Фейнман - 03. Излучение. Волны. Кванты (1055663), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Но одно дело показать с помощью закона сохранения энергии, что энергия теряется, и совсем другое — ответить на вопрос: против какой силы мы совершаем работу? Это очень интересный н трудный вопрос, на который применительно к электронам так н не удалось дать полного и удовлетворительного ответа. Однако в случае антенн ответ был найден. Вот что происходит в антеннах: поля.
создаваемые двпжущимися электронами в одной части антенны, воздействуют на электроны в другой части. Можно вычислить действующие силы и найти производимую пмп работу, а отсюда получить формулу для радиационного сопротивления. Было бы неправильно утверждатгк вМьт можем вычислить», потому что мы еще не изучили законы электричества на малых расстояниях и знаем, каково электрическое поле только на больших расстояниях.
Хотя мы привели формулу (28.3), мы опте не можем ею воспользоваться для вычясленпя поля внутри волновой зоны, потому что эта формула для нас слишком сложна. Правда, с помощью закона сохранения энергии мы можем получить результат и не зная вида поля на малых расстояниях. (Обра1цая ход рассуждений, можно найти взаимодействие на малых расстояниях, если известен вид поля на болыпих расстояниях и если затем воспользоваться законом сохранения энергии; мы, однако, не будем сейчас заниматься этим вопросом.) Пусть теперь имеется один-единственньш' электрон; к чему прило>кона возникающая в нем сила сопротивленияр Старая классическая теория представляла электрон в виде маленького шарика, различные части которого взаимодействуют друг с другом.
В результате запаздывания при распространении взаимодействия внутри этого шарика сила оказывается несколько смещенной по фазе относительно скорости движения. Мы знаем, что, когда электрон покоится, «действие равно противодействию». Поэтому внутренние силы уравновешиваются и результи- 102 рующая сила равна нулю. Но в ускоренном электроне сила, действующая на переднюю половинку со стсроны задней, из-за запаздывания не равна силе, деиствующей в обратном направлении. Запаздывание взаимодействия во времени нарушает баланс сил, и в результате вся система как бы чнаступает сама себе на шнурки». Такое объяснение возникновения радиационного сопротивления у движущегося электрона встретилось со многими трудностями н преягде всего потому, что по современным представлениям электрон вовсе ке «маленький шарик»; проблема так и осталась нерешенной по сей день.
Тем не менее, даже не зная механизма действия сил, мы можем точно вычислить силу сопротивления излучения, т. е. затраты энергии на ускорение заряда. ф М. Интненсивгсосгггь мз.тучентхя яра'я Бщ~ В Я.= 16л'ерг'М ' (32. 2) где Я вЂ” мощность на 1 шт, излучаемая под углом О. Как уже отмечалось, Я обратно пропорционально расстоянию. Интегрируя, получаем отсюда полную мощность, излучаемую во всех направлениях. Для этого сначала уиножим 5 на площадь полоски сферы, тогда мы получим поток энергии в интервале угла г10 (фиг. 32.1).
Площадь полоски вычисляется следующим ооразом: если радиус равен г, то толщина полоски равна п70, а длина 2ягз)вО, поскольку радиус кольцевой полоски есть гз)пО. Таким ооразом, площадь полоски равна ЫА=2яг' гйп ОНО. (32.3) 103 Вычислим теперь полную энергию, излучаемую зарядом при ускорении. Для общности возьмем случай произвольного ускорения, считая, однако, движение нерелятивистским.
Когда ускорение направлено, скажем, по вертикали, электрическое поле излучения равно произзодению заряда па проекцию запаздывающего ускорения, деленному на расстояние. Таким образом, нам известно электрическое поле в любой точке, а отсюда мы знаем энергию з,сЬ', проходящую через единичную площадку за 1 сек. Величина згс часто встречается в формулах распространения радиоволн. Обратную ей величин уможно назвать импедансом вакуума (пли сопротивлением вакуума); она равна 1."е,с =377 оэк Отсюда мощность (в ваттах на квадратный метр) есть сродний квадрат поля, деленный на 377. С помощью формулы (29.1) для электрического поля мы по- лучаем Ф и г.
8ЗП, Площадь кольца иа сфере, раеааа алле Ма Вгд9. Умножая поток [мощность на 1 гег, согласно формуле (32.2)', ва площадь полоски, найгдем энергию, иалучаемую в интер- вале углов О и Π— ', с(О; далее нужно проинтегрировать по всем углам О от 0 до 180': г г Р=Бс(А= д — ~ - ( зпт'ОЮ Вле,с' ~ г (32л4) При вычислении ~ з1п' Ог(0 воспользуемся равенством с з1в'0 = (1 — соз' О) з1п 0 и в результате получим '/з. Отсюда окончательно ,г д'а' Взг,с' 191 Необходимо сделать несколько замечаний по поводу этого выражения. Прежде всего, поскольку а' есть вектор, то а" в формуле (32.5) означает а' а', т. е.
