Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ьольше атого на основании столь общих предположений вн Эйнштейн, ни вообще кто-либо получить не сможет. Чтобы действительно вычислить абсолютную скорость спонтанного излучения илн вообще любую скорость специфически атомного перехода, нужно знать все скрытые механивмы атома. Этому учит так называемая квантовая электродинамнка, открытая лишь одиннадцать лет спустя. Л Эйнштейн предсказал все это в 1916 г. Возможность вынужденного излучения в наши дни нашла интересное применение. Если есть свет, то он стремится вызвать переход сверху вниз. Тогда этот переход может увеличить энергию света на яло, если найдутся такие атомы, у которых занят верхний уровень. Можно разработать нетепловои метод приготовления газа, в котором число состояний т гораздо больнице числа состояяий и.
Газ будет очень далек от равновесия, и формулу ехр( — Йю(ЯТ), верную для равновесия, к нему применить нельзя. Можно добиться даже, чтобы число занятых верхних состояний было очень большим, тогда как число атомов в нижнем состоянии практически будет равно нулю. Тогда свет с частотой, соответствующей разности энергий ń— Ев, будет поглощаться очень слабо, потому что атомов, находящихся в состоянии и и способных поглотить его, очень мало. С другой стороны, когда газ иа таких атомов освещен, то свет вызывает излучение из верхнего состояния! Таким 80 Ф и г.
42.8. При возбуждении галубым светам атем поднимается на высигий бредень Ь и, быстро испустив 4гтан, сваливается с пегО на уровень т, Когда число атомов г состоянии т станагител достаточна дгльтиа, тгиалает дейепгвгг лагере. сдлубд образом, если в верхнем состоянии находится много атомов, то начннаотся что-то вроде цепной реакции, когда атомы вдруг начинают излучать; более того, они вынуждены излучать и все разом проваливаются в нижнее состояние.
Так работает лазер, а если излучаются инфракрасные волны, то их источник называсот мазером. Чтобы загнать атомы в состояние и, прибегают к разным ухищрениям. Может существовать более высокий уровень, на который атомы можно поднять сильным пучком света высокой частоты. С этого высокого уровня атомы падают вниз, испуская самые различные фотоны, пока не соберутся на уровне и. Если атомы стремятся задержаться на урогне и, ке излучая фотонов, то этот уровень называют мепсаеиббснгьным. А потом атомы разом спрыгивают с уровня и, сопровождая прыжок вынуясденным излучением.
Еще одна техническая деталь— если поместить нашу систему в обычный ящик, то она может спонтанно излучать во многих направлениях, что наносит ущерб вынужденному излучению. Но можно усилить эффект вынуждения н увеличить его значение, поставив у каясдой стенки ящика почти полностью отражающие зеркала; тогда напученный свет получает шанс вызвать дополнительное излучение, следующее отражение добавит еще один такой шанс, а потом еще, еще и еще. Хотя зеркала отражают почти весь свет, существует небольшая вероятность прохождения части света сквозь зеркало н выхода наруясу. В конце концов весь свет, подчиняясь закону сохранения энергии, выйдет наружу в виде тонкого, сильного пучка.
Так и нолучасот мощные пучки света в лазерах. .4О Глава ~с~ 1~ИЭЕУВИН ф А Столкноветзия молекул До сих пор мы изучали движение молекул только при тепловом равновесии. Л теперь нун:но обсудить, как движутся молекулы газа, когда он близок к равновесию, но еще не достиг ого полностью. Если газ слишком неравно- весен, все становится чрезвычайно сложным и разобраться в том, что там происходит, очень трудно, а вот если отклоненяя от равновесия незначительны, то задачи решаются легко. Однако, чтобы рассмотреть, чтб происходит в таком газе, надо снова вернуться к кинетической теории.
Статистическая механика и термодинамика пригодны, когда имеется равновесие, а чтобы проанализировать то, чтб происходит при отклонении от равновесия, приходится, так сказать, перебирать атом за атомом. В качестве простого примера неравновесной задачи рассмотрим диффузию ионов в газе. Предположим, что в газе содержится немного конов — электрически заряженных молекул.
