lecture_08 (1019616)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ,семестр 2, лекция 8,стр. 1 из 7Двойной интеграл(продолжение лекции 7)1. Двойной интеграл в криволинейных координатах.1. ЯкобианРассмотрим n различных функций от n переменных x1 ,..., xn : y1 = f1 ( x1 ,..., xn )............................ y = f ( x ,..., x )nn1 n(1)которые определены в некоторой n-мерной области D и имеют в D непрерывные частныепроизводные по всем переменным. Составим определитель n-го порядка из частныхпроизводных:∂y1 ∂y1∂y... 1∂x1 ∂x2 ∂xnD ( y1 ,..., yn )J = ..............=D ( x1 ,..., xn )∂yn ∂yn ∂yn...∂x1 ∂x2 ∂xn(2)Этот определитель называется якобианом для системы функций (1). Якобиан (2)обладает рядом свойств, сходных со свойствами производных.1. Если переменные x1 ,..., xn сами являются функциями аргументов t1 ,..., tn , т.е. x1 = ϕ1 (t1 ,..., tn )(3)..................... x = ϕ (t ,..., t )n1 1 nD ( x1 ,..., xn ), тоD (t1 ,..., tn )D ( y1 ,..., yn ) D ( x1 ,..., xn ) D( y1 ,..., yn )⋅=D ( x1 ,..., xn ) D (t1 ,..., tn )D (t1 ,..., tn )и якобиан суммы (3)(4)Ранее для функции одной переменной: y = f ( x) и x = y (t ) это свойство записывалось:dy dx dy⋅ =.dx dt dt2.

Если система (3) есть обращение системы (1), т.е. yi = ti , то свойство (4) примет вид:D ( y1 ,..., yn ) D( x1 ,..., xn )⋅=1D ( x1 ,..., xn ) D ( y1 ,..., yn )D ( y1 ,..., yn )1=,илиD ( x1 ,..., xn ) D ( x1 ,..., xn )D ( y1 ,..., yn )(5)что есть обобщение формулы для производной обратной функции.

Отметим еще, что изравенства (5) следует, что ни один из якобианов не обращается в нуль.Это свойство аналогично теореме о производной обратной функции:y = f ( x), x =1.f ( y)dy1=, гдеdxdxdyМатематический анализ,семестр 2, лекция 8,стр. 2 из 72. Переход от декартовой системы координат к криволинейным координатам наплоскости.Пусть на плоскости х0у введены криволинейные координаты u и v так, чтоu = u ( x; y ), v = v( x; y )(6)Пусть эти функции определены на всей плоскости х0у или в некоторой ее областиD и обладают непрерывными частными производными. Кроме того, допустим, чтоуравнения (6) разрешимы однозначно относительно x и y, т.е.{xy == xy((uu,,vv))(7)Любой точке M ( x; y ) ∈ D однозначно соответствуетпара чисел (u , v) - криволинейные координаты точки М.ВсяобластьDпокрываетсякриволинейнойкоординатной сеткой (см.

рис. 1.2.1).Якобиан системы (7) запишется так:∂xD( x; y ) ∂uJ==D (u; v) ∂y∂u∂x∂v∂y∂vПри этом, т.к.(8)D ( x; y ) D(u; v)= 1 , то якобиан (8)D (u; v) D ( x; y )отличен от нуля.Определим элемент площади dS в криволинейныхкоординатах u, v . Рассмотрим элемент площади dS = M 1M 2 M 3 M 4 (см. рис. 1.2.2).Координаты вершин четырехугольника M 1M 2 M 3 M 4 с точностью до б/м первогопорядка относительно △u = du и △v = dv запишутся:рис. 1.2.1M 1 : x1 = x(u; v);y1 = y (u; v)∂x△u∂u∂yy2 = y (u +△u; v) = y (u; v) + △u∂u∂xM 3 : x3 = x(u; v +△v) = x(u; v) + △v∂v∂yy3 = y (u; v +△v) = y (u; v) + △v∂v∂x∂xM 4 : x4 = x(u +△u; v +△v) = x(u; v) + △u + △v∂u∂v∂y∂yy4 = y (u +△u; v +△v) = y (u; v) + △u + △v∂u∂vM 2 : x2 = x(u +△u; v) = x(u; v) +рис.

1.2.2.Из полученных выражений нетрудно видеть, что x2 − x1 = x4 − x3 , y2 − y1 = y4 − y3 , т.е.векторы M 1M 2 и M 3 M 4 равны по длине и одинаково направлены. То же самое можно сказать и о векторах M 1M 3 и M 2 M 4 . Из этого можно сделать вывод, что с точностью до б/мвысшего порядка, чем △u и △v , четырехугольник M 1M 2 M 3 M 4 есть параллелограмм, и егоплощадь вычисляется по известной формуле:∂xx2 − x1 x3 − x1dS == ∂uy2 − y1 y3 − y1∂y∂u∂x∂v dudv = J dudv ,∂y∂v(9)т.е.

dS = J dudv . Отсюда следует, что якобиан в любой точке M ∈ D есть коэффициентизменения площади при деформации области D, определяемой отображением (6), т.е.площадь в области D равна:Математический анализ,семестр 2, лекция 8,стр. 3 из 7S ( D) = ∫∫ dS = ∫∫ J dudv ,D′Dгде D’ – область, в которую переходит область D при деформации.Тогда замена переменных в двойном интеграле (( x; y ) на (u; v)) осуществляется поформуле:(10)∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f [ x(u, v), y(u, v)] J dudvDD'Замечание: При любой замене переменных в n-мерном пространстве якобиан имеетсмысл отношения меры преобразованной фигуры Ф’ к мере исходной фигуры Ф, т.е.J =mФ′.mФ3.

Двойной интеграл в полярных координатах.Введем на плоскости ( x, y ) полярные координаты ( ρ , ϕ )(см. рис. 1.3.1) по известным формуламx = ρ cos ϕy = ρ sin ϕЯкобиан этого преобразования равен:{∂xD ( x, y ) ∂ρ=J =x , y → ρ ,ϕD ( ρ ,ϕ ) ∂y∂ρ∂x∂ϕ = cos ϕ − ρ sin ϕ = ρ cos 2 ϕ + ρ sin 2 ϕ = ρ∂ysin ϕ ρ cos ϕ∂ϕТогда формула (10) примет вид:рис.

1.3.1∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ρ d ρ dϕ(11)D′DПереход в двойном интеграле к полярным координатамчасто позволяет не только упростить подынтегральнуюфункцию, но и упростить область D интегрирования.Если область D′ в полярных координатах имеет вид,показанный на рис. 1.3.2, т.е. является простой (заключена междудвумялучамиилиниями,задаваемымиформуламиρ = ρ1 (ϕ ); ρ = ρ 2 (ϕ ) ), то двойной интеграл в формуле (11) сводитсяк повторному интегралу:βρ 2 (ϕ )∫∫ f ( ρ ,ϕ ) ρ d ρ dϕ = α∫ dϕ ρ ∫ϕD′рис.

1.3.2.1(f ( ρ ,ϕ ) ρ d ρ(12))Пример:Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 3z = x 2 + y 2 и z = 3(см. рис. 1.3.3).Искомый объем найдется как разность объемов прямого круговогоцилиндра радиуса R=3 и объема, лежащего под поверхностьюx2 + y2и ограниченного плоскостью z=0.параболоида z =3рис. 1.3.3.Математический анализ,семестр 2, лекция 8,стр. 4 из 7() x2 + y2 1x = ρ cos ϕ , 0 ≤ ρ ≤ 322V = VЦ − VП = 9π ⋅ 3 − ∫∫  dxdy = 27π − ∫∫ ( x + y )dxdy = y = ρ sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π =33D D2π3112π ρ 4 32π 81 2723= 27π −= 27π − ∫ dϕ ∫ ρ d ρ = 27π −= 27π −⋅ = πρ d ρ dϕ∫∫3 D'30343 4200в полярной системе координатρ 2 = x2 + y 2Иногда оказываются удобными так называемыеобобщенные полярные координаты (см.

рис. 1.3.4.):x = a ρ cos ϕ .y = b ρ sin ϕЗдесь линии ρ = const есть эллипсы, а линии ϕ = const лучи из начала координат. Обобщенными полярнымикоординатамиудобнопользоваться,еслиобластьинтегрирования есть эллипс или его сектор.{D ( x, y )= ab ρD (u , v)J =рис. 1.3.4Пример:x2 y2+= 1 (см. рис. 1.3.5).a2 b2В полярных координатах уравнение эллипса имеет вид:Вычислить площадь эллипсаx2 y 2+=1 ⇒a2 b2a 2 ρ 2 cos 2 ϕa2+b 2 ρ 2 sin 2 ϕb2=1 ⇔ρ2 =1тогда получим:2π100S = ∫∫ dxdy = ∫∫ ab ρ d ρ dϕ = ab ∫ dϕ ∫ ρ d ρ = π abрис. 1.3.5D′DТройной интеграл.1. Тройной интеграл: определение, свойства.Рассмотрим фигуру, представляющую собой пространственное тело V. Мерой этоготела будет являться его объем, который обозначим также буквой V.

В теле V определенафункция f ( P ) . Введем понятие тройного интеграла по этому телу. Для этого разобьемтело V произвольным образом на части ∆1 , ∆ 2 ,..., ∆ n . В каждом из полученных объемов ∆ iпроизвольно выберем точку Pi , вычислим значение функции в этих точках f ( Pi ) исоставим интегральную сумму ∑ f ( Pi )V (∆ i ) . Обозначим через λ = max V (∆ i ) и перейдем кiпределу в интегральной сумме при λ → 0, n → ∞ . Предел данной интегральной суммыназовем тройным интегралом от функции f ( P ) по телу V:lim ∑ f ( Pi )V (∆ i ) = ∫∫∫ f ( P )dV(1)λ →0iVДля тройного интеграла остаются справедливыми все свойства интеграла пофигуре: линейность, аддитивность, теорема об оценке, теорема о среднем, и т.д.Так, например, при f ( P ) = 1 , ∫∫∫ dv = V - объем тела(2)VМатематический анализ,семестр 2, лекция 8,стр. 5 из 7Если рассматривать тело V с неоднородным распределением массы и функцию f ( P )как плотность распределения массы в теле V, то масса тела M (V ) = ∫∫∫ f ( P )dV .V2.

Тройной интеграл в декартовых координатах.Введем декартову систему координат xyz, тогда каждая точка имеет координатыP ( x, y, z ) , а f ( P ) = f ( x, y, z ) . Если при этом разбиение тела V на части ∆ i производитьплоскостями, параллельными координатным, то элемент объема dV = dxdydz и интеграл(1) примет вид:∫∫∫ f ( P)dV = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydzVVОпределение.ПространственноетелоVназовемпростымотносительно плоскости х0у, если любая прямая,параллельнаяоси0z,пересекаетповерхность,ограничивающую объем V, не более чем в двух точках.Более подробно: простое тело V, заключенное междудвумя поверхностями z1 ( xy ), z2 ( xy ) и боковой цилиндрическойповерхностью с образующей, параллельной оси 0z,проектируется на плоскость x0y в область D.В случае простого тела V тройной интеграл сводится кповторным по следующим формулам:рис.

2.2.1∫∫∫Vz2 ( x , y ) z2 ( x , y )f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫  ∫ f ( x, y , z )dz  dxdy = ∫∫ dxdy ∫ f ( x, y, z )dz ,D Dz1 ( x , y ) z1 ( x , y )(3)где интеграл, стоящий в квадратных скобках, вычисляется при фиксированныхзначениях x и y.Если область D также проста относительно, например, оси 0х, то тройной интегралсводится к трем определенным интегралам:by2 ( x )ay1 ( x )∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ dx ∫Vz2 ( x , y )dy∫(4)f ( x, y , z )dzz1 ( x , y )Пример:Вычислить ∫∫∫ zdxdydz ,гдеVограниченоплоскостямиVx + y + z = 1 , x = 0, y = 0, z = 0 .11− x1− x − y000∫∫∫ zdxdydx = ∫ dx ∫ dyV11− x∫11− x z2zdz = ∫ dx ∫ 00  21− x − y01= ∫ dx ∫ (1 + x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 2 xy ) dy =2001 1− xy31 dx == ∫  y + x2 y +− 2 xy − y 2 + xy 2 203 011 11  x x 2 x3 x 4 x3 = ∫  − x + x 2 −  dx =  − + − 2 033 23 23 12  dy =10=124рис.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций