Фейнман - 03. Излучение. Волны. Кванты (1055663), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Считалось, что это слишком длинная процедура, но сейчас, когда мы вооружены вычислнтельнымн машинаьш, этот способ вполне хорош. Сформулировав задачу математически, легко подсчитать пути всех лучей. Словом, дело это простое и не требует новых принципов. Кроме того, законы и элементарной и специальной оптики фактически неприменимы в других областях, поэтому нам не было бы необходимости чересчур подробно изучать предмет, если бы не одно ваязное исключение. 5 2. Фокусное расстояние дли сферической поверхност н $ 3.
Фоиусное расстоиние линам 5 4. Увеличение 5 б. Сложные лииаы 5 6. Аберрации $ 7. Раарешающаи способность Ф и е . Ет.т Треуеольнггк, оысопга которого Ь меньше осноеоппл сд а еиаотенуза е болоте осноеения. Оказалось, что наноолее современная и абстрактная теория геометрической оптики, разработанная Гамггггьтоггогг, имеет весьма вагкные приложения в механике, причем в механике она имеет даже болыпее значение, чем в оптике, позтому пусть его аанимается курс, аналитической механики. Л пока, понимая. что геометрическая оптика интересна только сама по себе. мы перейдем к изучению злелгевтарных свойств оптических систем на основе принципов, изложенных в предыдущей главе.
Для дальнейшего нам понадобится одна геометрическая формула: пусть дан треугольник, высота которого Ь мала, а основание с( велико; тогда гипотепуза г (фпг. 27.1) больше основания (нам нужно зто знать, чтобы вычислить разность времен на двух различных путях света). Насколько гипотенуза больше основаггияу Ъ1ы можем найти разность ьй:.=г — с1 несколькимп спосооами. Например, г' — Иг.—./ге или (г — с1) (гч-с1) =.6Я.
Но г — с(=Л, а г-, г( 2г. Таким образом, (27.1) Вот н все, что нам нужно знать ич геометрии для изучения изображений, получаемых с помощью кривых поверхностей! ;у м'. Фокусное рисе апоян™е д.гя сферической гговерхноеггг и Рассмотрим сначала простешпий пример преломляющей поверхности, разделяющей две среды с разными показателямп преломления (фпг. 27.2). Случай произвольных показателей Ф и о.
Е7.2. Фоьусироена на прело.гг,гяюыгей поеерхности. пусть разберет читатель самостоятельно; нам важно рассказать об идее, задача жо достаточно проста и ее можно решить в любом частном случае. Итак, пусть слева скорость света равна 1, а справа 1/и, где п — показатель преломления. Свет в стекле идет медленнее в п раз. Теперь представим себе точку 0 иа расстоянии з от лицевой поверхности стекла и другую точку 0' на расстоянии з' внутри стекла и попытаемся выбрать кривую поверхность так, чтобы каждый луч, вышедлпш из 0 п попавший на поверхность в Р, приходил в точку 0'.
Для этого нужно придать поверхности такую форму, чтобы сумма времени прохождения света на пути от 0 к Р (т. е. расстояние ОР, деленное на скорость света, равную единице) плюс и О'Р, т.е. время на пути от Р к 0', было постоянной величиной, не зависящей от положения точки Р. Зто условие дает уравнение для определения поверхности.
В результате получается весьма сложная поверхность четвертого порядка (читатель может вычислить ее для собственного удовольствия с помощью аналитической геометрии). Проще рассмотреть специальный случай г — ~-со, когда кривая получается второго порядка и ее легче определить. Интересно сравнить эту кривую с кривой для фокусирующего зеркала !когда свет приходил пз бесконечности), которая, как вы помните, оказалась параболой. Итак, нужную поверхность сделать нелегко; чтобы сфокусировать свет от одной точкь в другую, нужна довольно сложная поверхность.
Практически такие сложные поверхности даже не пытаются создать, а пользуются компроззиссным решением. Мы не будем собирать все лучи в фокус, а соберем только лучи, достаточно близкие к осн 00'. Раз идеальная форма поверхности столь сложна, возьмем вместо нее сферическую поверхность, которая имеет нужную кривизну у самой оси, и пусть далекие лучи отклоняются от осн, если они того хотят.
Сферу изготовить намного проще, чем другие поверхности., поэтому выберем сферу и рассмотрим поведение лучой, падающих на сферическую поверхность, Будем требовать точной фокусировки только для тех лучей. которые проходят вблизи от осп. Иногда этп лучи назъзвают парлксиальныли, а пап|а задача — найти условия фокусировки параксиальных лучей.
Поз;ке мы обсудим ошибки, связанные с отклонением лучей от осн. Итак, считая, что Р близко к оси, опустим перпендшзуляр РО длиной й. Если бы наша поверхность была плоскостью, проходящей через Р, то время, затрачиваемое на пути от 0 к Р, превышало бы время на пути от О к О, а время на пути от Р к 0' превышало бы время от 0 к 0'. Поверхность стекла должна быть кривой, потому что только в этом случае весь излшпек времени компенсируется задержкой при прохождении пути от К к О! Далее, излишек времени на пути ОР есть йэг2г, а излишек вро- иена на отрезке О'Р есть пЯ2з'.
Это лишнее время„которое должно компенсироваться временем на пути )ггпу', накапливается на пути в среде, а не в вакууме. Другими словамп, время на пути Р гс' в и раз больше соответствующего времени в вакууме, а поэтому лишнее время на этом отрезке есть (и — г))гг'.1. Ну, а какова длина )гО? Если С есть центр сферы с радиусом й, то с помощью уже знакомой нам формулы выводим, что длина Рг,г есть И'2Л. Й результате мы получаем закон, который связывает длины з и с' и определяет радиус кргивизны В искомой поверхности: ь' пв.
ь2 — + —,=(гг — 1),— 2г 2г' 2Я (27. 2) илн 1л и и — 1 г 'г' Я (27. 3) Если мы хотим сфокусировать свет яз точки О в точку О', то эта формула позволлет вычислить тробуомьш радиус кривизны поверхности. Интересно, что та же линза с таким же радиусам кривизны Л будот фокусировать и на других расстояниях, т.
о. она нвляется фокуснрующей для любой пары расстояний, длн которых сумма обратной величины одного расстояния и обратной величины другого, умноженного на л. есть постоянное число. Таким образом, данная линза (если учитывать только паракснальпыо лучи) является фокусирующой не только для точек О н О', но и для бесконечного числа пар точек, если эти пары удовлетворяют соотношению 1,'з+л'с'=постояггная, характеризующая данн5ю линзу. Представляет интерес частный случай г — г-оо. Из формулы видно, что при увеличении з другое расстоянпе з' уменьшается.
Другими словами, когда точка О удаляется, точка О' приближается. н наоборот. Когда точка О уходит на бесконечность, точка О также двигается внутри стекла вплоть до расстояния, называемого фокусньии расстоянием у'. Если гга линау падает параллельный пучок лучей, он соберется в линзе на расстоянии 7'. Можно задать вопрос и по-другому. (Вспомним правило обратимости: если свет переходит из О в О', оп, разумеется, ь(ожет двигаться н в обратном направлении, пз О' в О,) Таким образом, если источник света находится внутри стекла, то может возникнуть вопрос, где лучи соберутся в фокус? В частности, осли источник внутри стекла находится на бесконечности (та же задача, что и раньше), то где будет фокус вне линзы? Это расстояние обозначают через 1.
Можно, конечно, скавать и иначе. Если источник расположен на расстоянии л, то лучи, проходя через поверхность линзы, выйдут параллель- ным пучком. Легко определить 7 и 1: н н — 1 1 н — 1 р Вн и — 1 К у= —. и — 1 (27.4) пля (27. 5) пчп Отметим интересный факт: если мы разделим каждое фокусное расстояние на соответствулощвй показатель преломления, то получим один и тот же результат! Па самом деле, это общая теорема. Она справедлива для любой сложной системы линз, ллоллоилу ее стоит запомплпь. й(ы не доказали эту теорему в оощем гиде, а лишь отметали ее применимость для одной поверхности, однако оказываотся, что воооще два фокусных расстояния некоторой системы связаны подооным образом.
Иногда выражение ('7.3) записывают в следующем виде: н р (27.б) лр и е. 2л.о. Мнимое иеобраиеение. Такая форма более удобна, чем (27.3), потому что проще измерить 7, чем кривизну и показатель преломлении линзы. Коли нам не нужно самим конструировать линзу илн изучать в подробностях весь процесс, а достаточна достать линзу с полки, то нас будет плпересовать только величина 1, а не и плп В! Любопытная ситуация возникает, когда г становится меньше 1. Что же тогда происходит? Прн а . 1 обратная величина (1Ь) болыяе (1,'1) и поэтому г' отрицательна.
Наша формула утверждаот, что свет фокусируется только при отрллцательном значелгии г',— понпмайтс как хотите! Ио означает это нечто весьма определенное лл интересное. Формула эта остается полезной и для отрицзтельных значений. Что она означает, ясно из фвг. 27.3. Исходящке из точки О лучи преломляются на поверхности, но в фокус не собираются, так как точка О расположена слишком близко к поверхности, и лучи становятся «более чем параллельным Однако они начинают расходиться так, как будто бы вышли нз точки О' вне линзы. Эта точка есть кажущееся изооражоние, или, как иногда говорят, лляиэлое изобралеение. ер и г. В7.4. Пооепов повергпоеть рагова одоооражает почку 0' в пеочьу гв Изооражевие О' на фиг.
27.2 называется дейоткнгпельчььчг изобрауовггиезг. Действительное изооражение возникает, когда свет действительно проходит через точку. Но если кажется, что свет исходит из некоторой фиктивной точки, не совпадающей с действительным источником, то ота точка и есть мнимое изображение. Следовательно, для отрицательных в точка О находится по другую сторону поверхности,и все встает на свои моста.
Рассмотрим теперь интересный случай, когда  — оо; при этих условиях (1/о)+(и!о') =О. Иными словами, о'= — пго что означает, что если из плотной среды смотреть на некуоо точку в разреженной среде, то она будет казаться дальше в и раз. 3?ы можем прочитать наше уравнение и наоборот: при взгляде на объект, находящийся в плотной среде за плоской поверхностью раздела, нам будет казаться, что он расположен к нам ближе, чем па самом деле (фпг.
27.4). Когда мы смотрим сверху на дно плавательного оассейна, он ка;кется нам мельче в г~о раза, чем он есть на самом деле; эта цифра есть обратная величина показателя преломления воды. Теперь мы могли бы перейтн к сферическому зеркалу. Но если вникнуть в смысл сказанного нами ранее, то вполне можно разобрать этот вопрос самостоятельно. Поэтому пусть читатель сам выведет формулы для сферического зеркала, но для этого полезно принять следующие условия: 1) расстояние до объекта з положительно, если точка О расположена слева от поверхности; 2) расстояние до изображения з' положительно, если точка О' расположена справа от поверхности; 3) радиус кривизны поверхности положителен, если центр находится справа от поверхности. ??апример, на фиг. 27.2 в, о' и В положительны; на фнг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
