lecture_04 (1019609)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ,семестр 2, лекция 4,стр. 1 из 6Определенный интеграл.Свойства определенного интеграла. Основные теоремы интегральногоисчисления.1. Задача определения площади криволинейной трапеции.Рассмотрим задачу о вычисленииплощадиплоской фигуры, ограниченной плоской кривойy=f(x),определенной,непрерывнойинеотрицательной на некотором отрезке [a; b],ограниченной отрезком [a; b] и прямыми x = a, x = b.Разобьем [a; b] произвольным образом на nотрезков [ xi ; xi +1 ] длины ∆xi = xi +1 − xi , a = x0 < x1 < ... < xn = b .На любом отрезке произвольно выберем точку ξi и наотрезке, как на основании, построим прямоугольниквысотойf (ξi ) .Площадьодноготакогопрямоугольника равна f (ξi ) ⋅ ∆xi . Суммарная площадьвсех построенных прямоугольников приблизительно будет равна искомой площадикриволинейной трапеции aABb:n −1Sтр ≈ ∑ f (ξi ) ⋅ ∆xi(1)i =0Обозначим через d = max ∆xi .

Будем увеличивать число разбиений. Тогда сумма (1)будет все точнее выражать площадь криволинейной трапеции. Представляетсяестественным за искомую площадь принять предел суммы (1) при n →∞ и d →0, т.е.:S тр = lim ∑ f (ξi ) ⋅ ∆xi(2)n →∞id →02. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.Определение 1. Интегральная сумма.Рассмотрим функцию y = f(x), определенную и непрерывную на [a; b].

Разобьем[a; b] произвольным образом на n частей точками x1 , x2 ,..., xn −1 , a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b и накаждом полученном отрезке ∆xi = xi +1 − xi произвольно выберем точку ξi и вычислимзначение функции в это точке. Составим сумму,n −1f (ξ 0 ) ⋅ ∆x0 + f (ξ1 ) ⋅ ∆x1 + f (ξ 2 ) ⋅ ∆x2 + ... + f (ξ n −1 ) ⋅ ∆xn −1 = ∑ f (ξ i ) ⋅ ∆xi(3)i =0называемую интегральной суммой для функции y = f(x) на отрезке [a; b].Определение 2.

Разбиение отрезка.Совокупность точек деления отрезка x0 , x1 ,..., xn и промежуточных точек ξ0 , ξ1 ,..., ξ nбудем называть разбиением отрезка, и обозначать буквой Т.Каждомуразбиениюсоответствуетопределеннаяинтегральнаясумма.Интегральная сумма есть функция, определенная на множестве разбиений.Математический анализ,семестр 2, лекция 4,стр. 2 из 6Обозначим через dT = max ∆xi - диаметр разбиения. Устремим n →∞, тогда dТ →0 иin −1f (ξ i ) ⋅ ∆xiвсе ∆xi → 0 , и возьмем предел интегральной суммы (3) : limn →∞ ∑dT → 0i =1Определение 3.

Определенный интеграл.Определенным интегралом от функции y = f(x) на отрезке [a; b] называется пределинтегральной суммы (3) при n →∞ и dТ →0 в предположении, что этот предел существуети не зависит от разбиения Т отрезка [a; b], т.е. от выбора точек x1 ,..., xn −1 и ξi , чтозаписывается так:blim ∑ f (ξ i ) ⋅ ∆xi = ∫ f ( x)dxn →∞d →0i(4)aОпределение 4. Интегрируемая функция.Если у функции y = f(x), определенной на отрезке [a; b], существует определенныйинтеграл, то она называется интегрируемой на отрезке [a; b].3. Теорема существования определенного интеграла.Напомним, что функция называется кусочно-непрерывной на [a; b], если этототрезок можно разбить на конечное число частей, на каждой из которых функциянепрерывна. Теорема существования формулируется так:Если функция y = f(x) ограничена и кусочно-непрерывна на [a; b], то онаинтегрируема на этом отрезке.Следствие.Интегрируемость непрерывной функции является частным случаем этой теоремы.Приведем пример неинтегрируемой на отрезке [a; b] функции.Пример:Рассмотрим функцию Дирихле0, x − иррациональноеD ( x) = 1, х − рациональноеВыбираем произвольное разбиение отрезка [a; b].

