Фейнман - 03. Излучение. Волны. Кванты (1055663), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Отсюда Волпоз поле в гочы Р—. ~ -'--,"' "' — - з) о:,го г10, (30.12) Зле„сз 11птш рзл берется в пределах р = — О и и —.= оо, Время С, конечно, забрпкспровано, так что едппсгвеннывш меняющвмися величинами являются р и г. Отвлечемся пока от постоянных множителей, включал и е'"", и вычислим шгтеграл — зов с Р ор. (30,13) з=о Для этого учтем соотношение между р и г: го= р'+ г'. (30.14) При дифференцировании формулы (30.14) г нужно считать независимым от р, тогда 2гс( =2рс(р, тв что очень кстати, поскольку прп замене в пптограле рг)р на гдг знаменатель г сокращается.
Интеграл приобретает более Простой впд е-Фельс ~(~ (30,15) Экспонента интегрируется очень просто. Ну;кно поставить в знаменатель коэффициент при г в показатоле зкспояенты и взять саму экспоненту в точках, соответствующих пределам. Ио пределы по г отличаются отпределов по р, Когда р -О, нижний предел г= — з, т. е. пределы по г равны з п бескопсчиости.
Интеграл (30.15) равен (30г!0) [в — $ э е — ~ым2) !и Вместо (г/с)ао ьгы здесь написалп оо, поскольку и то и д! угое означает просто сколь угодно большую всличпиу! Л вот е —" — величина загадочная. Ео дойсгвитольная часть, равная соз ( — со), с математической точки зрсиил величина совер~ленно неопределонпая. [Хотя можно допустптгч что она иаходится где-то [а мозкет оыть п всюду (?) — между -, '1 и — 1!) Нов физической ситуации зта величина мо;кет означать почто вполне разумное и обычно оказываешься равной нулю. Чтобы уоедиться, что зто так в нашем случае, верпемся к пергоначалькому интегралу (30.15) Выражение (30.'15) можно поппмать ки' сумму болыного числа палены;пх комплекспых пюсл, модуль которых Лг, а угол в комг~лсксной плоскости 0 = — «и.с.
!!опробуем оцепить эту сумму графим.ски. Иа фпг. 30,1! отлозкны первые пять членог, суммьь Каждый отрезок кривой имеет д:ищу Лг и расположен под углом ЛО =- — ю (Л ттс) к предыдущему отрезку. Сумма первых пяти слагаемых обозначена стрелкой пз начальной точки к концу пятого отрезна. Продолжая прибавлять отрезки, мы опишем многоугольник, вернемся примерно к пачальноп точке и начнем описывать погьш многоугольник. Чем большее число отрезков мы будем прибавлять, тем болыпео число раз мы обернемся, двигаясь почти по окружности с радиусом сйэ. Теперь понятно, почему интеграл даег при вычислении неопределенный ответ! Здесь мы должны обратиться к физическому смыслу нашего примера. В любой реальной ситуации плоскость зарядов не лолгет быть бесконечной, а долл;ка где-то оборваться.
Если плоскость резко обрывается и ее граница имеет точко форму окружности, то паш интеграл будет равен некоторому зиачоиию на этой окружности (см. фиг. 30.11). Если жо плотность зарядов еаоаель иае оаь Ф и г. о0.11, Вычисление инапегралп ( е-аыпг пас грпаринесаги.аа спосабом, г г а ! Ъ иаЛ г ЛО =- —— с огг О=- — —; о Е- аыг,'а с ам (3О. (7) Точно такой жо результат мы получили бы кз (30.(6), поло кив е — а' = — О.
(Есть еще одна причина, почему вклад в интеграл от больших значений г стремится к нулю, — зто опущеннып нами множитель, попель. паг ось Ф и г, 80.12. Выгисление ингаа ралп,(ч е — аапасю грпфииасп а с посо бога. постепенно уменыпается по иере удаления от центра (нли обращается в нуль вне некоторой границы неправильной формы, так что для достаточно больших р вклад всего кольца шириной оар равен нулю), то коэффициент ц в точном интеграле убывает, стремясь к нулю. Поскольку длина дооавляемых отрезков в зтоъа случае уменьшаотся, а угол ЛО остается техг же самым, график кривой, соответствующей интегралу, будет иметь вид спирали.
Спираль оканчивается в центре первоначальной окружности, как нзобрюкеио на фиг. 30.12. Физически правильное значение ингеграла даотся величиной Л, которой иа схеме соответствует расстояние от начальной точки до центра окружности, равное, как нетрудно убедиться, учитывающий проекциго ускорения на плоскость, перпендикулярную линии Рг,[.) Нас, конечно, интересует именно случай, имеющий физическпи смысл, поэтому мы положим е '"равным нулю. Возвращаясь к формуле (30.12) для поля и вводя все опущенные ранее множители, мы получаем Полное поле в точке Р = — — [огтеесм 0-ьм (30,13) чч е, е,с (помня, что И = — г).
ИктеРесно отметить, что [огтеее"' в точности Равно скоРости зарядов, так что выражения для поля можно переписать в виде Полное поле в точке Р = — — ° [Скорость зарядов[, . (30.19) Щ 2е,с С вЂ” а,'с' Зтот результат немного странен, потому что запаздывание отвечает расстоннию в, которое есть кратчайшее расстояние от Р до плоскости. Но таков ответ, и, к счастью, формула доволшго проста. [Добавим кстати, что, хотя формулы (30.18) и (30.'19) были получены только для достаточно большого расстоянггя ог плоскости, обе они оказываются правильнымн для любых з, даже для з().1 Г«ива И КАК ВОЗНИКАЕТ ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕИИ51 ф .Х. 77оканп»пель прела.зг,генгвп Йры уже говорили, что свет в воде движется медленнее, чем в воздухе, а в воздухе чуть медленнее, чем в вакууме.
Этот фант учитывается введением показателя проломления и. Попробуем теперь понять, как возникает уменьшение скорости света. В частности, особенно важно проследить связь этого факта с некоторыъш физическими предположениями или законами, которые были ранее высказаны и сводятся к следующему: а) полное электрическое поле при любьш физических условиях может быть представлено в виде суммы полей от всех зарядов во Вселенной; б) поле излучения каждого отдельного заряда определяется его ускорением; ускорение берется с учетом запаздывания, возппкагощего из-за конечной скорости распространения, всегда равной с.
Но вы, наверное, приведете сразу в качестве примера кусок стекла н восклнкнетш «Ерунда, это положение здесь не годится. Нужно говорить, что запаздывание отвечает скорости с/и». Однако это неправильно; попробуем разобраться, почему это неправильно, Наблюдателю кажется, что свет или любая другая электрическая волна распространяется сквозь вещество с показателем преломления и со скоростью с/и. И это с некоторой точностью так и есть. Но на самом деле поле создается движением всех зарядов, включан и заряды, движущиеся в сроде, а все составные части поля, все его слагаемые распространяются с максимальной скоростью с. Задача наша состоит в том, чтобы понять, как возникает кажущаяся меньшая скорость. й 1. Показатель преломлений й 2. Поле, излучэе.
мое средой и 3. Днсперспя й 4. Поглощение й' б. Энергия ОВетовой волны й' б. Днфракция света на непрозрачном экране роа>еои>ав' ласпмнку >и и с. И,1. Провождение ,тлсктри'>сскик волн сквозь слой лрозрач»ого всигссгпва. ему равно~ Мсп>очкин слекмри пес>шл е и О элен>прическое мле а зп>оо тачке? нал ка Попробуем понять это явление на очень простом примере. Пусть источник (назовем его »внешним источником») помещен на большом расстоянии от тонкой прозрачной пластинки, скажем стеклянной. Нас интересует поле по другую сторонупластинкн и достаточно далеко от нее.
Все это схематично представлено па фкг. 31.1; точки 5 и Р здесь предполагасотся удаленными на большое расстояние од плоскости. Согласно сформулированным нами принципам, электрическое поле вдали от пластинкн представляется (векторяой) суммой полей внеспнего источнике (в точке у) и волей осел зарядов в стеклянной пластинка, причелс каждое поле бер>п>шя с запаздыванием при скорости с. Напомним, что поле каждого заряда не меняотся от присутствия других зарядов. Это наши основные принципы. Таким образом, поло в точке Р может быть записано в виде Е= Еотд. аапвда (31.1) ио всем заг>адам илсг Е=Е .,- '~' Еотд. аарвда > всс оставьнма аарвдм где Е, — ноле внешнего источника; опо совпадало бы с искомым полем в точке Р, если бьг не было пласлшнки. Мы ожидаем, что в присутствии любых движущихся зарядов поле в точке Р будет отлично от Е, Откуда берутся движущиеся заряды в стеклоу Известно, что любой предмет состоит из атомов, содержащих электроны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
