lecture_03 (1019607)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ,семестр 2, лекция 3стр. 1 из 3Интегрирование некоторых классов функций.1. Интегрирование тригонометрическихвыражений.1. Универсальные тригонометрические подстановки:I = ∫ R (cos x,sin x, tg x)dxt = tgx2xxcos 222x 2 xxcos  sin + cos 2 222xxx1 − tg 2cos 2 − sin 21− t 22=22cos x ==1 + t 2 1 + tg 2 x cos 2 x + sin 2 x2222sin x2t 1 + t2ttg x ===cos x 1 − tg 2 x 1 + tg 2 x 1 − t 22221− tc tg x =2txxt = tg ⇒ = arctg t ⇒ x = arctg t222dx =dt1+ t22t=sin x =1+ t22sin 2 2t 1 − t 2 2t  2;;I = ∫ Rdt222 2 1+ t 1+ t 1− t  1+ tdxdtx2I =∫=∫dt = ∫ = ln t + C = ln tg + C22sin x(1 + t ) 2t (1 + t )2t2.

I = ∫ R (cos x) sin xdxt = cos xI = ∫ R (sin x) cos xdxt = sin x  tg x  I = ∫ R  dx ctg x   tg x t=ctg x Пример:d (1 + tsin 2 x2sin x cos x2tdt∫ 1 + sin 2 x dx = ∫ 1 + sin 2 x , {t = sin x} , ∫ 1 + t 2 = 2∫ 1 + t 22) = 2 ln(1 + t3. Интегрирование производных sinx, cosx Если одно из чисел m или n – целое, нечетноеm или n : 2k+12)+CМатематический анализ,семестр 2, лекция 3стр. 2 из 3I = ∫ sin 4 x cos3 xdx = ∫ sin 4 x cos 2 x cos xdx = ∫ sin 4 x(1 − sin 2 x)d sin x = {t = sin x} = ∫ t 4 (1 − t 2 )dt == ∫ ( t 4 − t 6 ) dt =t5 t 7sin 5 sin 7− +C =−+C5 757 Если m и n – целые, четные: m, n ∈ 2k , то следует воспользоваться формуламипонижения степени:1cos 2 x = (1 + cos 2 x )21sin 2 x = (1 − cos 2 x )2xx2 sin cos = sin x22Пример:11I = ∫ sin 4 x cos2 xdx = ∫ sin 2 x cos2 x sin 2 xdx = ∫ sin 2 2 x (1−cos 2 x )  dx =4211=− ∫ sin 2 2 x cos 2 xdx + ∫ sin 2 2 x =8811=− ∫ sin 2 2 xd sin 2 x + ∫ (1−cos 4 x )dx =16161113sin 4 x + C .x−= − sin 2 x +4816324.

Интегрирование произведений sin x и cos x1 ( m − n) x( m + n) x 1 sin(m − n) x 1 sin(m + n) xI = ∫ cos mx cos nxdx = ∫ cos+ cosdx =++ C.2 222 m−n2 m+n11 sin(m − n) xI = ∫ sin mx sin nxdx = ∫ [ cos(m − n) x − cos(m + n) x ] dx =+ C.22 m−n11 cos(m − n) 1 cos(m + n)I = ∫ sin mx cos nxdx = ∫ [sin(m − n) x + sin(m + n) x ] dx = −−+ C.22 m−n2 m+nПример:Вычислить интеграл: I = ∫ cos 3 x cos 2 xdx111 sin 5 xI = ∫ cos 3 x cos 2 xdx = ∫ ( cos x + cos 5 x ) dx = sin x ++C .222 55. Тригонометрические подстановки в интегралах, содержащихax 2 + bx + c , a ≠ 02222bc2bbbcbcbax 2 + bx + c = a  x 2 + x +  = a  x 2 +x + 2 − 2 +  = a x +  + − 2 aaaaaa 2a4a 4a4  ht Если a > 0 ; h > 0 , то ax 2 + bx + c = a ( t 2 + h 2 )()I = ∫ R t , a ( t 2 + h 2 ) dtСделать замену: u =hhh==sin t cos t cht Если a < 0 ; h < 0 , то ax 2 + bx + c = a ( h 2 + t 2 )Математический анализ,семестр 2, лекция 3стр.

3 из 3)(I = ∫ R t , a ( h 2 − t 2 ) dtСделать замену: u = h sin t = h cos tПример:Вычислить интегралы:()1) I = ∫ a a 2 − x 2 dx() x = a sin t 2 2 2I = ∫ a a 2 − x 2 dx = = ∫ a − a sin ta cos tdt = dx = a cos tdt = ∫ a 2 cos t cos tdt =2a2x aa2a 2 a 2 sin 2t2+C =arcsin   ++ C.∫ 1+ cos tdt = t +222 2222 x = a sh t 2I = ∫ x 2 + a 2 dx =  = ∫ a 2 sh 2 t + a 2 a cht dt = a ∫ sh 2 t +1cht dt =dx = a cht dt 2) 2 1sh x = ( sh 2 x −1) 2 2 12= ch x = 2 ( ch 2 x +1)  = a ∫ sh 2 t + ch 2 t −sh 2 x .sh 2 x = 2 sh x ch x 221=ch x −sh x.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций