогичные уравнения можно написать для токов вдоль р-и г-направлений. С помощью макроскопических наблюдений можно измерить ток У„и градиент плотности Йп,,'Йз. Их отношенле, найденное экспериментально, называется «коэффициентом диффузии» Й. Это значит, что (43,26) Мы смогли показать, что ожидаемое значеяие коэффициента Й для газа равно О = — 1ш 3 (43. 27) Пока мы изучили в этой главе два разных процесса: подвилгность (дрейф молекул яод действием «внешней» силы) и дифФузию (разбегание молекул, определяемое только внутреннимп силами, случайными столкновениями).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
