Фейнман - 03. Излучение. Волны. Кванты (1055663), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если этот путь кратчайший по времени, то любой другой окан'ется длпннее. Поэтому если отложить на графике зависимость Ф и г. ед.д. яеллюееиразил принЧииа Феряеа длл случая преломлению 1Ве ер и в. кд Х Ввилтитр е вретк кдлрмие>ися кри вздоре томки С. Соседние точки приводят прилкрно к токояер же ереяини крохожденил. времени от положения точки Х, получится кривая, похожая на изображенную на фпг. 26.5, где точка С соответствует наименьшему времени. Это означает, что для точек Х вблизи С в первом приближении время прохождения практически одинаковое, гак как в точке С наклон кривой равен нулю, Итак, наш способ найти искомый путь сводится к требованию, чтобы при небольспом изменении положения точки время прохождения не менялось. (Конечно, возникнут бесконечно малые изменения времени второго порядка, н они должны Г>ыть положительными прн смещении в обе стороны от точки С.) Возьмем близкую точку Х, вычнслвм время прохождения на пути АХВ и сравним его со ,старым путем АСВ.
Сделать это очень просто. Конечно, нужно еще, чтобы разность времен стремилась к нул>о для малых расстояний ХС. Обратимся сначала к пути по суше. Если мы опустим перпендикуляр ЕХ, то легко увидим, что наш путь стал короче на длину ЕС. Можно сказать, что это расстояние мы выиграли. С другой стороны, опустив перпендикуляр СЕ, мы увидим, что в воде приходится проплыть дополнительное расстояние ХЕ. В этом мы проиграли.С точки зрения экономии времени выигрывается время на отрезке ЕС, но теряется на отрезке ХР.
Эти два интервала времени должны бьыь равны, так как в первом приближении полное время прохождения не меняется. Предположив, что скорость в воде равна скорости в воздухе, умноженной па 4>>г, получим (26.3) Поэтому мы видим, что если нам удалось правильно выбрать точку С (ХС гйп ЕХС =- пХС е! и ХСЕ) нли мы сократили на длину общей гипотенузы ХС и заметили, что ЕХС=ЕСИ=Ь, И ХСЕ=иВС>У'=бе, то мы получим е>п бе= п сйв 1,. (26.4) Отсюда видно, что при отношении скоростей, равном и, свет должен двигаться нз одной точки в другую по такому пути, чтобы отношение синусов О, и О, было равно отношению скоростей в двух средах.
ф 4. 1Хрчгмеиеиия тугзмугцмпа Ферма Рассмотрим теперь некоторые интересные следствия принципа наименьшего времеви. Первое из них — принцип обратимости. Мы уже нашли путь пз Л в В, требующий наименьшего времени; пойдем теперь в обратном направлении (счнтая, что скорость света не зависит от направления). Наименьшему временц отвечает та же траектория, и, следовательно, если сзс т распространяется по некоторому пути в одном направления, оп будет двигаться по этому пути и в обратном направленно.
Другой интересный пример! На пути света под некоторым углом поставлена четырехгранная стеклянная призма с параллельпыпп гранями. Свет проходит кз точки Л в В и, встретив на своем пути призму (фиг. 26.6), отклоняется, причем длительность пути в призме умоньшаотся за счет изменения наклона траекторпи, а путь в воздухе псиного удлиняется. Участки траектории вне призмы оказываются параллельными друг другу, потому что углы входа и выхода из призмы одинаковы. Третье интересное явление состоит в том, что когда мы смотрим на заходящее солнце, то оно на самом деле находится уже ниже линии горизонта) Нам казссепчся, что солнце еще над горн- зонтом, а оно фактически уже зашло (фиг.
26.7). Дело здесь в следующем. Земная атмосфера вверху разрежена, а в нижних слоях более плотная. Свет распространяется в воздухе медленнее, чем в вакууме, н поэтому солнечные лучи достигнут какой-то точки аа горизонтом быстрее, если будут двигаться не по прямой линии, а по траектории с более крутым наклоном в плотных слоях атмосферы, сокращая таким образом свой путь в этих слоях.
Кще пример того же рода — мираж, который часто наблюдают путешественники на раскаленных солнцем дорогах. Они видят на дороге зводуз, а когда подъезжают туда, то кругоы оказывается все сухо, как в пустыне! Сущность явления в следующем. То, что мы видим в этом случае, это «отраженный» дорогой свет. На фиг. 26.8 показано, вак падающий на дорогу луч света попадает к нам в глаз.
Почему? Воздух сильно раскален над самой дорогой, а в верхних слоях холоднее. Горячий ев и г. Гд д. „7уч света, выходящий из прозрачной пластины, параллелен падающему лучу, Х каюуиеоусл ~ аолюкекаю Солнца ггг и г. Гд у У горигоона Со.гиуе калгегггсе ка 'г градуса сиам, кел иа салол деле.
у глаца воздух, расширяясь, становится более разреженным, а потому н скорость света в нем болыве, чем в холодном. Другимп словамп, свет быстров проходит в теплых слоях, чем в холодных. Поэтому свет проходят не по прямой, а идет по траектории с нанмекыпим временем, заворачивая для этого в теплые слои воздуха, чтобы сократить время. Таким образом, свет идет по кривой. 11 еще один пример.
Представим себе такую ситуацию, когда весь свот, испускаемый в точке Р, сооирается обратно в другую точку Р' (фпг. 26.9). Это оапачает, конечно, что свет может попасть пз точки Р в Р' по прямой лилии. 1)то правильно. 11о как устроить так, чтобы свет, идущий от Р к ~',), тоже попал в Р'1 й(ы хотим собрать весь свет снова в одной точке, которуго называгот фокусол. Как это сделать? Поскольку свет всегда выбирает путь с наимоньшнм времеяем, то наверняка он не пойдет по другим предложенным нами путям.
Единственный способ сделать целый ряд близлежащих траекторий приемлемыми для света — это устроить так, чтобы для всех время прохождення было точно одинаковылг! В противном случае свет пойдет по траектории, требующей минимального времени. Поэтому задача построения фокусирующей системы сводится просто к созданию устройства, в котором свет тратят на всех путях одинаковое врехгя! Такое устройство создать просто.
Возьмем кусок стекла, в котором свет движется медленное, чем в воздухе (фиг. 26.10). Проследим путь луча света, проходящего в воздухе по линии Р()Р'. дтот путь длиннео, чом прямо из Р в Р', и наверняка занимает больше времени. Но если взять кусок стекла нужной толщины (позже мы вычисггилг, какой именно), то путь в нем скомпенсирует добавочное время, затрачиваемое прп отклонении луча яа траекторнп Р(>Р'. Прн этих условиях моиг~о устроить так, чтооы время, затрачиваемое светом на пути по прямой, совпадало со временем, затрачиваемым на пути РчеР'. Точно гя и г.
сд.д. Мираж Расколеааыо оасоа одо дороса ч1 !' ! Ф и г. 2Я.Л. Оптический ячерпий яи1ияе ! ! Оетсчесяоя система Ф иг. 2Я 10. Фокусирующая опоси- ческая систе,иа. так же, если взять частично отклоненный луч РИК'Р' !более короткпп, аем Р !!Р'). то придется скомпенсировать уже не так много времони, как для прямолинейноп траектории, но некоторую долю времени все же скомпенсировать придется. В результате мы приходим и форме куска стекла, пзобраокенной на афпг. 26.10.
Прп такой форме весь свет из точки Р попадет в Р'. Все это нам пзнестно уже давно, и называется такое устройство собирательной линзой. В следующей глане мы вычислкм, какой должна быть форма линзы, чтобы получить идеальную фокусиронку. Наконец, последний пример. Предположим, что нам нужно так поставить зеркало, чтобы свет из точки Р всегда приходил н Р' (фиг. 20.11).
На любом пути свет должен отразиться от зеркала, и время для всех путей должно быть одинаковым. В данном случае свет проходит только в воздухе, так что время прохоокдения пропорционально длине пути. Поэтому треоование равенстна времен сводится к требованию равонстна полных длин путей. Следовательно, сумма расстояний г! и го должна оставаться постоянной. Эллипс обладает как раз тем свойством, что сумма расстояний любой точки на его кривой от двух заданных точек постоянна; поэтому свет, отразившись от зеркала, имеющего такую форму, наверняка попадет из одного фокуса в другой.
Этот принцип фокусировки служит для наблюдения света звезд. При постройке болыпого 200-дюймового телескопа в обсерватории Паломар использовалась следующая идея. Вообравпте себе звезду, удаленную от нас на миллиарды километров; мы хотим собрать несь испускаемый ею свет в фокус. Конечно, мы не можем начортить всю траекторию лучей до звезды, тем не менее мы должны проверить, насколько времена на различных траекториях равны. Мы, конечно, знаем, что если множество различных лучей достигло плоскости Ксь ', перпендикулярной направлению лучей, то нремена для всех этих лучей будут рав- сг и г. Е6.11. Эллиптическое зеркало.
ны (фиг. 2бЛ2). Далее лучи должны отразиться от веркала и за равные промежутки времени попасть в фокус Р'. Это означает, что мы дол кны найти такую кривую, для которой сумма расстоянии ХХ'-5- Х'Р' будет постоянна, независимо от выоора точки Х. '1егче всего это сделать, продолжив отрезок ХХ* до плоскости ВВ'. Потреоуем теперь, чтобы выполнялись соотношения А'.4".=-А'Р', В В "=В'Р', С С"=С Р'ит. д.; в этом случае мы получаем нужную нам кривую, потому что сумма длин Л 'А +А 'Р'=АА '+Л 'А" будет постоянной для всех точек кривой. Значит, наша кривая есть геометрическое место всех точен, равноудаленных от линии и некоторой заданной точки. Такая кривая называется параболой; вот зеркало телескопа и было изготовлено именно в форме параболы.
Приведенные примеры э общих чертах иллюстрируют принцип устройства оптических систем. Точные кривые можно рассчитать, используя правило равенства времен на всех путях, ведущих в точку фокуса, и требуя, чтобы время прахе;аления на всех соседних путях было ббльшим. В следующей главе мы еще вернемся к фокуснрующим оптическим системам, а теперь обсудим дал ьнойшее развитие теории. Когда предлагается поэыэй физический принцип, таков, как принцип наименьшего времени, то нашей первой естественной реакцией могли бы быть слова: «Все это очень хорошо, восхитительно, но вопрос заключается в том, улучшает лп зто вообще наше понимание физики?». На это мо;кно ответить: аДа.
Посмотрите сколько новых фактов мы теперь поняли!э А кто-то возразит: еПу, в зеркалах я и так разбиршось. Мпе нужна такая кривая, чтобы каждая касательная к ней плоскость образовывала равные углы с двумя лучами света. 51 могу рассчитать и линзу, потому что кюкдый падающий на нее луч отклоняется на угол, даваемый законом Снеллаж Здесь очевидным образом содержание принципа наипеньпшго действия совпадает с законоы равенства углов при отражении и пропорциональности синусов углов при преломлении. Тогда, мояшт быть, это философский вопрос, а может быть, вопрос просто в том, какой путь красивее? Можно привести аргументы в пользу обоих точек зрения. Однако критерий важности всякого принципа состоит в том, что он предсказывает нечто новое. Легко показать, что принцип Форма предсказывает ряд новых фактов. Прежде всего предполоячим, что имеются три среды — стекло, вода и воздух и мы наблюдаем явление преломления и измеряем показатель и для перехода из одной среды в эв и г.
ЗВ.1З Параболэээеское зеркало. Рт Р'~ Р другую. Обозначим через п„показатель преломления для перехода из воздуха (1) в воду (2), а через иы — для перехода пз воздуха (() в стекло (3). Изыернв преломление з систште во; з— стекло, найдем еще один показатель проломлеяпя и назовем его лы. Здесь заранее нет оснований считать, что пм, пгг п изз связаны между собой. Если же исходить пз принципа наименьшего времени, то такую снять можно установить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