Если к газу приложить электрическое поле, то на каядый ион будет действовать сила, отличающаяся от сил, действующих на нейтральные молекулы. Коли бы других молекул пе было, то ион двигался бы с постояннзэм ускорением, пока не наткнулся бы на стенку ящика. Но наличие других молекул меняет дело: скорость нона возрастает лишь до тех пор, пока он не ударится о молекулу и не потеряет своего иьшульса. После этого он снова начинает ускоряться, но вновь теряет импульс. В результате ион вынужден двигаться по ломаному пути, хотя все же в конце концов он движется в направлении электрического поля.
82 5 С Столкновения молекул В 2. Средняя длппа своооднсго прооега 8 4. Ионная й б. Иолскулясная диффузия ф 6. Теялопровод- ность Мы замечаем, таким образом, что ион «дрейфует» со средней скоростью, пропорциональной электрическому волю; чем сильнее поле, тем быстрее движется ион. Конечно, пока существует поле и пока ион продолжает двигаться, не зюлсен» быть и речи о тепловом равновесии. Система стремится прийтн к равновесию, но для этого ну'кно, чтобы все воны врикленлпсь к стенке ящика. С помощью кинетической теории возможно вычислить скорость дрейфа ионов. Наших математических познаний еще недостаточно, чтобы точно вычислить все, что произойдет, но мы можем получить приближенное решение, которое правильно передаст все существенные особенности явления.
Мы можем определить зависимость эффекта от давления, температуры и т. в., но не о наших силах вычислить точно все коэффициенты, стоящие перед этими сомножителями. Поэтому не будем мучить себя заботой о точных значениях таких коэффициентов. Получить их мок«но только после очень тонкого математического анализа. Пре»кде чем рассуждать о том, чтб происходит в отсутствие равновесия, посмотрим повнимательнее на равновесный газ.
Необходимо, например, знать среднее время между двумя последовательными столкновениями молекулы. Каждая молекула непрерывно сталкивается с другими молекулами. Происходят все эти столкновения, конечно, случайно. Если выбрать какую-ниоудь молекулу, то за достаточно долгое время Т она получит определенное число Л' ударов. Если увеличить промежуток времени вдвое, то и число ударов возрастет вдвое.
Таким образом, число столкновений пропорционально времени Т. Эт'о можно выразить следующим образом: (43.1) Мы записали постоянную пропорциональности в вяде 11», где» имеет размерность времеви. Постоянная» — зто среднее время между столкновениями. Предполо«ким для примера, что за час происходит 60 столкновении; тогда» равно одной минуте. Мы будем говорить, что» (одна минута) это среднее время между столкновениями. Часто нам придется искать ответ на такой вопрос: 11акова вероятность того, что молекула испытает столкновение в течение малого прожжул»ка времени А'. Мы догадываемся, что эта вероятносгь равна И/».
Попытаемся, однако, привести более убедительные аргументы. Предположим, что в нашем распоряжении имеется очень большое число Лс молекул. Сколько молекул из этого числа столкнется в течение интервала времени йг? Если молекулы находятся в равновесном состоянии, то ничего не будет меняться е среднем со временем, Таким образом, Л' молекул, пробывших в ящике в течение интер- 83 вала дг, испытают столько >ке соударений, сколько одна молекула за время Л>Ж Число соударений одной молекулы за болыпое время Л>дг известно — это Лга>г/т. А если число соударений между Л' молекулами за время дг равно Лгагг>т, то вероятность удара для одной гшлекулы равна 1/Л части этой величины, нли (1/Л')(Лгаг/т)=дг/т (как мы и говорили с самого начала).
Таким образом, относительное число молекул, сталкивающихся за время дг, грубо говоря, равно д?/т. Если, напрпмер, т равно одной минуте, то за секунду столкнется '/вв часть всех молекул. Ото означает, конечно, что если в данный момент '/„ часть молекул подошла достаточно близко к тем, с кем онн долягяы столкнуться, то их столкновение произойдет в течение следугощей минуты. Когда мы говорим, что т (среднее время между столкновениями) равно одной минуте, то мы вовсе не считаем, что все столкновения разделены в точности минутными интервалами. Частица, столкнувшись, совсем не выжидает потом еще минуту, чтобы нанести следующий удар. Промежутки менарду последовательнымн столкновениями весьма различны. В дальнейшем, правда, нам это не понадобится, но можно задать такой вопрос: А чему все же равно время между столкновениями> Мы уже знаем, что в приведенном выше примере среднее время равно одной минуте, но нам, быть может, нужно знать, какова вероятность того, что молекула не столкнется ни с кем в течение двух минут? Ответим на более общий вопрос: Какова вероятность того, что молекула не испытает нн одного столкновения за время г? Начнем в какой-то произвольный момент времени, который мы назовем г -О, следить за определенной молекулой.
Какова вероятносгь того, что до момента встречи ее с другой молекулой пройдет время г? Чтобы вычислить вероятность, посмотрим, что случится со всеми Л'э молекулами, находящимися в ящике. Пока мы ждем в течение времени г, некоторые молекулы испытают столкновения. Пусть Лг(г) — число молекул, не исиипгавших столкновенпй за время й Мы можем определить Лг(г), ибо нам известно, как это число меняется со временем.
Это число Л>(г), естественно, меньше общего числа молекул Лг,. Если мы знаем, что за время г избежать столкновений удалось Л>(С) молекулам, то Л'(Г+дг) (чпсло молекул, которым удалось сделать это за время г+Ю) меньше Лг(г) на число молекул, все-таки столкнувшихся за время Ж.
Мы уже раньше научились определять число молекул, которым не удалось избе>кать столкновений за время аг, с помощью среднего времени т: Й/>/=Лг(г)йг/т. Мы получаем уравнение /У(?+г/г) =Л'(г) — Л" (г)" — '. (43.2] с1'~'0) л О) лк (43.3) Число молекул, выбывших нз игры аа промежуток Ж, пропор- ционально числу наличных молекул и обратно пропорционально среднему времени жизни т. Уравнение (43.3) легко проинтег- рировать, если переписать его в виде пп [к) вк иШ т' (43. 4) Поскольку в каждой части стоит полный дифференциал, то интеграл уравнения таков: к !и Л'(5) =- — — 6 постояппая, или, что то же самое, /т (К) =-'(псстопвнзя) е (43.6) Мы знаем, что постоянная должна быть равна Л' — полному числу молекул, потому что в начальный момент к:=0 все моле- кулы и'дуг «следующего» удара.
Мы можем записать наш результат в виде Л'(5) = — Л'„е (43. 7) Если мы хотим определить вероятность Р(1) того, что кколекула не испытает столкновений, иуккно величину Л(5) поделить на Гтп; тогда получим Р(5) =-е и'. (43.8) Вот наш результат: вероятность того, что какая-то молекула сможет прожить время Г, не столкнувшись, равна ехр( — 5/т), где т — среднее время между столкновениями. Вероятность зта начинается с 5 (очевидности) при к=0 и уменьшаетсп по мере того, как г становится все больше и больше. Вероятность того, что молекула избежит столкновений за время т, равна е ' = 0,37... Шансов выде ряса ть дольше, чем среднее время меякду столкновениями, меньше половины.
В атом нет ничего странного, потому что существует достаточно много молекул, которые избегают столкновений значительно дольше среднего времени меякду столкновениями, так что среднее время между столкновениями по-прежнему равно т. Первоначально мы определили т как среднее время лезгду столкновениями. Сформулированный в виде уравнения (43.7) 85 Величину, стоящу|о в левой части урапнения, Л'(г+Н1), можно в согласии с общими правилами дифференциального исчисления записать в виде Лк(Г)+(с%/й)(д~). Сделав зту подстановку, мы приведем уравнение (43.2) к виду результат говорит нам, что среднее время, отсчитываемое от произвольно взятого момента до следующего столкновения, также равно т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
