Фейнман - 03. Излучение. Волны. Кванты (1055663), страница 13
Текст из файла (страница 13)
все побочные максимумы интенсивности оказываются гораздо меныпе основного. Чтобы понять этот факт, начертим кривую соответствууощую выражению (30.3) для больших и и с(,, близких к нулю. Прежде всего, когда ср точно равно нулю, мы получаем отношение О/О, по фактически для бесконечно малых ер отношение синусов равно п', так как синус можно заменить его рическим способом сложения.
Длина первого слагаемого Л, а его фаза равна нулю; длина второго также Л, а фаза его равна ср. Следующее слагаемое имеет снова длину А и фазу, равную 2 ер, и т. д. В конце концов получается часть правильного многоугольника с и сторопами (фиг.
ЗОЛ). Вершины многоугольника лежат, конечгзо, на окружности, и чтобы легче было определить результирующую амплитуду, найдем радиус атой окружности. Пусть О есть ее центр. Тогда угол ОЯ равен как раз фаае чз (поскольку радиус ОЯ образует с Аз такой же угол, как ОО с А,). Следовательно, радиус г должен удовлетворлть равенству А =- 2 г юп су/2, откуда мы и находим величину г. Далее, болыпой угол ООТ равен псу; следовательно, Лл —— 2 гз1пп ср/2. Исключая из обоих равенств г, получаем аргументом. Таким образом, максимум кривой в и' раз болыпе интенсивности одного осциллятора. Этот результат легко понять, посколы'у прп нулевой равности фаз все и маленьких векторов складываются в один вектор, в п раз больший исходного, а интенсивность увеличивается в и' раз.
С ростом фазы ср отношение двух синусов падает и обращается в нуль в первый раз при псо/2 = я, поскольку згп я = О. Другими словаьш, значение ср = 2 я/и отвечает первому минимуму кривой (фиг. 30.2). С точки зрения векторов на фиг. 30 1 первый минимум возникает в том случае, когда стрелки векторов возвращаются з исходную точку, при этом полная разность фаз от первого до последнего осциллятора равна 2я.
Перейдем к следующему максимуму и покаяаем, что он действительно, как мы и ждали, много меньше первого. Для точного определения положения максимума необходимо учитывать, что и числитель, и знаменатель в (30.3) оба меняются с изменением ср. Иы не станем этого делать, поскольку яри большом п юп ер/2 меняется медленнее з(п ясо/2 я условие Мп пе(ье2 =1 дает положение максимума с болыпой точностью.
Максимум згп' пег/2 достпгается при пер/2 =Зя/2 или ер = Зл/и. Это означает, что стрелки векторов описывают полторы окружности. Подставляя ср =Згч/и, получаем згввЗя/2 =1 в числителе (30.3) (с этой целью и был выбрав угол со) и гйпаЗя/2п з знаменателе. Для достаточно большого и можно заменить синус его аргументом Мп Зя/2п=Зя/2п. Отсюда интенсивность во втором максимуме оказывается равной 1=1о (4яа/Опа). Но и'1а — не что иное, как интенсивность в первом максимуме, т. е. интенсивность второго максимума получается равной 4/9я' от максимальной, что составляет 0,047, или ыеньпге бойс! Остальные максимумы, очевидно, будут еще меньше.
Таким образом, возникает 1 яа1 10 О 1 Я д л ! 5 Ф и в. ЮО.З. Зависилеосогь интенсивности от агавово. во дела дла дольиеого числа всниллнторов а одинаковыли алвнлитддиии Ф и г, ой.о Устройство ив и одинановых осзиллявворов, распололсвянвви на аи>вии, боово волвбонвив в.ао осиилля1иоро равна ав =ва. очень узкип основной макслмум и очень слаоые дополнительные максимумы по обе стороны от основного. Моокпо показать, что площадь под кривой интенсивности, включая всо максимумы, равна 2лп/о н в два раза превышает площадь пунктирного прязюугольника на фиг. 30.2. Посмотрим теперь, чго дает формула (30.3) в приложении к разным случаям.
Нусгь источники располо'пены яа одной линия, как показано па фпг. 30.3. Всего имеется и источников на расстоянии с/друг от друга, и сдвиг фазы между соседними источниками выорап разным оь Тогда для лучей, распространяющихся в заданнозв направлении О, отсчитываемом от нормали, вследствие разности хода лучей от двух соседних источников возникает дополнительный сдвиг фазы 2пс/ — зш0.
Таким образом, ср = я + 2л  — з1п 0 = а + /об/ з1 в б. 1 (30.4) Рассмотрим сначала случай я=О. Все осцилляторы колеблются с одной фазой; треоуотся найти интенсивность их излучения как фуякцию угла О. Подставим с отой целью бр=/сб/ззп 0 в формулу (30.3) и посмотрим, что получится в результате. Прежде всего при бр =0 возникает максимум. Значит, осцилляторы, колеблющиеся с одной фазой, дают мощное излучение в направления 0 =О. Интересно узнать, где находится первый минимум. Он возникает при ср.=2я/и; другими словами, первый минимум кривой интенсивности определяется из соотношения (2яс//),) зп10= — 2л/и. Сокращая на 2п, получаем яв/ з1п 0 = Х. (30.5) Теперь разберем с физической точки зрения, почему минимум возникает именно в етом месте.
В зтом выражении пв1 есть полная длина Л нашей системы осцилляторов. Обращаясь к фиг. 30.3, мы видим, что яв/ззп 0=-5 ьйп 0 =А. Формула (30.5) подсказывает нам, что минимум возникает при Л, равном одной длине волны. Но почему минимум получается прн Л==-Х? Дело в том, что поля от отдельных осцилляторов равномерно распределены по фазе от 0 до 360'. Стрелки (см. фиг. 30.1) описывают полную окружность; мы складываем равные векторы, имеющие произвольные направления, а в этом случае сумма равна нулю. Вот при таких значениях угла, когда Ь = — )„возникает минимум.
Зто и есть первый минимум. Формула (30.3) имеет еще одну важную особенность: прп увелпченпи угла гр на число, кратное 2я, значение интенсивности не меняется. Поэтому для гр =2п, 4л, бя и т. д. также возникают резкие и высокие максимумы. Вблизи этих максимумов интенсивность повторяет свой ход (см. фиг. 30.2). Зададимся вопросом, в силу наких геометрических сгготношений возникают другие максимумы? Условие появления максимума записывается в ниде гр=2ят, где т — гпобое целое число.
Отсюда получаем (2яг(Я) згп6=2лт. Сокращая на 2я, получаем д згп б=- лгХ. (30.6) Зто соотношение очень похоже на формулу (30.5). Однако там было гИ згп 0 =).. Разница в том, что здесь нужно взять каждый отдельный источник и выяснить, чтб для него означает условие г(згпдс-пгХ; угол 0 здесь таков, что разность хода б =-т),. Другими словами, волны. идущие от источников, различаются по фазе на величину, кратную 360', и, следовательно, все находятся в фазе.
Поэтому при сложении волн возникает столь же высокип максимум, как н в рассмотренном ранее слу.- чае т =-О. Побочные максимумы и весь ход интенсивности здесь такие же, как в случае гр =О. Таким образом, паша система посылает пучки пучек в разных направлениях, причем каждый пучок имеет высокий центральный максимум и ряд слабых боковых. Глаггные (цонтральные) максимумы в зависимости от величины т называются максимумами яулевого, первого и т. д. порвдков; т называют порядком максимума.
Обратите внимание на такой фант: если д меныпе )„то формула (30.6) имеет единственное решение при т =О. Поэтому для малого расстояния между источниками возникает один-единственный пучок, сконцентрированный около 0=0. (Разумеется, есть еще пучок в обратном направлении.) Чтобьг получить максимумы других порядков, расстояние Ы должно быть больше одной длины волны. ф М. ДгвЯгахггтаовгная регаетаха На практике равенство фаз осцилляторов или антенн достигается с помощью проводов и всяких специальных устройств. Возникает вопрос, могкно ли и как совдать подобную систему 3 эанвэ ж ыез, ы1п з для света.
Сейчас мы еще не умеем делать маленькие радиостанции оптической частоты в буквальном смысле слова, соединять их крохотными проволочками и устанавливать для всех них одинаковые фазы. Однако есть другой очень простой способ, позволяющий добиться этой цели. Предположим, у нас имеется большое количество параллельных проводов, отстоящих друг от друга на расстоянии сг, и источник радиоволн, расположенный очень далеко, практически на бесконечности. Этот источник создает электрическое поле у каждой из проволочек с одной н той же фазан. (Можно ваять и объемную систему проводов, но мы ограничимся плоской системой.) Тогда внешнее электрическое поле будет двигать электроны взад и вперед в каждой проволочке, в результате они становятся новыми излучателями.
Такое явление называется рассеянием: свет от некоторого источника вызывает движение электронов в среде, а оно в свою очередь генеркрует собственные волны. Поэтому достаточно взять ряд проволок на равном расстоянии друг от друга, подействовать на них радиоволнами от удаленного источника, и получается нужная нам система без всяких специальных контуров и т. п..Если лучи падают по нормали к плоскости проводов, фазы колебаний будут одинаковыми и возникнет та картина, о которой говорилось выше.
Так, при расстоянии между проволочками, превышающем длину волны, максимальная интенсивность рассеяния получается в направлении нормали и в других направлениях, определяемых формулой (30.6.). Точно такое же устройство годится и для света! Только вместо проволок берут стеклянную пластинку и наносят на нее ряд штрихов так, чтобы каягдый нз них рассеивал свет иначе, чем остальная поверхность пластинки. Если затем направить на пластинку пучок света, то каждый штрих станет источником, а если расстояние меягду штрихами будет достаточно мало, но не меньше одной длины волны (практически таких малых расстояний все равно невозможно добиться), возникает удивительное явление: лучи идут через пластинку не только по прямой, но и под конечным углом к нормали, зависящим от расстояния между штрихамн! Устройства такого типа действительно существуют и широко используются, их называют дифракциоинмми решетками.
Одна из разновидностей дифракционных решеток представляет собой обычную стеклянную пластинку, прозрачную и бесцветную, с нацарапанными на ней штрихами. Число штрихов на 1 мм зачастую достигает нескольких сотен, а расстояние между ними выдерживается с большой точностью. Действие такой решетки можно наблюдать, посылая сквозь нее с помощью проектора уакую вертикальную полоску света (изображение щели) на экран. Помещая решетку на пути света так, чтобы штрихи были расположены вертикально, мы увидим на экране ту же самую полоску света, но по сторонам от нее, кроме того, будут и другие полосы, окрашенные в разные цвета. Разумеется, мы получили не что иное, как уширенное изображение щели; угол О в (30.6) зависит от Х, и разная окраска света, как мы знаем, соответствует разным частотам и разным длинам волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
