lecture_07 (1019614)

Файл №1019614 lecture_07 (Лекции по математическому анализу)lecture_07 (1019614)2017-07-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 1 из 10Несобственные интегралы.Изучение определенного интеграла проводилось в предположении: 1) о конечностиотрезка интегрирования [a; b]; 2) об ограниченности интегрируемой функции у = f(x).Отказ от одного из этих допущений приведет нас к понятию несобственных интегралов сбесконечными пределами и несобственных интегралов от неограниченных функций.1.

Интеграл с бесконечными пределами.1. Определение несобственного интеграла с бесконечными пределами.Пусть функция у = f(x) интегрируема на [a; b] и непрерывна при х ≥ а, тогдаb+∞aalim ∫ f ( x)dx =b →∞∫(1)f ( x)dxназывается несобственным интегралом от функции у = f(x) с бесконечным верхнимпределом (в предположении, что предел (1) существует).

При этом интеграл (1)называется сходящимся. Если же предел (1) не существует или равен бесконечности, тонесобственный интеграл называется расходящимся.Геометрически сходимость интеграла (1) означаетсуществование конечной площади под бесконечнойкривой.Аналогично вводится понятие несобственногоинтеграласбесконечнымнижнимпределом:lima →−∞bba−∞∫ f ( x)dx = ∫илиlima →−∞b →+∞сf ( x)dx ,бесконечнымиb+∞a−∞∫ f ( x)dx = ∫обоимипределами:f ( x)dx .Здесь важно подчеркнуть, что интегралопределяется при независимом стремлении a → −∞ иb → +∞ .Из этих определений следует, что если принекотором значении а сходится каждый из+∞∫интегралов:∫−∞+∞f ( x)dx =∫+∞af ( x)dx;∫f ( x)dx ,тосходитсяиинтеграл−∞a+∞рис.

1.1.1. Геометрический смыслнесобственного интеграла сбесконечным пределом∫f ( x)dx ,причем−∞af ( x)dx +∫f ( x)dx.−∞aПримеры:Исследовать на сходимость интегралы:+∞bdxdxπ1. ∫=lim= lim  arctgx b0  = lim ( arctgb ) = arctg ∞ = ;22∫→+∞→+∞→+∞bbb1+ x1+ x200∞2.bdxdx= lim ln x 1b  = lim ( ln b − ln1) = ∞ - интеграл расходится;∫1 x = limb →∞ ∫ xb →∞b →∞1b1dxdx3. ∫ p = lim ∫ p = lim b →∞b →∞  (1 − p ) x p −1xxaa∞ a1− pa1− p 1   1=при p > 11   − = blim  p −1 − p −1   =  1 − p p − 1→∞1pba− a ∞ ⇒ расходится при p ≤ 1bМатематический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 2 из 10∞4.∫ cos xdx- интеграл расходится.02.

Признаки сравнения.Теорема (I-й признак сравнения).Если на полупрямой х ≥ а заданы две непрерывные функции y = f1(x) и y = f2(x) и длялюбого x ∈ [a; + ∞), 0 ≤ f1 ( x) ≤ f 2 ( x) , то:+∞1. Если интеграл∫+∞f 2 ( x)dx сходящийся, то и интегралa∫f1 ( x)dx также сходящийся.a+∞2. Если интеграл∫+∞f1 ( x)dx∫- расходящийся, то и интегралaтакжеf 2 ( x)dxaрасходящийся.Доказательство:Т.к. f 2 ( x) ≥ f1 ( x) , то для любого b > a по свойствам определенного интеграла следует:b∫abf 2 ( x)dx ≥ ∫ f1 ( x)dx . Но интеграл+∞a∫+∞bf 2 ( x)dx сходящийся, т.е.a∫f1 ( x)dx ≤a∫f 2 ( x)dx , следовательно,ab∫ f ( x)dx1ограничен сверху.

Кроме того, с ростом b интеграл слева монотонноab+∞aaувеличивается, следовательно, существует lim ∫ f1 ( x)dx , т.е. интегралb→+∞∫f1 ( x)dx сходится.Второе утверждение является следствием доказанного.Теорема (II-й признак сравнения).Если на полупрямой х ≥ а заданы две неотрицательные функции y = f(x) и y = g(x) исуществует конечный предел limx →+∞f ( x)= k , причем k ≠ 0; k ≠ ∞ , то интегралыg ( x)+∞∫f ( x)dx иa+∞∫ g ( x)dxсходятся или расходятся одновременно.aПримеры:Исследовать на сходимость интегралы:+∞∫e1.− x2dx .02Сравним подынтегральную функцию с функцией y = e − x : e − x ≤ e − x при х ≥ 1;+∞следовательно, по свойству аддитивности1−x−x∫ e dx = ∫ e dx +20bdx = lim  ∫ e − x dx  = lim  −e − xb →∞b →∞ 11искомый интеграл.+∞∫e−x+∞2.20 1= lim −e − b + e −1  = b →∞   e→01 +∞−x∫ e dx ≤ const +21+∞∫e−xdx .1b- сходится, следовательно, сходится и2x +1dx .3+4∫x1Сравним подынтегральную функцию с функцией y =p = 2 > 1.Повторомупризнакусравнения1.

Интегралx2имеем(здесь+∞dx∫x2- сходится, т.к.1f ( x) =2x + 11, g ( x) = 2 ):x3 + 4x2x + 1 22 x3 + x 2⋅== 2 ≠ 0 ≠ +∞ . Следовательно, исходный интеграл тоже сходится.xlimb→∞ x 3 + 4b→∞ x 3 + 4lim3. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы.Математический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 3 из 10Определение 1.+∞Интеграл∫f ( x)dx называется абсолютно сходящимся, если сходится интегралa+∞∫f ( x) dx .aОпределение 2.+∞Интеграл∫f ( x)dx называется условно сходящимся, если сам интеграл сходится, аa+∞интеграл∫f ( x) dx - расходится.aПримеры:+∞1.Интеграл∫1+∞∫+∞f ( x) dx =a∫acos xdxx2cos xdx =x2+∞∫cos xx2a+∞сходимость интеграла∫a+∞2. Интеграл∫1cos xx2абсолютноdx (т.к.cos xx2≤сходящийся,1, а интегралx2т.к.+∞dx∫x2сходитсяинтегралсходится, то отсюда следуетadx );sin xсходится условно, т.к.x+∞интеграл∫1sin xxdx расходится, а сам интеграл,11 +∞du = − 2 dx sin xcos x u=dx==cos1−xx∫1 x∫1 x 2 dx , являющийся dv = sin xdx v = − cos x сходящимся интегралом (см.

предыдущий пример).+∞вычисленный по частям, дает:4. Теорема об абсолютной сходимости интегралов.+∞Если сходится интеграл∫a+∞f ( x) dx , то и интеграл∫f ( x)dx тоже сходится.a2. Интегралы от неограниченных функций.1. Определение.Пусть функция y = f(x) определена на [a; b) и неограничена на нем, но ограничена на любом отрезке [a; b- ε] для любого положительного ε. Кроме того, функцию y= f(x) на этом полуинтервале будем предполагатьинтегрируемой, тогда по определению:b −εb∫af ( x)dx = limε →0∫f ( x)dxa(2)в предположении, что данный предел существует иконечен.

В этом случае интеграл называется сходящимся.В противном случае интеграл – расходящийся.Если же функция определена на (a; b], тоаналогично:b∫abf ( x)dx = limε →0∫a +εf ( x)dx .рис. 2.1.1. Геометрический смыслинтеграла от неограниченнойфункцииМатематический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 4 из 10Примеры:Исследовать на сходимость интегралы:11dxdx1. ∫ = lim ∫ = lim ln x 1ε  = lim ( ln1 − ln ε ) = ∞ - интеграл расходится;ε →0x ε →0 x ε → 0ε0(Функция y =32.∫11не определена в точке 0).x3dxx −1= limε →0∫ε1+d ( x − 1)x −1= lim(2 x − 1ε →0интеграл сходится;3.Исследоватьна31+ ε) = lim  2 2 − 21+ ε −1  = 2 2 ≠ 0 ε →0 →0сходимостьвзависимостиотрис.

2.1.2. График1функции y =xпараметра: b −ε d (b − x) dx1111b −ε limlim −==a=p −1 ∫a (b − x) p ε →0 − ∫a (b − x) p  = limp −10ε → 0  (1 − p )(b − x ) p −1ε→(b − a )  p −1( b − b + ε )bdx= ∞ ⇒ расходится; p > 1, p − 1 > 0, ∫pa (b − x )bdx1 1=  p < 1, p − 1 < 0, ∫=⋅ −⇒ сходится;pp −1 p − 1  (b − a) a (b − x )b p = 1, dx = − ln b − x ba −ε = ∞ ⇒ расходится∫a b − xbЗамечание.Если функция y = f(x) имеет разрыв II-го рода во внутренней точке с отрезка [a; b],bто интеграл∫ f ( x)dx следуетпо свойству аддитивности разбить на два интеграла:ab∫acbacf ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx , и каждый из этих интегралов исследовать на сходимость (см.пример 4).14.01dxdxdx∫−1 x 2 = −∫1 x 2 + ∫0 x 2 = εlim1 →0− ε1∫−11 1dxdx+ lim ∫ 2 = lim  −2x ε 2 → 0ε 2 x ε1 → 0  x− ε1−1 1− + εlim→0  2  x1ε211 = lim  + 1 + lim  −1 + ε1 → 0  ε1  ε 2 → 0 ε2=∞2.

Признак сравнения.Теорема.Если на [a; b) определены и непрерывны две функции, связанные неравенством0 ≤ f1 ( x) ≤ f 2 ( x) , и интеграл от большей функции сходится, то, следовательно, сходится иинтеграл от меньшей функции. Аналогично, если интеграл от меньшей функциирасходится, то расходится и интеграл от большей функции.3. Аналогично, как и в п. 1.3, вводятся понятия абсолютной и условной сходимостидля интеграла (2).4. Интегралы смешанного типа.На практике приходится встречать интегралы смешанного типа, т.е. интегралы, укоторых пределы интегрирования бесконечны, а во внутренних точках интервалафункция неограниченна.Пример:Математический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 5 из 10∞Γ( p) = ∫ x p −1e − x dx - гамма-функция, имеющая бесконечный верхний предел и разрыв II-го рода01при 0 < p < 1 в точке х = 0. Разобьем интеграл на две части: Γ( p) = ∫ x p −1e − x dx +0+∞∫xp −1 − xe dx и1исследуем каждый из них на сходимость.

Результат: интеграл сходится при р > 0.3. Интеграл по области.1. Мера ограниченной замкнутой области (фигуры).Самый общий процесс интегрирования имеет дело с некоторой определеннойфигурой Ф некоторого пространства, причем «пространство» понимается в самомшироком смысле: одномерное, двух-, трех-, n-мерное. Под фигурой соответственнопонимается: в одномерном пространстве – отрезок прямой; в двухмерном – линия наплоскости, ограниченная область на плоскости; в трехмерном – пространственная линия,поверхность, объемное тело; в n-мерном – n-мерное тело (см.

рис. 3.1.1).рис. 3.1.1.В дальнейшем будет важно следующее: в рассматриваемом пространстве вводитсяпонятие расстояния между любыми двумя точками пространства р1 и р2 как некоторогонеотрицательного числа ρ ( p1 , p2 ) ≥ 0 , обладающего свойствами:1. ρ ( p1 , p2 ) = 0 ⇔ p1 ≡ p2 ;2. ρ ( p1 , p2 ) = ρ ( p2 , p1 ) ;3. ρ ( p1 , p2 ) ≤ ρ ( p1 , p3 ) + ρ ( p2 , p3 ) - аксиома «треугольника».Кроме того, для любой рассматриваемой ограниченной фигуры Ф введем понятиемеры, подразумевая под мерой отрезка, плоской или пространственной кривой ихдлину, под мерой плоской области или поверхности в пространстве будем понимать ихплощадь, а за меру пространственного тела примем его объем. Меру фигуры Ф будемобозначать так: m (Ф)(1)С понятием площади как меры плоской области мы ознакомились раньше.Введем еще одно понятие:Диаметром фигуры Ф назовем наибольшее расстояние между точками фигуры, т.е.d (Φ ) = max ρ ( pi , p j )(2)∀pi , p j ∈ΦПусть, кроме того, на фигуре Ф пространства распределена некоторая величина,которой приходится определенное количество на всякую часть фигуры Ф.

Это можетмасса, электрический заряд, теплота, количество осадков и т.п. Т.к. при построенииМатематический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 6 из 10математических моделей физическая природа этой величины нам несущественна, тобудем говорить, что на любой рассматриваемой фигуре Ф определена функция y = f (p).2.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
291,33 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее