Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Этот несколько удивительный факт можно продемонстрировать следующим образом. Число молекул, которые испытают их следующее столкновение в промеягутке «11, отсчитанного от времени 1 после произвольно взятого начального времени, равно Л'(1)д1/т. Их «промежуток времени до следующего столкновения» равен, конечно, 1. «Среднее время до следующего столкновения» получается обычным образом: Среднее время до следующего сгозквовсвпя= —, ~ 1 — г/1. г 1у (г) Л',) » Используя полученное из (43.7) число Лг(1) и вычисляя интеграл, найдем, что т — это среднее время, отсчитанное от любого момента до следующего столкновения.
й) л. Средняя, данна свободного нробвга Есть еще возможность описать столкновения молекул, не вводя для этого врез«гни между столкновениями. Можно определить, далеко ли успеет уйти частица между столкновениями. Если мы знаем, что среднее время между столкновениями равно т, а средняя скорость молекул равна г, то очевидно, что среднее расстояние между столкновениями, которое мы обозначим буквой 1, равно пропзведепгно т и щ Это расстояние между столкновениями обычно называют длиной свободного пробега: (43.0) Длггпа сэободпого пробега 1 = то. В этой главе мы не будем уточнять, какого рода средне« мы имеем в виду в каждом случае. Существугощие разные средние — среднее, корень яз среднего квадрата и т.
д.— приблизительно равны и отличаются только множителями, близкими к единице. Поскольку для получения правильных множителей необходим подробный анализ, нам нет смысла очень уж стараться уточнять, какое именяо среднее используется в том или ином случае. Ыы хотим еще предупредить читателей, что используемые для обозначения физических величин алгебраические символы (например, 1 для длины свободного пробега) не являются общепринятыми просто потому, что об этом никто еще специально не договаривался.
Вероятность того, что молекула испытает столкновение, пройдя расстояние ага, равна дк/1, как вероятность столкновения за короткий промежуток времени д1 равна г(1/т. Призвав на помощь те нге аргументы, что и раныпе, читатель омон«от показать, что вероятность того, что молекула пройдет по край- Плие«оде схопкноеения а Едоки плоида Ф и г. дд,т. Эугугеепиеное сенение спголкноеения. Полное ннсеомаленуе псих доя еокрмеаемая плаигадикхъ«со ней мере расстояние х, прежде чем испытает следующее столкновение, равна е ". Среднее расстояние, которое молекула проходит между столкновениями (длина свободного пробега 1), зависит от количества молекул, ее окружающих, и от того, какого «размера» эти молекулы, т.
е. от того, насколько уязвимую мишень представляют они собой. «Размеры» мишени при столкновениях обычно описывают при помощи «эффективного сечения столкновений»; эта же идея используется и в ядерной физике или в вадачах о рассеянии света.
Рассмотрим движущуюся частицу, которая проходит расстояние сох внутри газа, содержащего и, рассеивателей (молекул) в единичном объеме (фиг. 43.1). На каждой площадке единичной площади, перпендикулярной к направлению движения выбранной нами частицы, имеется пес(х молекул. Если каждая могд«ет быть представлена эффективной площадью столкновения, или, как обычно говорят, «эффективным сечением столкновения» о„то полная площадь, покрываемая рассеивателями, равна о,пспх. Под «эффективным сечением столкновения» понимается площадь, в которую должен попасть центр частицы, если она должна столкнуться с заданной молекулой.
Если молекулы выглядят как маленькие шарики (класспческая картина), то следует ожидать, что о,=п(гд+ге)», где г, и гз— радиусы двух сталкивающихся молекул. Вероятность того, что наша частица столкнется с какой-нибудь молекулой, равна отношению площади, покрываемой рассеивающими молекулами, к полной площади, принятой нами за единицу.
Таким образом, вероятность столкновения на пути с)х равна о,п Йх; Вероятность столкновения вв пути ссх = оспе с(х, (43. 10) Мы уже отметили раньше, что вероятность столкновения на пути с(х может быть записана в терминах длины свободного пробега 1 как г(х/с. Сравнивая это с (43.10), можно связать длину свободного пробега с эффективным сечением столкновения; 1 — =-ап. с» (43И1) Это равенство легче запомнить, если записать его так: а,.п,1= 1. (43.12 ) Эта формула говорит, что если частица проходит путь 1 внутрь рассеивателя, в котором молекулы могут как раз покрыть вс«о площадь, то в среднем происходит одно столкновение. В цилиндре высотой 1, поставленном на основание еднничной площади, содержится п,1 рассецвателен; если каждый нз ннх завил«аег площадь а„то полная площадь, покрытая ими, равна п„(а», а это как раз единячая площадь.
Конечно, молекулы не по»прыва>от всей площади целиком, потому что часть молекул прячется за соседние молекулы. Поэтому некоторые молекулы пройдут между столкновениями большее, чем 1, расстояние. Ведь это только в среднем молекулам ме«кду столкновениями дается ровно столько времени, чтобы они смогли пройти расстояние 1. Измеряя длину свободного пробега 1, можно определить эффективное сечение рассеяния а, и сравнить этот результат с расчетами, основанными на детальной теории строения атомов. Но это уже совсем другая тема! А пока вернемся к проблеме неравновесных состояний.
Э 3. Сноу»астпь ду»еййба Мы хотим описать поведение одной илн нескольких молекул, которые чем-то отличаются от огромного болыпинства остальных молекул газа. Ьудем называть «большинство» молекул молекулами «фона», а отлича«ощиеся от них молекулы получат название «особых» молекул, нли (для краткости) Я-молекул. Молекула может быть особой по целому ряду причин: она может быть, скажем, тяжелее молекул фона.
Может она отличаться от них также химическим составом. А, может быть, особые молекулы несут электрический заряд — тогда это будет ион на фоне нейтральных молекул. Из-за необычности масс или зарядов на Ь'-молекулы действуют силы, отличающиеся от сил между молекулами фона. Изучая поведение Я-молекул, можно пояять основные эффекты, которые вступают в игру во многих разнообразных явлениях. Перечислим некоторые нз ннх. "диффузия газов, электрический ток в батарее, осажденне, раздевание при помощи центрифуги и т. д. Начнем с изучения основного процесса: на»'-молекулу в газе из молекул фона действуют какая-то особая сила г (это монет быть сила тяжести или электрическая сила) и', кроме того, более обычные силы, обусловленные столкновениями Рт Ч ЛР ~43Л3) Это паше основное соотношение, главное во всей главе.
Прн нахождении т могут появиться всякого рода усложнения, но основной процесс определяется уравнением (43.13). с молекулами фона. Нас интересует общий характер поведения Я-молекулы. Детальное описание ее поведения — это непрерывные стремительные удары и следующие одно за другим столкновения с другими молекулами. Но если проследить внимательно, то станет ясно, что молекула неуклонно движется по направлению силы Г. Мы говорим, что дрейф накладывается на беспорядочное движение.
Но нам хотелось бы знать, как зависит скорость дрейфа ог силы Г. Если в какой-то произвольный момент времени начать набл>едать за Ь'-молекуле>ц то можно надеяться, что попали мы как раа где-то между двумя столкновениями. Это время молекула употребит на то, чтобы в дополнение к скорости, оставшейся у нее после всех столкновений, увеличить составляющую скорости вдоль силы Г. Немного погодя (в среднем через время т) она снова испытает столкновение и начнет двигаться по новому отрезку своей траектории.
Стартовая скорость, конечно, будет другой, а ускорение от силы Г останетсн неизменным. Чтобы упростить сейчас дело, предположим, что после каждого столкновения наша 5-молекула выходит на совершенно «свободный» старт. Это значит, что у нее не осталось никаких воспоминаний о прежних ускорениях под действием силы Г. Такое предположение было бы разумным, если бы на>па Я-молекула была намного легче молекул фона, но зто, конечно, не так. Позднее мы обсудим более разумное предположение. А пока предположим, что все направления скорости Я-молекулы после каждого столкновения равновероятны. Стартовая скорость имеет любое направление и не может дать никакого вклада в реаультирующее движение, поэтому мы не будем принимать во внимание начальную скорость после каждого столкновения. По, кроме случайного движения, каждая о'-молекула в любой момент имеет дополнительную скорость в направлении силы Г, которая увеличивается со времени последнего столкновения.
Чему равно среднее значение втой части скорости? Оно равно произведению ускорения Г)т (где т — масса Ю-молекулы) на среднее время, прошедшее с момента последнего столкновения. Но среднее время, протекшее после последнего столкновения, должно быть равно среднему времени перед следующим столкновениом, которое мы уже обозначили буквой т. Средняя скорость, порождаемая силой Г, — это как раз скорость дройфа; таким образом, мы пришли к соотношению Обратите внимание, что скорость дрейфа пропорциональна силе. К сожалению, о названии для постоянной пропорциональности еще не договорились.
Ноэффициент перед силой каждого сорта имеет свое название. В задачах, связанных с злектричеством, силу можно представить как произведение заряда на электрическое поле: Г=дЕ; в этом случае постоянную пропорциональности между скоростью и электрическим полем Е называ«от «подвижностшо». Несмотря на возможные недоразумения, мы будем применять термин под«и ность для отношения скорости дрейфа к силе любого сорта. Будем писать о„= рр (43.14) и называть в подвижностью. Иэ уравнения (43.13) следует (43.15) Подвижность пропорциональна среднему времени между столкновениями (редкие столкновения слабо тормозят Я-молекулу) и обратно пропорциональна массе (чем больше инерция, тем медленнее набирается скорость между столкновениями).
«1тобы получить правильный численный коаффициент в уравнении (43.13) (а у нас он верен), нужна известная осторожность. Во избежание недоразумений нужно помнить, что мы используем коварные аргументы, и употреблять их можно только после осторожного и детального изучения. Чтобы покааать, какие бывают трудности, хотя по виду вроде все благополучио, мы снова вернемся к тем аргументам, которые привели к выводу уравненвя (43.13), но этп аргументы, которые выглядят вполне убедительно, приведут теперь к неверному результату (к со;каленшо, такого рода рассуждения можно найти во многих учебниках!). Можно рассуждать так: среднее время между столкновениями равно т. После столкновения частица, начав двигаться со случайной скоростью, набирает перед следующим столкновением дополнительную скорость, которая равна произведению времени на ускорение.
Поскольку до следующего столкновения пройдет время т, то частица наберет скорость (Р(уп)т. В момент столкновения эта скорость равна нулю. Поэтому средняя скорость между двумя столкновениями равна половине окончательной скорости, а средняя скорость дрейфа равна '/«Рт!т. (Неверно!) Этот вывод неверен, а уравнение (43.13) правильно, хотя, казалось бы, в обоих случаях мы рассуждали одинаково убедительно. Во второй результат вкралась довольно коварная ошибка: при его выводе мы фактически предположили, что все столкновения отстоят друг от друга на время т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
