lecture_05 (1019611)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ,семестр 2, лекция 5*стр. 1 из 67. Замена переменной в определенном интеграле.a∫b x = ϕ (t ) t1 dx = ϕ '(t )dt  t1*f ( x)dx =  = ∫ f (ϕ (t )) ⋅ ϕ '(t )dt = ∫ f (t )dt , где f * ( x) = f (j (t ))Чj '(t ) .(t)aϕ=1t2 t2 ϕ (t2 ) = b a∫0Пример:x = a sin t ππ=dxacostdt2 2 2a22222sincosa − x dx = =a−at⋅atdt=a 2 ⋅ cos 2 tdt =x=0⇒t =0 ∫∫20 0π x = a ⇒ sin t = 1 ⇒ t = 2 a2=2π2∫0a2dt +2π2∫ cos 2tdt =0π2∫ (1 + cos 2t )dt =0a 2 π a 2 sin 2t π a 2⋅ + ⋅=2 2 224= 0, т.к . sin π = 08. Формулы интегрирования по частям в определенноминтеграле.Теорема.b∫ u ( x)dv( x) = u ( x)v( x)bbaa− ∫ v( x)du ( x)aДоказательство:Т.к. ( uv ) ' = u ' v + uv ' , т.е.

функция u ⋅ v является первообразной для u ' v + uv ' . Такимобразом,b∫ ( u ' v + uv ') dx = uvba= u (b)v(b) − u (a )v(a)abb' dx + ∫ u v' dx = uv∫ v ua= duba= dvaПример:22212 − ∫ x dx = 2 ln 2 − 1.∫1 ln xdx = x ln x 1 − ∫1 xd ln x = 2 ln 2 − ln1x=019. Геометрические приложения определенного интеграла.1. Площадь плоской фигуры.Под площадью плоской фигуры будем пониматьпроизвольноеограниченноемножествоточекнаплоскости.Напомним, что площадью прямоугольника называетсяпроизведениеегооснованиянавысоту.Этонеотрицательноечисло,обладающеесвойствомаддитивности, т.е.

если прямоугольник разбить на частипрямыми, параллельными его сторонам, на меньшиепрямоугольники, то площадь данного прямоугольникаМатематический анализ,семестр 2, лекция 5*стр. 2 из 6будет равна сумме площадей составляющих. Для произвольной плоской фигуры Dпостроим нижнее и верхнее приближение к искомой площади, т.е. две области,состоящие из прямоугольников: Dex и Din – охватывающих D и содержащихся внутри D.Тогда искомая площадь S фигуры D лежит: S ( Din ) ≤ S ( D ) ≤ S ( Dex ) при любом выборе Din иDex.Продолжим разбиение прямоугольников прямыми, параллельными их сторонам, так,чтобы длины диагоналей всех прямоугольников стремились к 0, тогда S ( Din ) монотонновозрастает, а S ( Dex ) монотонно убывает.Плоская фигура D называется квадрируемой или измеримой, если существуетобщий предел S ( Din ) и S ( Dex ) при неограниченном разбиении и при стремлении длиндиагоналей прямоугольников к нулю.

Этот общий предел и принимают за площадь S(D).Естественно, что этот общий предел существует, когда S ( Dex ) - S ( Din ) ® 0 , т.е. когда границаобласти D может быть заключена в кайму сколь угодно малой площади.2. Площадь криволинейной трапеции. f ( x) ∈ ℂ [ a; b ] (непрерывна); если функция f ( x) ≥ 0 ∀ x ∈ [ a; b ] ⇒bS = ∫ f ( x)dxaПример:y = a 2 − x 2 - полуокружность радиуса а с центром в точке О.y 2 = a2 − x2 ⇒ax2 + y 2 = a2S = ∫ a 2 − x 2 dx =0π a24Пояснение: т.к.

площадь всего круга равна π R 2 , где R – радиус круга, то площадь четвертиπ R2.круга равна4рис. 9.2. Площадь произвольнойкриволинейной трапециирис. 9.2.2. Иллюстрация к примеру f ( x) ∈ ℂ [ a; b ] (непрерывна); если функция f ( x) ≤ 0 ∀ x ∈ [ a; b ] ⇒bS = − ∫ f ( x)dxaМатематический анализ,семестр 2, лекция 5*стр. 3 из 6рис. 9.2.3. Функция y = f(x) отрицательна навсем промежутке [a; b] f ( x) ∈ ℂ [ a; b ] (непрерывна); если функция f (x) – четная, т.е.a = −b; ∀ x ∈ [ − a; a ] f ( x) = f (− x);f ( x) ≥ 0 ∀ x ∈ [ − a; a ] ⇒aS = 2 s = 2∫ f ( x)dx =0a∫f ( x)dx−a f ( x) ∈ ℂ [ a; b ] (непрерывна); если функция f (x) – нечетная, т.е.a = −b; ∀ x ∈ [ − a; a ] f ( x) = − f ( x) ⇒ S = s + s ⇒0S=∫−aaf ( x)dx + ∫ f ( x)dx =0a∫f ( x)dx = 0 (по свойству аддитивности).−aрис.

9.2.5. Площадь трапеции,ограниченной нечетной функциейрис. 9.2.4. Площадь трапеции,ограниченной четной функциейПример:Вычислить интеграл.3x cos x sin17x dx = 0∫ sin2−32четн.5нечетн. Если искомая площадь заключена между графиками двух функций f1(x) иf2(x), причем f1 ( x), f 2 ( x) ∈ ℂ [ a; b ]; f1 ( x) ≤ f 2 ( x) ∀ x ∈ [ a; b ] ⇒bbaaS = S2 − S1 = ∫ f 2 ( x)dx − ∫ f1 ( x)dx =b∫[ fa2( x) − f1 ( x)] dxМатематический анализ,семестр 2, лекция 5*стр. 4 из 6рис. 9.2.6.

Площадь криволинейной трапеции, заключенной междуграфиками двух функцийПример:Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой y = x ипараболой y = 2 − x 2 (см. рис. 9.2.7).2 - x 2 = x , найдем координаты точекРешивуравнениепересечения прямой и параболы: А (-2; -2) и В (1; 1).Следовательно, искомая площадь равна:1x3 x 2  1 1 1 8 9S = ∫ ( 2 − x 2 ) − x  dx =  2 x − −  −2 =  2 − −  −  −4 + − 2  =3 2 3 2 3 2−2(ед2).рис. 9.2.7. Если криволинейная трапеция ограничена кривойx = g(y), определенной на отрезке [c; d], и прямымиy = c и y = d, т.е. x = g ( y ) ∈ ℂ [c; d ]; y = c; y = d (см.

рис.9.2.8), то ее площадь вычисляется по формуле:cS = ∫ g ( y )dyd Если кривая l, ограничивающая искомую площадь,рис. 9.2.8. x = x (t )задана параметрически, т.е. l : , t ∈ [t1 ; t2 ] , причем y = y (t )x(t ), y (t ), x '(t ), y '(t ) ∈ ℂ [t1 ; t2 ] , т.е. функции x(t) и y(t), атакже их производные непрерывны на [t1; t2], так чтопараметру t1 отвечает точка A, а t2 – точка В, т.е.A ( x(t1 ); y (t1 )); B ( x(t2 ); y (t2 )) (см. рис. 9.2.9), то площадьтакой трапеции вычисляется по формуле:x ( t2 )S=∫x ( t1 )t2t2f ( x)dx = ∫ f ( x(t )) dx(t ) = ∫ y (t ) ⋅ x '(t ) dtt1= y (t )t1Пример:Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды:x = t − sin t ; y = 1 − cos t ; 0 ≤ t ≤ 2π (см. рис. 9.2.10).рис.

9.2.9Математический анализ,семестр 2, лекция 5*стр. 5 из 6Искомая площадь будет равна:2π2π2π1 + cos 2t 3cos t +S = ∫ (1 − cos t ) 2 dt = ∫ 1 − 2dtdt = 3π .=2 2 ∫0=000 =0рис. 2.9.103. Площадь криволинейных секторов и сегментов.Замечание:Sкр.

= π r 2 ;Sсект. =∆ϕ∆ϕ∆ϕ r 2⋅ Sкр. =⋅ π r2 =(см. рисунок)2π22πПусть искомая площадь, отнесенная к полярнойсистеме координат, ограничена кривой ρ = ρ (ϕ ) илучами ϕ = α и ϕ = β . Функцию ρ = ρ (ϕ ) предположимнепрерывной по ϕ ∈ [α ; β ] . Сектор АОВ разбиваем наn секторов с углами размаха ∆ϕi . Площадь каждогоиз них заменяем площадью кругового секторарадиуса Ri или ri. Тогда площади вписанных иописанных фигур будут равны соответственно:11s = ∑ ri 2 ∆ϕi и S = ∑ Ri2 ∆ϕi .i 2i 2Если dT = max(∆ϕi ) → 0 при n → ∞ , то эти суммырис.

9.3.1.стремятся к общему пределу, причем s ≤ Sс. ≤ S =>площадь криволинейного сектора равна:βSс. =1 2ρ (ϕ )dϕ2 α∫Пример:Вычислить площадь фигуры, ограниченной одним виткомархимедовой спирали и отрезком полярной оси: r = aj , гдеa = const (см. рис. 9.3.2)2πS=∫0a2 ϕ 31 2 2a ϕ dϕ = ⋅22 32π0=a24(2π )3 = a 2π 363рис. 9.3.2.Площадькриволинейногосегмента,ограниченного кривыми ρ = ρ1 (ϕ ) и ρ = ρ 2 (ϕ ) и лучамиϕ = α и ϕ = β (рис. 9.3.3), можно вычислить по формуле:β1S = ∫  ρ22 (ϕ ) − ρ12 (ϕ ) dϕ2αрис.

9.3.3.Пример:Математический анализ,семестр 2, лекция 5*стр. 6 из 6x2 + y 2 = 2 x ⇒x2 + y 2 = 4 x ⇒ρ = 2cos ϕ1=> S =2ρ = 4cos ϕπ2∫ (16 cos2ϕ − 4cos 2 ϕ )dϕ = 3π0**в этой лекции нумерация пунктов логически продолжает содержание лекции № 4..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций