lecture_12 (1019624)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ,семестр 2, лекция 12,стр. 1 из 8Скалярные и векторные поля.1. Скалярные поля.1. Определение скалярного поля.В области V пространства задано скалярное поле, если любой точке P ∈V поставленв соответствие скаляр ϕ ( P )∀P ∈V → ϕ ( P )В декартовой системе координат задание скалярного поля ϕ ( P) соответствуетзаданию в области V функции трех переменных ϕ ( P) = ϕ ( x, y, z ) .ϕ ( P ) = ϕ ( x, y , z )Примеры скалярных полей:поле t T ( x, y, z ) , поле освещенности E ( x, y, z ) , поле электрических зарядов Q( x, y, z ) , полеплотности распределения масс ρ ( x, y, z ) .Будем предполагать, что ϕ ( x, y, z ) - непрерывная, с непрерывными частнымипроизводными.Поверхностью уровня скалярного поля ϕ ( P) называется геометрическое место точек,в которых значение поля равны одной и той же постоянной величине C , т.е.ϕ ( P ) = ϕ ( x, y , z ) = CПримеры:1) ϕ ( x, y, z ) = xy ; xy = C - гиперболический цилиндр(см.

рис. 1.1.1).2) ϕ ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2x 2 + y 2 + z 2 = C - концентрические сферы(см. рис. 1.1.2).рис 1.1.1рис. 1.1.22. Производная скалярного поля по направлению.ϕ ( P ) = ϕ ( x, y , z ) .Частные производные функции ϕ ( x, y, z ) :∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ;;∂x ∂y ∂z- определяют скоростьизменения скалярного поля по направлениям координатных осей.Рассмотрим произвольное направление l в пространстве,определяемое направляющим вектором τ единичной длиныτ = 1 (см. рис. 1.2.1). Определим скорость изменения скалярногополя ϕ ( P) в направлении l .

Пусть точки P и P′ ∈ l .Производной скалярного поля ϕ ( P ) в точкенаправлению прямой l назовем△ϕ ( P )ϕ ( P ′) − ϕ ( P ) ∂ϕ ( P )lim,= lim=′PпоP →P△lPP′∂lгде △l = PP′ берется со знаком «+», если направление PP′совпадает с направлением τ , и со знаком «-» в противоположном случае.

Пусть α , β , γ углы, образованные прямой l с осями координат x, y, z , тогда вектор τ имеет△l → 0рис. 1.2.1координаты:Математический анализ,семестр 2, лекция 12,стр. 2 из 8τ = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ kτ (cosα ,cos β ,cosγ)направляющие косинусы(cos 2 α + cos2 β + cos 2 γ =1)Пусть P имеет координаты P ( x, y, z ) , а P′ - координаты P′( x +△ x, y +△ y, z +△ z )△ϕ ( P) = ϕ ( P′) − ϕ ( P )Запишем приращение △ϕ ( P ) в виде:∂ϕ∂ϕ∂ϕ△ϕ ( P) =△x +△ y + △ z + ε (△l ) ⋅△l ,ϕxϕyϕzгде △l =(△x )2+ ( △ y ) + ( △ z ) ; ε → 0 при △l → 0 , т.к.

PP′ =△l , то22△ϕ ( P ) ∂ϕ △ x ∂ϕ △ y ∂ϕ △ z=+++ε△l∂x △l ∂y △l ∂z △llim△ l →0△ϕ ( P ) ∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ ( P )cos α +cos β +cos γ ==∂x∂y∂z∂l△lПример:ϕ ( x, y, z ) = y 2 z − 2 xyz + z 2P1 (3,1,1)по направлению P1 P2P2 (4, −1, 0)∂ϕв P1 = ?∂l P1 P2 = (1, −2, −1) = i − 2 j − k =△lP1 P2 = 1 + 4 + 1 = 6 P1 P2  1 −2 −1 ,,τ = = P1 P2  6 6 6 ∂ϕ∂ϕ( P1 ) = −2 ⋅1 ⋅1 = −2= −2 yz ⇒∂x∂x∂ϕ∂ϕ( P1 ) = 2 ⋅1⋅1 − 2 ⋅ 3 ⋅1 = −4= 2 yz − 2 xz ⇒∂y∂y∂ϕ∂ϕ= y 2 − 2 xy + 2 z ⇒( P1 ) = 1 − 2 ⋅ 3 ⋅1 + 2 ⋅1 = −3∂z∂z839∂ϕ−2++=( P1 ) =∂l6666∂ϕ( P1 ) > 0 ⇒ в этом направлении скалярное поле возрастает.∂l2.

Градиент скалярного поля.1. Определение градиента.Рассмотрим формулу для вычисления производной по направлению∂ϕ ∂ϕ∂ϕ∂ϕcos α +cos β +cos γ=∂l∂x∂y∂zФормула имеет вид скалярного произведения вектора τ (cos α ,cos β ,cos γ ) и вектора с ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ координатами  ;;. ∂x ∂yОпределение.∂z Математический анализ,семестр 2, лекция 12,стр. 3 из 8Вектор с координатами∂ϕ ∂ϕ ∂ϕназывается градиентом функции ϕ ( P ) = ϕ ( x, y, z ) в;;∂x ∂y ∂zточке P и обозначается:∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ grad ϕ ( P) =i+j+k∂x ∂ϕ= τ ⋅ grad ϕ∂l(∂y∂z)2.

Свойства градиента:1. grad ( C1ϕ1 + C2ϕ2 ) = C1 grad ϕ1 + C2 grad ϕ22. grad (ϕ1ϕ2 ) = ϕ1 grad ϕ2 + ϕ2 grad ϕ1ϕ ϕ grad ϕ1 − ϕ1 grad ϕ23. grad 1 = 2ϕ2ϕ224. grad [ F (ϕ )] = Fϕ′ grad ϕВведем дифференциальный оператор «набла» ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∇= ; ; = i+j+ k∂y∂z ∂x ∂y ∂z  ∂x∇ϕ = grad ϕСвойства оператора набла повторяют свойства градиента.3.

Связь вектора градиента с производной по направлению.∂ϕ= τ ⋅ grad ϕ∂l()Если обозначить через θ угол между вектором-градиентом и единичным векторомτ , то ∂ϕ ( P )= grad ϕ ( P) ⋅1 ⋅ cos θ (по определению скалярного произведения a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosθ )∂l=τ( )Производная поля ϕ ( P ) по направлению l , определяющая скорость роста в этомнаправлении, будет максимальна, если cosθ = 1 ⇒ θ = 0 . Т.е. когда направление вектора τсовпадает с направлением вектора градиента.

Обозначим через n это направлениемаксимальной скорости изменения функции:∂ϕ ∂ϕmax== grad ϕ ( P ) > 0l∂l∂n(максимально по всем направлениям)4. Теорема об ортогональности вектора градиента поверхности уровня.Вектор градиент в каждой точке P скалярного поля направлен ортогональнокасательной плоскости, проведенной в данной точке P к поверхности уровня,проведенной через P (см. рис.

2.4.1).Доказательство:Проведем на касательной плоскости π произвольную прямую l , проходящую черезP . На поверхности уровня проведем линию α через P так, что l направлена покасательной к α . Кривую L в пространстве зададим вектор-функцией:r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )kМатематический анализ,семестр 2, лекция 12,стр.

4 из 8То, что L ∈ поверхности уровня ϕ ( x, y , z ) = C означает, что координаты кривой Lx(t ), y (t ), z (t ) удовлетворяют уравнению поверхности уровняϕ ( x(t ), y (t ), z (t ) ) ≡ C .Продифференцируем это тождество:∂ϕ dx ∂ϕ dy ∂ϕ dz++= 0.∂x dt∂y dt∂z dtЭто равенство можно переписать как скалярноепроизведение векторов:∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ grad ϕ =i+j+k и∂x∂y∂zdr dxdydz= i+j+ kdt dtdtdtdr  grad ϕ ⋅  = 0dt d r ⇒ grad ϕ ⊥ направлен по касательной к кривой L (т.е. по l )dt рис. 2.4.1⇒ grad ϕ ⊥ L ⇒ grad ϕ ⊥ l ,т.к. l - произвольная прямая, то grad ϕ будет ортогонален любой прямой, проходящейчерез т. P и лежащей в касательной плоскости π , т.е.grad ϕ ⊥ π .5.

Нормаль к поверхности.Нормалью к поверхности называется вектор, ортогональный касательнойплоскости, проведенной к данной поверхности в данной точке. Теорема из п.4утверждает, что по нормали к поверхности ϕ ( x, y , z ) = C направлен вектор grad ϕ ( P ) .∂ϕ ( P ) ∂ϕ ( P ) ∂ϕ ( P ) n( P ) = grad ϕ ( P ) =i+j+k∂x∂y∂zЕдиничный вектор нормали к поверхности находится по формуле∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ i+j+k grad ϕ∂x∂y∂zn0 ==222grad ϕ ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ  ∂x  +  ∂y  +  ∂z  Пример:Найти единичный вектор нормали к поверхности (см.

рис. 1.6.1)z = x 2 + y 2 в точке P(1, 2,5)x2 + y 2 − z = 0ϕ ( x, y, z )∂ϕ ( P)∂ϕ ( P)∂ϕ ( P )= 2 x P = 2;= 2 y P = 4;= −1∂x∂y∂zgrad ϕ = (2; 4; −1)grad ϕ = 4 +16 + 1 = 212i + 4 j − k2 4 1 n0 ( P ) =i+j−k=21212121рис. 2.5.1Математический анализ,семестр 2, лекция 12,стр. 5 из 86. Инвариантность вектора градиента.Градиент скалярного поля есть вектор, направленный в любой точке поля в сторонуроста значений скалярного поля по направлению наибольшей скорости этого роста.Длина вектора градиента в любой точке равна наибольшей скорости изменения поля вэтой точке.Градиент – вектор, длина и направление которого определены для заданного поля ϕв заданной точке P , т.е. является характеристикой поля и не зависит от системыкоординат.Вывод: вектор grad ϕ скалярного поля, является характеристикой поля, инвариантенпо отношению к выбору системы координат.3.

Векторные поля.1. Определение векторного поля.В области V пространства задано векторное поле, если любой точке M ∈Vпоставлен в соответствие вектор a ( M ) .Примеры векторных полей:Поле тяготения, поле скоростей движения жидкости, поле электрической или магнитнойнапряженности, и т.п.В декартовой системе координат M ( x, y , z ) , а вектор a ( M ) в координатной формебудет иметь вид:a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x, y , z ) kТ.е.

задание векторного поля в пространстве эквивалентно заданию трех функцийP, Q, R от трех переменных в области V .Будем в дальнейшем предполагать, что все эти функции непрерывны в V вместе счастными производными. Так как каждый вектор характеризуется величиной инаправлением, то задание в V векторного поля означает задание в V поля длин и полянаправлений. В качестве характеристики векторного поля направлений можно ввестипонятие векторных линий поля.Определение.Векторной линией векторного поля a ( M ) назовем всякую линию, которая в каждойсвоей точке касается векторов векторного поля a ( M ) .Запишем уравнение векторных линий (см.

рис. 2.1.1):L : r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )kdr- вектор, направленный в каждой точке кривой поdtкасательной к ней.⇒ чтобы L была векторной линией векторного поляdra ( M ) = Pi + Q j + Rk нужно, чтобы векторы a ( M ) ибылиdtкомпланарны, т.е.рис. 3.1.1dr= λadtМатематический анализ,семестр 2, лекция 12,стр. 6 из 8или в координатной форме:dxdydz= λ P ( x, y, z );= λ Q( x, y , z );= λ R ( x, y , z );dtdtdtпосле исключения коэффициента λ :dx dy dz==P Q Rэта система дифференциальных уравнений после интегрирования дает уравнениявекторных линий поля. Отметим, что в силу условий, наложенных на функцииP, Q, R (непрерывные, с непрерывными частными производными) выполнена теоремасуществования и единственности решения, т.е.

через любую точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) области Vпроходит единственная векторная линия, являющаяся интегральной кривой системы.Пример: H (M ) = − yi + x j (плоское)PR=0QУравнение векторных линий (см. рис. 3.1.2):dx dy dz==−yx0 dx dy=−yx dz = 0{dzxdx=+0ydy = 0рис. 3.1.2 1 2 1 2dx + dy = 022 z = C = const d ( x 2 + y 2 ) = C2 − окружности в плоскостях ⊥ оси z z = C12. Дивергенция векторного поля.Определение.Дивергенцией векторного поляфункция∂P ∂Q ∂R ++= ∇ ⋅ a(M )div a( M ) =∂x ∂y ∂zскалярное(a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x, y , z ) j + R ( x , y , z ) k)произведениеСвойства дивергенции:1) линейность: div C1 a1 ( M ) + C2 a2 ( M ) = C1 div a1 ( M ) + C2 div a2 ( M )()()или ∇ C1 a1 + C2 a2 = C1 ∇ a1 + C2 ∇ a22) если a = const ⇒ div a = 0( = C1 i + C2 j + C3 k )()3) если ϕ ( M ) - скалярное поле, то div ϕ ( M ) ⋅ a( M )  = a ⋅ grad ϕ + ϕ div a или ∇ ϕ a = a ⋅ ∇ϕ + ϕ ⋅ ∇ a( ) ()Пример: a = xyz i + j + kP =Q = R = xyzdiv a = yz + xz + xy()называетсяМатематический анализ,семестр 2, лекция 12,стр.

