Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Однако эти процессы связаны друг с другом, потому что в основе обоих явлений лежит тепловое движение, п оба раза в расчетах появлялась длина свободного пробега Кслн в уравнение (43.25) подставить (=вт и т=рт, то получится Х = — — т竻— » лза х 3 Нх (43.28) 99 разность (п — и ) можно представить в виде Йп Из~ (а — л ) = — "Лх= —" 2~. из «х Подставляя этот результат в (43.22) и пренебрегая множителем 2, получаем (43.
24) Но то» зависит только от температуры. Мы еще помним, что — тс» = —,йТ, 1 г 3 т (43.29) тзк что У„= — (гкТ вЂ” ' , вп„ (43.30) Таким образом, лг, коэффициент диффузии, равен произведению кТ на р, коэффициент подвижности: Х>= ггкТ. (43.31) Оказывается, что (43.31) — зто точное соотношение между коэффициентами. Хотя мы исходили из очснь грубых предположений, не нужно к нему добавлять никаких дополнительных множителей, Можно показать, что (43.31) в самом деле всегоа удовлетворяется точно. Это верно даяге в очень сложных случаях (напркмер, для случая взвешенных в жидкости мелких частиц), когда наши простые вычисления явно отказываются слуягить.
Чтобы показать, что (43.31) верно в самых общпх случаях, мы выведем его иначе, используя только основные принципы статистической механики. Представьте себе, что почему-то существует градиент «особых» молекул и возник ток диффузии, пропорциональный, согласно (43.26), градиенту плотности. Тогда мы создадим в направлении оск х скловое поле так, что на каждую особую молекулу будет действовать сила Р. По определению подвижности р скорость дрейфа дается соотно- шением сл» (гр' (43.32) Используя обычные аргументы, можно найти ток дрейфа (обигее число ыолекул, пересекающих единичную площадку за единицу времени): (43.33) У„„=п,о „, или л' „=- п,(гр.
(43,34) Л теперь можно так распорядиогься силой Г, что ток дрейфа, вызываемый силой Р, скомпенсирует диффузию, тогда полногй ток особых молекул будет равен нулю. В этом случае мы имеем ,/„.+,/лр-— -О, нлн (43.35) В атом случае «компенсации» существует постоянный (во времени) градиент плотности, равный (43.36) Теперь уже легко соображать дальше! Ведь мы добились равновесия и можем теперь применять наши равновесные законы статистической механики.
По этим законам вероятность найти молекулу около точки х пропорциональна ехр !' — 0"/7«7'), где (7 †потенциальн энергия. Если говорить о плотности молекул и,, то это значит: п„е- !0»т, (43.37) Дифференцируя (43.37) по х, получаем ааа а ! «С и е-Псат Га а ' аТЙ (43.38) или ива ва ВГ7 ах «7' а'а (43.39) В нашем случае сила Р направлена вдоль оси х и потенциальнав энергия (7 равна — Рх, а — с(б!/Нх =Р. Уравнение (43.39) принимает вид (43.40) (Это в точности уравнение (40.2), из которого мы н вывели ехр( — К')сТ); круг замкнулся.! Сравнивая (43.40) п (43.36), мы получаем уравнение (43.31).
Мы показали, что в уравнении (43.31), которое выражает ток диффузии через подвижность, все коэффициенты правильны, а само уравнение правильно всегда. Подвижность и диффузия тесно связаны. Эту связь открыл Эйнштейн. 97 4 ааааа Ш 2666 ама. ГЯ ф 6. Хемло««роводиост»»ь Методы кинетической теории, которую мы так успешно применяли, позволяют также рассчитать н теплвпроввдность газа. Если газ в верхней части ящика горячее, чем внизу, то тепло перетечет сверху вниз. (Мы предполагаем, что теплее верхняя часть яшика, потому что в противном случае возникнут поднимающиеся вверх конвекционные токи, а этот случай уже не имеет отношения к теплопроводности.) Перенос тепла от горячего газа к холодному вызг«вается диффузией «горячих» молекул (т. е.
молекул с большой энергией) вниз п днффузней «холодных» молекул вверх. Чтобы вычислить поток тепловой анергии, мы должны узнать сначала об энергии, переносимой через выделенную площадку сверху вниз (ее переносят движущиеся вниз молекулы), потом об энергии, переносимой череа эту же площадку снизу вверх (за это уже отвечают молекулы, поднимающиеся вверх). Разность этих потоков энергии даст нам полный поток энергии сверху внпз.
Теплопроводность к определяется как отношение скорости переноса тепловой энергии через единичную площадку к градиенту температуры: — — =- — к — . Е лг (43.41) л «« лг Поскольку ход вычислений теплопроводности очень похож на вычисление потока заряженных частиц в ионизованном газе, то мы предлагаем читателю в виде упражнения доказать, что аль н у †! (43.42) при этом (у — 1)йТ вЂ” средняя энергия молекулы при температуре У. Если вспомнить о соотношении п(а,=(, то теплопроводность можно записать в виде я= (43.43) с Мы получилк поистине удивительный результат. Известно, что средняя скорость молекул газа зависит от температуры и не зависаю ош плольчости. Можно думать, что а, зависит только от размеров молекул.
Таким образом, наш очень простой вывод сводится к тому, что тенлопроводность л (а следовательно, и скорость потока тепла в каждом частном случае) не зависит от плотности газа! Изменение числа «носителей» энергии при изменениях плотностп в точности компенсируется изменением расстояния, которое пробегает «носвтель» между столкновениями. А теперь можно спроситгя Действительно ли поток тепла всегда не зависит от плотности газа? Ну а если плотность стремится к нулю и в ящике совсем не остается газа? Конечно, нет( Формула (43.43), как и другве формулы этой главы, выведена в предположении, что средняя длина свободного пробега между столкновениями гораадо меньше любых размеров ящкка. Если плотность газа столь мала, что молекула имеет неплохие шансы пробежаться от одной стенки ящика к другой, ни разу не столкнувшись, то все вычисления этой главы рухнут.
В этих случаях следует вернуться к кинетической теории н заново все детально рассчитать. с" ла за 44 ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ ф А Хепловъсе насаннъс; первъсй закон Е Тепловые ъшсппяы ' первысс закон До сих пор мы рассматривали свойства вещества с атомной точки зрения, причем мы пытались, хотя бы в общих чертах, понять, чтб произойдет, если принять, что вещество состоит из атомов, подчиняющихся тем пли иным законам. Однако вещество обладает и такими своиствами, которые можно понять, не изучая подробно его строения. Лоисками соотнопсений между различными свойствами вещества, не углубляясь в изучение внутреннего его строения, занимается терлсодииамика. Исторически термодинамика стала наукой еще до того, как более или менее точно узнали о внутреннем строении вещества.
Лриведем пример: согласно кинетической теории, давление газа вызывается молекулярной бомбардировкой, и нам известно, что при нагревании газа бомбардировка усиливается и давление должно повыситься. И наоборот, если внутрь ящика с гааом вдвигается поршень, преодолевающий сопротивление бомбардирующпх его молекул, то знергия зтнх молекул возрастает, а соответственно повышается и температура. Итак, повышая температуру внутри заданного объема, мы увеличиваем давление. Если же мы сжимаем газ, то повышается его температура.
Используя кинетическую теорию, можно найти количественные соотношения между зтпмн двумя зффектамп, однако каждому понятно, что между давлением н температурой обязательно должна существовать некоторая связь, не зависящая от деталей столкновений. Рассмотрим еще один пример. Многим, наверное, известно интересное свойство резины — если растянуть ее, она нагреется. Если и:жми не полезпого з о теспссратура б. Зягропия Ф и е.
М. 1, Наврвтая резала, вы зал1мете губами резиновую полоску и, потянув рукой, растянете ее, то отчетливо почувствуете, что она нагрелась. Это нагрезанне обратимо, т. е. если вы, продолжая держать полоску губами, быстро отпустите ее, то возникнет столь же отчетливое ощущение холода. Это означает, что при растяжении резина нагревается, а при ослаблении натяжения она охлаждается. Наш инстинкт может нам подсказать, что нагретая резина тянет лучше: если растяжение нагревает резину, то нагревание заставит ее сжаться.
Действительно, если поднести к растягиваемой грузиком резиновой полоске газовую горелку, то мы заметим, что полоска реако сократится (фиг. 44.Ц. Таким образом, при нагревании натяжение в резине возрастет, и зто вполне согласуется с тем, что при уменьшении натяжения она остывает. Скрытые в резине механизмы, управляющие этими эффектами, очень сложны. Мы опишем их с молекулярной точки зрения, хотя главная задача этой главы — научиться понимать сзяаь между такими эффектами независимо от молекулярной модели.
Тем не менее, именно исходя из молекулярной модели, мы можем показать, что оба эти явления тесно связаны. Поведение резины можно объяснить так. Представьте себе, что резина, по существу, огромный клубок, состоящий из очень длинных молекул, что-то вроде «молекулярных макарова, но с небольшим дополнительным усложнением: между этими молекулярными цепочками имеются соединительные цепочки. Таким образом, моделью куска резины могут служить слипшиеся во время варки макароны, образующие огромный ком. Когда мы растягиваем такой клубок, некоторые молекулярные цепи стремятся вытянуться в линию вдоль направления растяжения. В то же время все цепи участвуют и тепловом движении и непрерывно сталкиваются друг с другом.
Поэтому такая цепь, когда ее растягивают, не остается в натянутом виде, так как об нее ударяют со всех сторон другие цепи и другие молекулы, и она будет вынуждена запутаться снова. Поэтому истинная причина того, почему резина все время стремится сократиться, заключается в следующем: при растяжении цепи действительно вытягиваются вдоль одной линии, но тепловые движения цепей стремятся запутать их снова и сократить их длину, Поэтому если растянуть цепи и увеличить температуру, то усилится и бомбардировка цепей, что приведет к увеличению натяжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