В каждом ∆xi существует хотя бы однарациональная точка. Если ее брать за ξi , то интегральная сумма будет равна∑ ∆xi= b − a . Натех же ∆xi найдутся и иррациональные точки, тогда интегральная сумма, отвечающая данномувыбору ξi , будет равна нулю. В этом случае предел интегральной суммы не существует.4. Свойства определенного интеграла.b1. Если y = f(x) ≥ 0 и a < b, то∫ f ( x)dx = S > 0есть площадь криволинейной трапеции.aa2.∫ f ( x)dx = 0 , т.к. все ∆xi=0.ab3. ∫ dx = b − a , т.к. интегральная сумма имеет видa∑ ∆xi= ∆x0 + ∆x1 + ... + ∆xn −1 = b − a .Математический анализ,семестр 2, лекция 4,стр. 3 из 6b∫4.aaf ( x)dx = − ∫ f ( x)dx , т.к.

все ∆xi меняют знак, если разбиение отрезка начинать отbточки b.5. Свойство линейности определенного интеграла.bbbaaa∫ [c1 f1 ( x) + c2 f 2 ( x)]dx = c1 ∫ f1 ( x)dx +c2 ∫ f 2 ( x)dx , если функции y = f1(x) и y = f2(x) интегрируемы на[a; b].Доказательство:Составим интегральную сумму для функции g ( x) = c1 f1 ( x) + c2 f 2 ( x) :∑ g (ξi ) ⋅ ∆xi = ∑ [c1 f1 (ξi ) + c2 f 2 (ξi )] ⋅ ∆xi = c1 ∑ f1 (ξi ) ⋅ ∆xi +c2 ∑ f 2 (ξi ) ⋅ ∆xi .iiiiПереходя к пределу при n →∞ и dТ →0 в интегральных суммах, получим требуемое.6. Свойство аддитивности определенного интеграла.bЕсли c ∈ [ a; b ] , a < c < b , то∫acbacf ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .Доказательство:Для доказательства составим интегральную сумму∑для всего отрезка [a; b] иi∑',суммудобавив лишь новую точку деления с, если ее не было в суммеi∑.

Тогдаiвместо одного слагаемого в интегральной сумме появятся два новых; но т.к. каждоеслагаемое суммы стремится к нулю при n →∞, то если одна из интегральных сумм имеетпредел, то и другая имеет тот же предел, т.к. они отличаются друг от друга на бесконечномалую величину.7. Интегрирование неравенств.Если функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезкеbлюбого значения х из этого отрезка, то, следовательно,∫a[a; b] и f ( x) ≤ g ( x) дляbf ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx .aДоказательство:b∫ [ g ( x) − f ( x)] dx ≥ 0 , следовательно,Т.к.

f ( x) ≤ g ( x) , то g ( x) − f ( x) ≥ 0 , тогда по свойству 1abbaaпо свойству линейности ∫ g ( x)dx − ∫ f ( x)dx ≥ 0 ⇒bbaa∫ g ( x)dx ≥ ∫ f ( x)dx .Ч.т.д.8. Теорема об оценке определенного интеграла.Если функция y = f(x) непрерывна на [a; b], а M = max f ( x), m = min f ( x) , то[ a ;b ][ a ;b]bm(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a)(5)aДоказательство:Для непрерывной функции справедливо неравенство m ≤ f ( x) ≤ M , которое можнопроинтегрировать на отрезке [a; b]. При этом в силу свойства 7 неравенства сохраняются:bbbaaa∫ mdx ≤ ∫ f ( x)dx ≤∫ Mdx . Применяя свойства 3 и 5, получим требуемое неравенство.Математический анализ,семестр 2, лекция 4,стр.

4 из 69. Теорема о среднем для определенного интеграла.Если функция y = f(x) непрерывна на [a; b], то на этом отрезке найдется хотя быодна точка c О [a; b] такая чтоb∫ f ( x)dx = f (c)(b − a) ,(6)aт.е. определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования назначение подынтегральной функции в специальным образом выбранной внутреннейточке.Доказательство:Формулу (5) перепишемb∫ f ( x)dxm≤≤Mab−aПо свойству непрерывных на отрезке функций можно утверждать, что функцияy = f(x) примет все промежуточные значения от m до M, т.е. найдется такая точка c ∈ [a; b] ,чтоbf (c ) =∫ f ( x)dxab−a.Ч.т.д.Геометрически теорему можно интерпретироватьследующим образом: если функция f ( x) ≥ 0 на [a; b], топлощадькриволинейнойтрапеции,выражаемаяопределенным интегралом, равна площади прямоугольника,опирающегося на [a; b] со специально выбранной высотойf(c) – см. рисунок.Замечание о среднем значении (факультативно).Если рассмотретьинтегрируемую на [a; b] функциюy = f(x) и отрезокинтегрирования разбить на n равных частей, так что все △ xi =△ x =b−anи взять nравноотстоящих ординат yi , то средним значением функции на отрезке [a; b] можноназвать∑yiin=∑'yi∑ y ⋅ ∆xii(b − a ) ∆x=ib−a= yср.При n → ∞ и ∆х → 0 выражение слева будет средним значением функции y = f(x) на[a; b],bт.е.

f (c) = yср =∫ f ( x)dxab−a.10. Переменную интегрирования можно обозначать произвольно, т.е.b∫abbaaf ( x)dx = ∫ f ( z )dz = ∫ f (t )dt...Математический анализ,семестр 2, лекция 4,стр. 5 из 65. Интеграл с переменным верхним пределом.Рассмотрим непрерывную на [a; b] функцию y = f(x) и интеграл, в котором верхнийпредел изменяется, т.е.xФ( x) = ∫ f ( x)dx ,(7)aгде x О [a; b ] и каждому x отвечает определенноезначение Ф( x) , т.е.

интеграл (7) является функциейпеременного верхнего предела. Геометрически интеграл (7)можно представить в виде меняющейся площадикриволинейной трапеции (заштрихованная область нарисунке).Теорема (о непрерывности интеграла по верхнемупределу)Если функция y = f(x) – непрерывна на [a; b], то функция Ф (х), определеннаяинтегралом (7), непрерывна на[a; b].Доказательство:Запишем приращение функции Ф (х):x +∆x∆ Ф ( x ) = Ф ( х + ∆х ) − Ф ( х ) =∫axaf ( x)dx − ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx +axx +∆x∫ax +∆xf ( x)dx =∫f ( x)dx =x= (по теореме о среднем (свойство 9) = f (с) ⋅ ∆x(8)lim ∆Ф( x) = lim f (c) ⋅ ∆x = 0 , что и доказывает непрерывность функции Ф (х) на [a; b].∆x → 0∆x → 0Теорема о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом(или о существовании первообразной у непрерывной функции) *.* Формулировка теоремы приведена также в Лекции 1.xЕсли функция y = f(x) непрерывна на [a; b], то функция Ф( х) = ∫ f ( x)dx являетсяaпервообразной для y = f(x), т.е.

Ф ( x) = f ( x) или, другими словами, производная интегралас переменным верхним пределом по этому пределу равна подынтегральной функции.Доказательство:Запишем приращение функции Ф (х) используя формулу (8):∆Ф = f (c) ⋅ ∆x , c ∈ [ x; x + ∆x] , тогда при △ x → 0 c → x , т.е.'limx →0∆Ф( x)= lim f (c) = f ( x) .∆x →0∆xЧ.т.д.6. Формула Ньютона-Лейбница (основная теоремаинтегрального исчисления)Формула устанавливает связь между первообразной функции y = f(x) иопределенным интегралом от этой функции.Основная теорема интегрального исчисления.Если функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , тоМатематический анализ,семестр 2, лекция 4,стр.

6 из 6b∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)(9)aДоказательство:Согласно предыдущей теореме у непрерывной функции y = f(x) существуетxпервообразная Ф( х) = ∫ f ( x)dx и, согласно условию, первообразная F(x), отличающаяся от Фa(х) на константу:xФ( х) = ∫ f ( x)dx = F ( x) + C для ∀x ∈ [a, b]aaПри х = а∫ f ( x)dx = 0 = F (a) + C , т.е. C = − F (a) ,abПри x = b∫ f ( x)dx = F ( x)x =b+ C = F (b) − F (a ) , ч.т.д.aπПример:π∫ sin xdx = ( − cos x ) 0 = − cos π + cos 0 = 20.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций