Фейнман - 03. Излучение. Волны. Кванты (1055663), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В результате возникает мощный луч в нужноте направлении и ряд небольших побочных максимумов. Но в нашем частном примере есть одна добавочная непрпятностзк поскольку расстояние пожду соседними дпполями равно 2 Л, можно найти угол, для которого разность хода о лучей от соседних дилояей в точности равна длине волны. Сигналы от соседних осцилляторов будут отличаться на 360', т. о. снова окажутся в фазе. и в этом направлении мы получим еще один мощный пучок радиоволн! На практике этого эффекта легко избежать, если выбрать расстояние между осцилляторами меньше одной длины волны.
Само же возникновение добавочных максимумов прп расстоянии между осцилляторами более одной двины волны очень интересно и важно, но не для передачи радиоволн, а для дигдракуионных решеток. ф д, МытезсязаттетзеЕЕСКОЕ Оииесзтртгс гзтртысрфЕрЕтщгсгы Мы рассматривали излучение диполей с качественной точки зрения, теперь рассмотрим количественную картину. Найдезз прежде всего суммарное поле от двух источников в самом общем случае, когда разность фаз ех и силы осцилляторов Аз и А, произвольны; для этого необходимо сложить дза косинуса с одинаковой частотой, но разными фазами.
Разность фаз нзхо- дится весьма просто: она складывается пз разности, возникающей за счет неодинакового удаления точки наблюдения от обоих источников, и внутренней, задаяной разности фаз колебаний. Выражаясь математически, пам необходимо слов;ить две волны: Л вЂ”.. А, сов (сот + сз,) + А. сов (оы + грз). Как это сделать? Каждьш, вероятно, сумеет провести зто сложение, но тем не менее проследим за ходом вычислений. Преждо всего, если кы разбираемся в математике п достаточно ловко управляемся с синусами н косинусами, зту задачу легко решить.
С ~ллтзй простой случай, когда амплитуда А, равна Аз, и пусть обе онн обозначаются чорез А. В зтих условиях (пазовом зто тригонометрическим методом решения задачи) мы шюом Л= А (сов (оя —,'-~~,) .Р сов (ю1 -~-~р,)), (29.9) 11а уроках тригонометрии вы, веролшио, доказыгзлп равенство совА+совВ=2сов-,-(.4-';В)сов — (А — В). (20АО) 1, . ! 2 Если это яам известно, то мы немедленно получоеп В; /, 1, 1 Л=2А сов 2 (~,— 9~,)сов(ю1 Р-,г~р,+ —,, 9)„).
(29.11) Итак, мы снова получнлн синусопдальвую волну, по с новой фазой и новой амплитудой. Вообщо результат сложения двух сянусоидальных вслп есть спнусопдальная волна с новой амплитудой Ал, называемой результирующей амплитудой, и новоп фазой ~ря, называемой рсзульттлрующей фазой. В нашем частном случае результирующая амплитуда раппа А в = 2А сов — х (~р, — с~,), 1 (29Л 2) а результирующая фаза есть' арифметическое среднее обеих фаз. Таким образом, поставленная задача полностью ршпена.
Предположим теперьо что мы забылп формулу сложения косинусов. Тогда можно применить другоп метод ро:пения — геометрический. Косинус, зависящий от юй можно продставить в виде горизонтальной проекции некоторого ераи1аюп1вгосл вектора. Пусть имеется вектор Ао вращающийся с течеякем времени; длияа его равна.4,, а угол с осью абсцисс равен оы -(- ~рь (Мы пока опустим слагаемое ю1; как мы увидим, при выводе зто не играет роли.) Сделаем моментальный снимок векторов в момент времени 1 = О, помпа, что на самом деле вся схема вращается с угловой скоростьго ю (фнг, 29.9). Проекция А, иа ось абсцисс в точности равна А л сов (ел 1 +,р,).
В момент вре-. мени 1 = О вторая волна представляется вектором Ал, длина которого равна Аз, а его угол с осью абсцисс равен ~уз, причем Ф и г. 29.0. Гсолсвслричеслипв соосод слолсенол двух лось оуеолдо сьла.х волн. Чвроивв вроюовюсл со сьоросюью и хросвов лосовоес сюрвлло. он тоже вращается с течением времени. Оба вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью со, и пх отнотстельнос расположение неизменно. Вся система вращается жестко, подобно твердому телу. Горизонтальная проекция Аз равна Л зсоз (юг + срз).
Из векторного анализа известно, что при сложении двух векторов по правилу параллелограмма образуется новый, результирующлй вектор Ан, причем х-коьхпоневта его есть сумма х-комссонент слагающих векторов. Отсюда получаем решение нашей задачи. Легко проверить, что получается правильный ответ в несшем частном случае Ас —... Аз —... Л. Действительно, нз фнг. 29.9 очевидно, что Ан лежит посредине между А, и Аз и составляот угол «Л« (с„, — ср,) с каждым из нпх.
Слодовательпо, А, = — 2А сов )г (срз — ср,), что совпадает с прежним результатом. Кроме того. в случае Л, — А, фаза Ан есть среднее от фаз А, п Аз. Для неравных Л, п Аз задача решается столь же просто. Мы можем назвать зто геометрическим решением задачи. Существует еще один метод решения задачи, его можно было бы назвать аналитическим. Вместо того чтобы рисовать схему, подобную приведенной на фиг. 29.9, напшпем выражения, имеющие тот же смысл, что и чертеж, и сопоставим каждому вектору нозсвллнсное число.
Действительные части этих комплексных чисел отвечают реальным физическим величинам. В нашем конкретном случае волны записываются следующим образом: Асехр[с(ю»+ср,)[ [действительная часть этого равна Ах соз (ютл- сус)) и Азсьхр[с(асс+сух)). Сложим обе волны: Н =- Л,ацюс с Р ~ + А,е«<юг в«в» = (Л,е«т + А,е«оь) е«юс, (29Л3) плп Л = А,е'"' +Л,ест= А в« н. (29Л4) Задача, таким образом, решена, так как мы имеем окончательный результат в виде комплексного числа с модулем Ан и фазой срн. Для иллюстрации аналитического метода найдем амплитуду Ан, т.
е. «длину» В. «Длина» комплексного числа в квадрате есть само комплексное число, умноженное на сопряженное ему. Комплексное сопряжение состоит в изменении знака )5 Отсюда получаем Ад~=(Л,е'т +А,е'т ) (Л,е-)т +А,е-)т-). (29.15) Перемножая, получаем А, 'р А, 'и перекрестные члены Л,Л, [е'ог -т )+еыт -ю)]. Далее е" --, 'е-п=созб+1з!пб+созб — (юпб, т. е. е" -,'-е '"=2 соз 9. Следовательно, окоячательнып результат есть А и = Л ; "+ А', + 2А,Л, соз (ф, — ф,). (29.16) (С помощью формул тригонометрии легко установить совпадение получаемого результата с длиной Ан на фпг.
29.9.) Итак, суммарная интенсивность складывается из члена А'„ возникающего от действия только первого источника, интенсивности А',, равной интенсивности второго источника, н еще дополнительного члена. Этот дополнительный член мы назовем эффектом интерферен))ии. Он представляет собой разность между истинным результатом сложения и суммой интенсивностей. Пнтерференционный член может быть как положительным, так и отрицательным. [Интерференция ()п)ег(его))се) в англии- ской разговорной речи означает возра)кение, помеху, но в физике слова часто теряют первоначальный смысл и употреблянпся совсем в другом значении!] Если ннтерференциоппый член поло;кнтелен, мы оудом говорить о конетрукпп)гной интерференции (оуквальный смысл этого выражения покажется ужасным всем, кроме физиков!). В противном случае мы говорим о дее)пруктиеной интерференции.
Посмотрим теперь, как применить нашу общую формулу (29.16) для сложения полей излучения двух осцилляторов к тем частным случаям, которые мы уже качественно обсуждали. Для этого необходимо лишь вычислить разность фаз ~р, — ~))з двух сигналов, приходящих в данную точку пространства. (Эффект, разумеется, связан с разностью фаз, а не с их абсолютными значениями.) Рассмотрим случай, когда два осциллятора с равнымн амплитудами и с относительной фазой колебаний се (когда колебания одного имеют фазу нуль, фаза другого равна се) располоэкены на расстоянии й друг от друга.
Будем искать интенснвность под углом 9 к лпнии запад — восток. [Заметьте, что этот угол не имеет ничего об)9его с углом 8 в формуле (29.1).] Разность расстояний от точки Р до осцилляторов равна й ьйп 9 (фиг. 2910), поэтому разность фаз, возникающая по этой причине, равна ланег'ю Ф и г. Н9.10. лтза осииллзнгора, обладсссощиг одинаногой алснлитодой и разностью фаз а. Лзомлл ль З ьыв числу длин волн, заключенных на отрезке г1 з1в О, умноженному на 2 я.
(Более подготовленный читатель, вероятно, умножил бы волновое число Л, т. е. скорость изменения фазы с расстоянием, на го з1п О, результат получится тот же самый.) Разность фаз, возникающая из-за разности хода лучей, есть, таким образом, (2я ьг гйп 0)гЛ, но'из-за относительного запаздывания осцилляторов возникает дополнительная разность фаз сс. Отсюда полная разность фаз двух волн в точке наблюдения равна ср, — ср, = н + 2яс) — з1п О.
з (29.17) Зто выражение охватывает все случаи. Теперь остается только подставить его в (29.16) и положить А„== с(з, 'получится формула, с помощью которой можно вывести все результаты для двух антенн одинаковой интенсивности. Рассмотрим частные случаи. Наприьзер, на фиг. 29.5 мы полагали, что интенсивность на угол 30' равна 2. Откуда зто получаетсяр Осцилляторы находятся на расстоянии Л)2, следовательно, для угла 30'дз1п 0 = Л/4, отсюда ого — грь = 2яЛс4Л= =я/2 и интерференционный член равен нулю. (Происходит сложение двух векторов, направленных под углом 90 друг к другу.) Сумма векторов есть гипотенуза прямоуготъного равнобедренного треугольника, она в )/2 раз больше каждой амплитуды.
Следовательно, интенсивность в 2 раза больше интенсивности каждого источника в отдельности. Все остальные примеры исследуются точно таким же спосооом. Гли «и 30 ДИФРАКЦИЯ ф 1. Т'скулы,«сругом4ее моле тс одгсгспгсовьсх ос«1«сллягггпрпз Настоящая глава — непосредственное продел»с«ение предыдущей, хотя название «»гитврференссия» здесь заменено словом «Дифракиил». До снх пор никому не удалось удовлетворительным образом определить разницу между днфракцией и интерференцией. Дело здесь только в привычке, а существенного физического различия между этими явлениями нет, Вдинственное, что мов;но сказать по этому поводу,— это следующее: когда источников мало, например два, то результат их совместного действия обычно называют интерференцией, а если источников много, то чаще говорят о дифракцпн.
Поэтому мы не будем утру'кдать себя вопросом — интерференция это или дифракция, а просто продолжим нагие обсуждение с того места, где мы остановились в предыдущей главе. Обсудим теперь случай, когда имеется п осцилляторов, расположенных на равных расстояниях один от другого и обладающих равными амплитудами, но разными фазамн создаваемых чмн полей.
Разность фаз создается либо из-за выбора .определенных фазовых сдвигов колебании осцилляторов, либо потому, что мы находимся под углом к осцнлляторам и возникает разность хода лучей. Независимо от причины возникновения разности фаз необходимо вычислить сумму такого вида: Л = Л (соз ю~ + соз (сэ1+ ~р) + соз (юс + 2~у) +... ... +сов(ю1+(п — 1) ф), (30,1) где ср — разность фаз соседних осцилляторов для некоторого направления лучей. В данном 1 частном случае ср =-сс + 2яс1 — з1п О.
ВычисЛ лим сумму Л. Для этого воспользуеыся геомет- 9 1. Результирующее поле ы одинаковых осцилляторов й 2. Днфракпионная решетка 8 3. Разреспающая способность днфракционной решетки $ 4. Парабогическая антенна 5 5. Окрашенные пленки; кристаллы $ 6, Дифракция на непрозрачном экране ив 7. По.се системы осцсг.слкторосс, расположен ных на плоскости й и е, дду.
Резулыпируюжая амплитуда шести вквидистактныя источников при разности фаз Ю между каждыми двумя соседни.ки источника.ии. А, д т А з!в пег(2 (30. 2) в = згв Чз)2 Таким образом, суммарная интенсивность оказывается равной Мв' ит(2 ' вув'ф/2 (30.3) Проанализируем это выразкение и обсудлм вытекающие из него следствия. Прежде всего, положив и = (, получим, как н следовало ожидать, 1 = 1,.
Проверим формулу для и = 2: с помощью соотношения з(п ср = 2 з(в еу/2 соз ср/2 сразу находим А„= 2 Л соз су/2, что совпадает с (29Л2). Мы вынуждены рассматривать сложение полей от многих источников потому, что в этом случае интенсивность в одном направлении получается много больше, чем в соседних, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
