Фейнман - 03. Излучение. Волны. Кванты (1055663), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Вернемся теперь к вычислению поля Е„создаваемого зарядамп пластинки. (Для удобства мы выписали в табл, 31.1 обозначения, которыми мы уже пользовались, и те, которые нам понадобятся в дальнейшем.) Смысл сделанных преобразований легче всего понять с помощью диаграммы комплексных чисел (см. фнг. 31 3). Отложим сперва Е, (з и г выбраны на рисунке такими, что Е, лежит на действительной осп, но это не обязательно). Задержка прн прохождении пластинки приводит к запаздыванию фазы Е„т. е. поворачивает Е, на отрицательный угол.
дто всо равно, что добавить малый вектор Е„направленный почти под прямым углом к Ее Именно такой смысл имеот множитель ( — г) во втором члене (31.8). Он означает, что при действительном Е, величина Е, отрицательная и мнимая, а в общем случае Е, и Е, образуют прямой угол. Твсзицв акт ° овозначкния, которыми мы пользткмся пгн вычислкнии Еа Е„ Лз з зу ц за ма иоле, создаваемое источником поле, создаваемое зарядамо влзстовкв толщина влзстввкв рзсстоявае во кармаля к оластввке показатель преломления частота (т слован) взлучанвя час.ю зарядов з едовцце объема вззстввка часдо зарядов ва едашвцу площади пластввкв заряд электрона масса электрона резонансная частота электрона, сзязаввого в атоме Если источник Я (на фиг.
31.1) находится слева на достаточно большом расстоянии, то поле Е, имеет одинаковую фазу по всей длине пластинки, и вблизи пластинки его можно записать в виде Е =Еаза Оаз-г'с) На самой пластинке в точке з=О мы имеем (31.3) /оаз лз ( —,+ю'х )=г" (,Ж» а (31.11) (лдесь г" — внешняя сила). В наптем случае внешняя сила создается электрическим полем волны источника, поэтому можно написать Г=д,Е,=д,Еав'"', (31.12) Е,=Еаезм (у пластинки). (31.1О) Зто электрическое поле воздействует на каждый электрон в атоме, и они под действием электрической силы дЕ будут колебаться вверх и вниз (если Е, направлено вертикально). Чтобы найти характер дви;кения электронов, представим атомы в виде маленьких осцилляторов, т.
е. пусть электроны упруго соединены с атомом; это значит, что смещение электронов нз нормального положения под действием силы пропорционально величине силы. Если вы слышали о модели атома, в которой электроны вращаются по орбите вокруг ядра, то эта модель атома вам покажется просто смешной. Но зто лшпь упрощенная модель. Точная теория атома, основанная на квантовой механика, утверждает, что в процессах с участием света электроны ведут себя так, как будто они закреплены на пружинах. Итак, предположим, что на электроны действует линейная возвращающая сила, и поэтому онп ведут себя как осцилляторы с массой т н резонансной частотой оза. Мы уже занимались изучением таких осцилляторов и знаем уравнение движения, которому они подчиняются: где о, †зар алектрона, а в качестве Е, мы взяли значение Еее=Еосоое нз УРавнениЯ (31.10).
УРавнение двн.венин электрона приобретает впд е'еое и ( н, + ыоох ) =д,Е,с""'. (31, 13) Рептснке этого уравнения, найденное нами раньше, выглядит следующим образом: х= хое~', (31. 14) подставляя его в (31.13), получаем Че~о ХО= о е (Оо о) (31.15) откуда х — е о ееое ей "( ~- о) (31.16) (31.17) Как и следовало ожидать, вынужденное колебание электронов привело к новой волне, распространяющейся вправо (на это указывает множитель ехр [ры(с — Ыс))); амплитуда волны пропорциональна числу атомов на единице площади пластинки (множитель е)), а также амплитуде поля источника (Ео).
Кроме того, возникают и другие величины, зависящие от свойств атомов (е7„и, еор). Самый важный момент, однако, заключается в том, что формула (31.17) для Е, очень похожа на вырая'ение Е, в (31.8), полученное нами с помощью введения запаздывания в среде с показателем преломления п.
Оба выражения совпадают, если положить (п — 1) Лв= Чте 2еоеи ( ооо — ооо) (31 18) Мы нашли то, что хотели,— движение электронов в пластинке. Оно одинаково для всех электронов, я только среднее положение (енульо движения) у каждого электрона свое. Теперь мы в состоянии определить поле Е„создаваемое атомами в точке Р, поскольку поле заряженной плоскости было найдено еще раныпе (в конце гл. 30). Обращаясь к уравнению (30.19), мл видим, что поле Е, в точке Р есть скорость заряда, запаздывающая по времени на величину вес, умноженная на отрицательную константу. Дифференцируя х из (31.Ы), получаем скорость и, введя запаздгявание (или же просто подставляя хо иэ (31.15) в (30.18)), приходим к формуле Заметьте, что обе стороны етого равенства пропорциональны Лз, поскольку ц — число атомов на единицу площади — равно Л'Лз, где Х вЂ” число атомов на единицу объема пластинки.
Подставляя ХЛз вместо ц и сокращая на Лз, получаем наш основной результат — формулу для показателя преломления, выраженную через константы, зависящие от свойств атомов, н частоту света: Лд' я=1 .~- Ве,т (а, '— со') (31.19) Эта формула «объясняет» показатель преломления, к чему мы и стремились. В1 ф З.
Дт»с»»ерсия Полученный нами результат очень интересен. Он дает не только показатель преломления, выраженный через атомные постоянные, но указывает, как меняется показатель преломления с частотой света е». С помощью простого утверждения «свет движется с мепьшей скоростью в прозрачной среде» мы никогда бы не смогли прийти к этому важному свойству. Нужно, конечно, еще знать число атомов в единице объема и собственную частоту атомов ю».
Мы еще не умеем определять ати величины, поскольку оня разные для разных материалов, а общую теорию по данному вопросу мы сейчас изложить не можем. Общая теория свойств различных веществ — их собственных частот и т. п.— формулируется на основе квантовой механики.
Кроме того, свойства различных материалов и величина показателя преломления сильно меняются от материала к материалу, и поэтому вряд ли можно надеяться, что вообще удастся получить общую формулу, пригодную для всех веществ. Тем не менее попробуем применить нашу формулу к разным средам. Прежде всего для болыпинства газов (например, для воздуха, большей части бесцветных газов, водорода, гелия и т. д.) собственные частоты колебаний алектронов соответствуют ультрафиолетовому свету. Эти частоты много болыпе частот видимого света, т.
е. »о, много больше е», и в первом приближении можно пренебречь е»» по сравнению с е»«'. Тогда показатель преломления получается почти постоянным. Итак, для газов показатель преломления можно считать константой. Этот вывод справедлив также и для большинства других прозрачных сред, например для стекла. Взглянув более внимательно на наше выражение, можно заметить, что при увеличении со знаменатель уменьшается, а, следовательно, показатель преломления растет.
Таким ооразом, я медленно увеличивается с ростом частоты. Для синего света показатель преломления больше, чем для красного, Именно поэтому синие лучи сильнее отклоняются призмой, чем красные. Сам факт зависимости показателя преломления от частоты называется сися«репей, так как именно из-за дисперсии свет «диспергнрует», раскладывается призмой в спектр. Формула, выражающая показатель преломления как функцию частоты, называется формулой дисперсии.
Итак, мы нашли диск«резонную формулу, (За последние несколько лет «длсперспонные формулы» стали использоваться в теории элементарных частиц.) Наша дисперсионная формула предсказывает ряд новых интересных эффектоз, Если частота о»г лежит в области видимого света или если измерять показатель преломления вещества, например стекла, для ультрафиолетовых лучей (где ге близко к <ег), то знаменатель стремится к нулю, а показатель преломления становится очень большим. Пусть, далее, е» оольше о»г. Такой случай возникает, например, если облучать вещества типа стекла рентгеновскими лучами. Кроме того, многие зощества, нопрозрачные для обычного света (скажем, уголь), прозрачны для рентгеновских лучей, поэтому можно говорить о показателе преломления этих веществ для рентгеновских лучей.
Собственные частоты атомов углерода гораздо меньше частоты рентгеновских лучей. Показатель преломления в этом случае дается ншпей дисперсионной формулой, если поло кить е»» =.О (т. е. мы пренебрегаем о»'„по сравнению с е»«). Аналогичный результат получается при облучении газа свободных злектроноз радиоволнами (илп светом). В верхних слоях атмосферы ультрафиолетовое излучение Солнца выбивает алек- тропы нз атомов, в результате чего образуется газ свободных электронов. Для свооодных электронов»о» =.О (упругой возвращающей силы нет). Полагая в нашей дисперснонной формуле ю, =О, получаем разумную формулу для показателя преломления радиоволн в стратосфере, где М теперь означает плотность свободных злектрояоз (чнсло на единицу объема) в стратосфере.
Но, как видно из формулы, прп облучении вещества рентгеновскими лучами илн электронного газа радиоволнами член (е»,— е»«) станови:ся отриустгльным, откуда следует, что п мгньшггдикизы. Это значит, что аффективная скорость электромагнитных волн в веществе бозыиг с) Может лн так быть? Может. Хотя мы и говорили, что сигналы не могут распространяться быстрее скорости света, тем не менее показатель преломления при некоторой частоте может быть как больше, так и меньше единицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