квадрат длины вектора. По-вторых, в формулу (32.2) для потока входит ускорение, взятое с учетом запаздывания, т. е, ускорение в тот момент времени, когда оыла пзлучена энергия, проходящая сейчас через поверхность сферы. Мо;кет возпикнкть мысль, что энергия действительно была нзлучена точно в указанный момент времени. Но это не совсем правильно.
Момент излучения нельзя определить точно. Можно вычислить результат голысо такого движения, например колебания и т. и.. где ускорение в конце концов исчезает. Следовательно, мы можем найти только полный поток энергии за весь период колеоаний, пропорциональный среднему за период квадрату ускорения. Поэтому а' в (32.5) должно означать среднее по времени от квадрата ускорения. Для такого движения, когда ускорение в начале и в конце обращается в нуль, полная излученная энергия равна интегралу по времени от выражения (32.5).
Посмотрим, что дает формула (32.5) для осциллирующей системы, для которой ускорение а' имеет вид — юглае' '. Среднее ва период от квадрата ускорения равно (прн возведении в квадрат надо помнить, что на самом деле вместо экспоненты должна входить ее действительная часть — косинус, а среднее от созвсог дает гг'в): (а' )= —,ю'хю . 2 Следовательно, г2лв св (32.6) Зги формулы были получены сравнительно недавно— в начале ХХ века. Зто замечательные формулы, они имели огромное историческое значение, и о них стоило бы почитать в старых книгах по физике. Правда, там использовалась другая система единиц, а не система СИ.
Однако в конечных результатах, относящихся к электронам, эти осложнения можно исключить с помощью следующего правила соответствия: величина г7„':4яе„где д, — заряд электрона (в кулонах), раньше записывалась как е'. Легко убедиться, что в системе СИ значение е численно равно 1,5188 10 гг, поскольку мы знаем, что д,=- 1,60206 10 'в и 174лзв=-8,98748 10'. В дальненшем мы будем часто пользоваться удобным обозначением (32.7) 4лво Если это численное значение е подставить в старые формулы, то все остальные величины в них можно считать определеинымп в системе СИ. Например, формула (32.5) прежде имела впд Р = вгвевавгсв.
А потенциальная энергия протона и электрона на расстоянии г есть д,'74яевг или его, где е =1.5188 10 "ед. СИ. ф 3. х-'ндггпг1ггонное зстгг7хпнте Заряд, закрепленный на пружине с собственной частотой го (или электрон в атоме), даже в абсолютно пустом пространстве не сможет колебаться бесконечно долго, поскольку, колеблясь, он теряет энергию на излучение. Никаких сил сопротивления в обычном смысле этого слова, никакой вязкости здесь нет. Но колебания не будут происходить «вечнов, вследствие излучения они будут медленно замирать.
А насколько медленно? Определим для осциллятора величину ф вызванную так называемым радиационным сопротивлением или радиационным затуханием. Для любой колеблющенся системы величина () равна энергии системы в данный момент времени, деленной на потери энергии, отнесенные к 1 рад; гу гггг"фф ' 4В звквв м ггзк выв. 3 10$ Запишем С) по-другому, пользуясь для этого равенством с(Иг/дср = (с/Иг/Щ/(с/ср'с/г) = (г/Жlс//),'ю: ать днг дС ' Если Ц задано, то легко получить закон спадания энергии колебаний: дИг/с// = ( — со/~)И', откуда следует Иг =И/зе-иус; здесь Иа — начальная энергия (при / = О). Чтобы найти () для излучающего осциллятора, вернемся к формуле (32.8) и подставим вместо с/Иг/с// выражение (32.6). А что нужно взять в качестве энергии И' осцнллятора? Кинетическая энергия осцпллятора равна Ч,тг', а средылл кинетическая энергия равна лгштх,',А.
Но мы помним, что полная энергия осциллятора равна средней кинетической плюс средняя потенциальная, причем обе они для осциллятора равны; поэтому полная энергия равна И'=- — тю'хз . 2 (32.9) го= —,=. 2,82 10 " и. т„с~ (32.11) Вычислим теперь значение О для атома, излучающего видимый свет, например для атома натрия. Длина волны излучения натрия равна примерно 6000 А н находится в желтой части спектра; эта величина довольно типична.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
