Фейнман - 03. Излучение. Волны. Кванты (1055663), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ф 6. ДтссйРсскг?гсп ыа асвтсроз~исмыом эксим?се Рассмотрим сейчас весьма интересное явление. Иусть имеется непрозрачный лист с отверстиями, и по одну сторону от него расположен источник света. Нас интересует, какое изображение вовникнет на экране по другую сторону листа. Каэкдый скажет, что свет пройдет через отверстия и создаст на экране какое-те изображение. Оказывается, что это изобраясение можно получить с хорошей степенью точности, если предположить, что источники света равпомерно распределены по ширине отверстий, а фазы источников точно такие, как если бы непрозрачного листа вовсе не было. Источшиков в отверстиях на самом деле, конечно, нелв; во всяком случае, это как раа то место, где их наверняка не может быть. Товв не менее правильная дифракцпокиая картина получается, если считать, что источники расположены именно в отверстиях; факт довольно странный.
Позже мы объясним, почему такое предположение правильно, а пока примем его на веру. В теории дифракции есть один род дифракционных явлений, который стоит кратко обсудить. Речь идет о дифракции на непрозрачных экранах. Ооычно в элементарных курсах о них говорят гораздо позже, так как для их объяснения нужно использовать довольно сложные формулы суммирования малых векторов. В остальном этп явления не отличаются от уже рассмотренных нами. Все интерференционные явлония по существу одинаковы; в них не входят сколько-нибудь сложные понятия, только условия возникновения могут быть более сложными, и тогда векторы поля труднее складывать, вот и все. Предположим, что свет приходит из бесконечности, попадает на предмет и отбрасывает от него топь. На фиг.
30.7 изображен экран, на который свет отбрасывает тень от предмета ЛВ, причем источник света удален на расстояние, много болыпее длины волньь Казалось бы, вне тени интенсивность света максимальна, а внутри дол кна быть полная темнота. На самом же деле, если откладывать интенсивность как функцию расстояния до края тени, интонспвность будет сначала расти, а затем начнет спадать, колеблясь самым прихотливым образом вблизи края тени (фиг. 30.8).
11осмотрим, отчего это происходит. Для объяснения воспользуемся недоказанной нами теоремой, что вместо истинной с1 Ф Е Ф н г. 80.7. Далекии источник отбраснвает тень от непроврачного предмета на экран. КЕ!роэрачнов ивло ЗВ* ва картины опыта можно ввести эффективные источники, равномерно распределенные вне объекта. Представим себе этп эффективные источники в виде большого количества близко расположенных антони и найдем интенсивность в некоторой точке Р, Это очень похоже на то.
чем мы занимались до сих пор. Но не вполне, поскольку наш экран теперь находится не па бесконечности. В данном случае нас интересует интенсивность интерфорзрующпх лучей на конечном расстояния, а пз на бесконечности. Интенсивность в некоторой точке дается суммой вкладов от каждой антонны. Сначала возьмем антенну в точке лл, прямо напротив Р. Если слегка изменить угол, скажем, подняться на высоту 6, лучу потребуется болыпе проясни, чтобы попасть в точку Р (ахшлнтуда тоже изменится, так как расстояние до источника увеличилось, но разница зта очень мала, поскольку расстояние все равно велцко, и гораздо монсе важна. чем изменение фазы излучения). Далее, разностг ЕР— ллР равна йо,'?у, т.
е. разность фаз пропорциональна квадрату удаления от точки Рлг. тогда как раныве у нзс з было бесконечно н разность фаз была лииеапо связана с /н Когда фазы зависят от й липетйзпи каждый вектор повернут относительно предыдущего па постояяный угол. Теперь жо мы дол;кны построить кривую, складывая бесконечно малые векторы лрп условия, что образуемый ими угол с осшо абсцисс растет с увез пчеяиом длины кривой не линейным, а копдршяи:.гямгв ооразоч. Ягный гпд кривой находится с помощью довольно сложных матсэуатяческих методог„но мы гсггда можем построить зту кр'пьуто, просто откладывая векторы под требуемым углом.
В кокечном счете мы попугаем замечательную криву|о (называемую спиралью Коряво). пзобрал;енную яа фиг. Зсйа8. Как ею пользоваться? Р. Пусть трсоуется определить интенсивность, скшкем, в точке Сло'кпм волны с разными фазамп от точки Й вверх до бесконечности ь вппз от 1л до точки Вр. Таким образом, нужно отложить ряд стрелок под постоянно растущим углом, начиная с в. З0.8. Слоясегсие агсилитуд шова пасла освилляторов, игтсеил с одной гаагой ость маг га с спь сапа анвани пронанальна квадрату расстояния дв и Р на Фиг.
го.у. тв Х. ва |о Ф и г. 30.9, Хвд интеисивиагти вблизи края тени. Ггвигкзрикегкнй край клена нзхваитгя в тзккг х . точки Вр на фпг. 30.8. Всеь вклад от области над Вр дается спиральной кривой. Если оы суммирование заканчивалось в некоторой точке, то полная амплитуда представилась бы вектором от Вр до этой точки; в нашем случае суммирование водется до бесконечности, так *|то искомая амплитуда есть вектор (зр.. Точка на кривой, соответствующая точке Вр на предмете, зависит от положения точки Р, потому что точка Л кривой (точка перегиба) всегда относитсл к выбранной точке Р. Следовательно, в зависимости от положения Р над В начальная точка, откуда проводится вектор, попадает в разные места нижней спирали, и результирующий вектор Вр имеет многочисленные максимумы и лп|нимумы (фнг.
30,9). Но если мы находимся в точке (), по другу|о сторону от Р, то нам понадооитгя только верхний конец спиральной крпвоп. Другими словами, начальной точкой результирующего вектора будет пе Л, а В„, и, следовательно, книзу от Р интенсшшос.п должна непрерывно падать прп удалении () в область тени. Есть одна величина, которук| можно легко вычислить сразу и таким образом убедиться, что мы здесь что-то попимаем,— это интенсивность в точке, ле кащей прямо против края. Эта интенсивность равна '/, от пнтенгя|вности падающего света.
Причина; для точки, лежащей против края предмета (когда В„ совпадает с Л на фпг. 30.8), получается половина кривой в отличие ог целой кривой, которая была бы получена, если бы точки лезкали достаточно далеко в освшцеяноп области. Если точка В расположена достаточно высоко, результирующий вектор проводится от центра одной спирали до центра другой, а для точки на краю тени амплитуда равна по:|овине этого воктора; следовательно, отношение интенсивностей получается равным ',1|. В этой главе мы вычислялп интенсивность в разных направлениях при различном расположении источников. В заключоние выведем формулу, которая нам понадобится в следующей главе, посвященной показателго преломления. До сих пор мы обходились только относительными интенсивностями, а на этот раз мы получим формулу для полной величины поля при условиях, о которых будет рассказано никее.
й" У. 11еле еыстпены оецмллямгорое, ргзеыоложетьньгж иа плоскости ге Предположим, что имеется некоторая плоскость, которую заполняют осцклляторы, причем все онн колеблются в плоскости одновременно, с одной амплитудой и фазой. Чему равно поле на конечном, но достаточно болыпом расстоянии от плоскостир (Мы не можем выбрать точку наблюдения очень близко от плоскости, потому что у нас нет точных формул для поля вблизи источников.) Пусть плоскость зарядов совпадает с плоскостью ХУ и пас интересует поле в точке Р, лежащей на оси г, достаточно далеко от плоскости (фиг.
30.з0). Предположим, что число зарядов на единичной площадке равно и, а величина каждого заряда е. Все заряды совершают одинаковые гармоническяо колебания в одном и том ясе направлении, с той же амплитудой и фазой. Смещение заряда из его среднего вололссякя описывается функцией хо соз юй Вводя комплексную амплитуду, действительная часть которой дает реальное движение, будем описывать колебазгке заряда функцией х„ее"'. Чтобы найти поле, создаваемое всоми зарядами в точке Р, нужно вычислить сначала поле отдельного заряда 0, а затем сложить поля всех зарядов.
Как известно, поле излучения пропорционально ускорению заряда, т. е. — соехог' и (и одинаково для всех зарядов). Электрическое поле в точке Р, создаваемое зарядом в точке (), яропорцнонально ускорещпо заряда у, нужно только помнить, что поле в точке Р в момент времени 1 определяется ускорением заряда в более ранний момент времени 1' = — à — гсс, где г,'с — время, за которое волна проходит расстоя- Ф и е. 30.10. Лоле излучения ослабли руюсэих зорядоз, заполняютих плоскость.
ние от ~') до Р. Поэтому поле в точке Р пропорционально — оз'к вез"' н - 'К) (30.10) Подставляя это значенпо ускорения в формулу для поля, создаваемого зарядом на большом расстоянии, получаем элоктрвчесвое воле в р ~ = ч о~"д Н "0 ( б - (30 11) ( ' ') — —, " ( р б. '. ).'0.1 (првблвжовво).
' 0.1 создаваемое зародом в О,) бле,с' г Однако эта формула не совсем правильна, поскольку нужно орать не осе ускорение целиком, а его колзлоневту, перпендикулярную линии ()Р. Мы нредположим, однако, что точка Р находится от плоскости намного дальше, чем точка 1) от оси г (расстояние р на фиг.
30.10), так что для эффектов, которыо мы хотим учесть, косинус можно заменить единицей (косинус и так довольно близок к единице). Полное поле в топ;е Р получается сугмпзровавием вкладов от всех зарядов в плоскости. Разумеется, мы должны взять векторву~о сумму полой.
11о поскольку чаправленпе поля примерно одинаково для всех зарядов, в рамках сделанного приближения достаточно ело;кпть величины всех полей. Проне того, в н;пнем приближении поле в точке Р зависит только от г, следовательно, все заряды с одвпаковым г создают равные поля. Поэтому прежде всего сложим поля всех зарядов в кольце шириной с1р и радиусом р. Интегрируя затон по всем р, получаем полное поло всех зарядов. г1псло зарядов в кольце равно произведению площади кольца, 2лр ~)р, на т) — плотность зарядов на единицу площади.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