7 из 83. Ротор векторного поля.Определение.Ротором векторного поля a назовем векторi ∂rot a ( M ) = ∇ ⋅ a  =∂xPj∂∂yQk∂  ∂R ∂Q   ∂R ∂P   ∂Q ∂P = i−−− − j+ k∂z ∂x ∂z  ∂y ∂z  ∂x ∂y R ∂R ∂Q   ∂R ∂P   ∂Q ∂P  −−−rot a ( M ) = ; ;  ∂y ∂z   ∂x ∂z   ∂x ∂y  Свойства ротора:() 1) rot c1 a1 + c2 a2 = c1 rot a1 + c2 rot a2 = c1 ∇ ⋅ a1  + c2 ∇ ⋅ a2  ;2) если a = const , то rot a = 0 ; 3) если ϕ ( M ) - скалярное поле, то rot ϕ a = grad ϕ ⋅ a  + ϕ ⋅ rot a( )Доказательство:ϕ ( M ) ⋅ a( M ) = ϕ ( M ) ⋅ P ( M ) ⋅ i + ϕ ( M ) ⋅ Q( M ) ⋅ j + ϕ ( M ) ⋅ R ( M ) ⋅ kijk ∂∂∂⇒ rot ϕ a = ∇ ⋅ ϕ a  ==∂x ∂y ∂zϕ P ϕQ ϕ R  ∂  ∂∂∂∂  ∂= i ⋅  ⋅ ϕ R − ⋅ ϕQ  − j ⋅  ⋅ ϕ R − ⋅ ϕ P  + k ⋅  ⋅ ϕQ − ⋅ ϕ P  =∂z∂z∂y ∂x ∂y ∂x  ∂ϕ∂R∂ϕ∂Q ∂R∂ϕ∂P  ∂ϕ= i ⋅⋅R+⋅ϕ −⋅Q −⋅ϕ  − j ⋅ ⋅R+⋅ϕ −⋅P−⋅ϕ  +∂y∂z∂z∂x∂z∂z ∂x ∂y  ∂ϕ∂Q∂ϕ∂P   ∂R ∂Q   ∂R ∂P   ∂Q ∂P ⋅ϕ −⋅P−⋅ ϕ  = iϕ ⋅ −−−+k ⋅ ⋅Q + − jϕ ⋅  + kϕ ⋅ +∂y∂y∂y ∂y ∂z  ∂y ∂y ∂z  ∂y ∂zϕ ⋅rot a  ∂ϕ  ∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ  ∂ϕ+i⋅⋅R−⋅Q − j ⋅⋅R−⋅ P + k ⋅⋅Q −⋅ P =∂z∂z∂z ∂x  ∂y ∂yi ∂ϕ grad ϕ ⋅ a  = ∂xPjk∂ϕ∂yQ∂ϕ∂zR = ϕ ⋅ rot a +  grad ϕ ⋅ a  = ϕ ⋅ ∇ ⋅ a  + ∇ϕ ⋅ a Пример решения типового расчета №5: div  a ⋅ b  = b rot a − a rot ba = (a1 ; a2 ; a3 )b = (b1 ; b2 ; b3 ) ij k  a ⋅ b  = a1 a2 a3 = i ( a2 b3 − a3b2 ) + j ( a3b1 − a1b3 ) + k ( a1b2 − a2 b1 )PQRb1 b2 b3 ∂P ∂Q ∂R ∂a2∂b∂a∂b∂a∂bdiv c =++=b3 + 3 a2 − 3 b2 − 2 a3 + 3 b1 + 1 a3 −∂x ∂y ∂z∂x∂x∂x∂x∂y∂y∂a1∂b3∂a1∂b2∂a2∂b1−b3 −a1 +b2 +a1 −b1 −a2∂y∂y∂z∂z∂z∂zi∂rot a =∂xa1П.ч.: b1− a1j∂∂ya2k∂  ∂a3 ∂a2   ∂a1 ∂a3   ∂a2 ∂b1 = i−−+ j + k  ∂x − ∂y ∂z∂z  ∂z ∂x  ∂ya3∂a3∂a∂a∂a∂a∂a− b1 2 + b2 1 − b2 3 + b3 2 − b3 1 −∂y∂z∂z∂x∂x∂y∂b3∂b∂b∂b∂b∂b− a1 2 + a2 1 − a2 3 + a3 2 − a3 1 ⇒ Л .ч.

= П .ч.∂y∂z∂z∂x∂x∂yТ.р.№5, аналог 25 варианта:u = y 2 z − 4 xyz + zM 0 (1,10)α , β , γ − острыеα = π 3; β = π 4∂u= grad u ⋅τ∂lcos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 11 2 1τ  ;;  2 2 2 2∇u = −4 yzi + (2 yz − 4 xz ) j + ( y − 4 xy + 1)k∇u ( M 0 ) = −2k = (0; 0; − 2)∂u= −1∂l()Математический анализ,семестр 2, лекция 12,стр.

8 из 8.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций