lecture_10 (1019620)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ,семестр 2, лекция 10,стр. 1 из 4 Формула Грина.Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом покоординатам, вычисленному по замкнутому контуру γ, и двойным интегралом пообласти D, лежащей внутри этого контура.Теорема. Если в области D плоскости х0у определены функции P ( x, y ), Q( x, y ) непрерывные с непрерывными частными производными, то справедлива формулаГрина: ∂Q∂P ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫∫  ∂x − ∂y  dxdy ,Lгде интеграл по координатам вычисляется поDконтуру L, проходимому против часовой стрелки.Доказательство.Рассмотрим область D – простую по отношению к координатным осям (см.

рис.2.2.1).Границы области D обозначим:⌢y1 ( x) : AIB, y2 ( x) : AIIBТогда:y2bb∂P∂Pdxdydxdydx==∫∫D ∂y∫a y∫ ∂y∫a  P( x; y)1b=y1 ( x ) y2 ( x )= ∫ [ P ( x, y2 ) − P ( x, y1 )] dx =abb= ∫ [ P ( x, y2 ( x)) ] dx − ∫ [ P ( x, y1 ( x))] dx =aa∫∫= ∫ P ( x, y )dx − ∫ P ( x, y )dx = ∫ Q( x, y)dx == −∫ P( x, y)dx=P ( x, y )dx +P ( x, y )dx =AIIB⌢BIAAIIBAIBрис. 2.2.1LLАналогично:∂Q∫∫ ∂x dxdy = − ∫ Q( x, y )dy = ∫ Q( x, y)dy ⇒∫ P( x, y)dx + ∫ Q( x, y )dx =DLLLL ∂Q ∂P ∂P∂Q= − ∫∫−dxdy + ∫∫dxdy = ∫∫  dxdy∂y∂x∂x ∂y DDD Приизмененииобхода ∂Pформула∂Q ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + ∫ Qdy = ∫∫  ∂y − ∂x  dxdyLLLDрис. 2.2.2.Гринаприметвид:Математический анализ,семестр 2, лекция 10,стр.

2 из 4Эта формула остается справедливой для случая области D общего вида: и непростой, и не односвязной. При разбиении областей на простые (D1 и D2) отрезками [ AB ]и [ A1 B1 ] , [ A2 B2 ] получаем, что при обходе границ D1 и D2 эти отрезки проходят дважды впротивоположных направлениях и при суммировании интегралы по этим отрезкамуничтожаются.Пример (аналогично заданию № 4 из Типового Расчета):Вычислить интеграл непосредственно и по формуле Грина.22I =∫ − x ydx + xy dyLL : x2 + y2 = R2а ) по формуле Грина :P ( x, y ) = − x 2 yQ( x, y ) = xy 2∂Q∂P= y2 ;= −x2∂x∂y∂Q ∂P−= x2 + y2∂x ∂yR2πρ cos ϕ  x =ρ4I = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) dxdy =  y =ρ sin ϕ  = ∫∫ ρ 2 ρ d ρ dϕ = ∫ dϕ ∫ ρ 3 d ρ = 2π400D dxdy = ρ d ρ dϕ  Dб ) Непосредственно параметризацией кривойx = R cos t , dx = − R sin tdt , t ∈ [0, 2π ]y = R sin t  dy = R cos tdtR0=π2R4{2πJ=∫ −R02cos 2 t ⋅ R sin t ⋅ (− R sin tdt ) + R cos t ⋅ R 2 sin 2 t ⋅ R cos tdt =2π= 2 R 4 ∫ cos 2 t sin 2 tdt =0R4=⋅t42π02πR422π∫ sin20R4π−cos 4tdt = R 44 ∫02sin 4 t42π2tdt =R422π∫01 − cos 4tdt =2=003.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования(на плоскости).Рассмотрим в области D ∈ x0 y две фиксированные точки А и В. Пусть в Dопределены функции P ( x, y ) и Q( x, y ) - непрерывные, с непрерывными частнымиABпроизводными. Рассмотрим интеграл второго рода по B∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dyи выяснимAусловия, при которых он не зависит от формы пути из А в В, а зависит только отположения точек А и В.Теорема 1.BИнтеграл∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dyне зависит от формы пути из А в В тогда и толькоAтогда, когда интеграл по любому замкнутому контуру L ⊂ D и содержащему точки А и В,равен 0, т.е. ∫ Pdx + Qdy = 0 для любого контура L.LДоказательство:Возьмем два произвольных пути, соединяющих точки А и В, и лежащих в области D(см.

рис. 2.3.1):Математический анализ,семестр 2, лекция 10,стр. 3 из 4AIB и AIIB ⇒ ∫ = ∫ , т.е.III∫ Pdx + Qdy = ∫AIB∫AIBPdx + Qdy ⇒AIIB∫ Pdx + Qdy − ∫AIBPdx + Qdy = 0AIIBИзменим направление обхода второго интеграла, получим:Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy = 0 ⇒ ∫ Pdx + Qdy = 0 . Получим интегралBIIALпо замкнутому контуру, который равен 0, ч.т.д.рис. 2.3.1Возьмем произвольный замкнутый контур L A I B II A,проходящийчерезточкиАиВ.Посвойствуаддитивностиимеем:∫ = ∫ + ∫ ⇒ ∫ = − ∫ = ∫ . В силу произвольности выбора L следует независимостьLAIBAIIBAIBBIIAAIIBBинтеграла∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dyот формы пути из А в В.AТеорема 2.Если в области D определены две непрерывные функции P ( x, y ) ; Q( x, y ) снепрерывными частными производными и точки А и В – произвольные фиксированныеBточки в D, то интеграл ∫ P ( x, y ) dx + Q( x, y )dy не зависит от формы пути тогда и только тогда,Aкогда выражение P ( x, y )dx + Q( x, y ) dyесть полный дифференциал функции G ( x, y ) ,определенной в D, т.е.

P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = dG ( x, y ) , что равносильно тому∂G ( x, y )∂x∂G ( x, y )Q ( x, y ) =∂yP ( x, y ) =Теорема 3 (следствие из формулы Грина).Если в односвязной области D ⊂ x0 y определены непрерывные функции P ( x, y ) ;Q( x, y ) с непрерывными частными производными, и точки A, B ∈ D , то интеграл независит от формы пути интегрирования тогда и только тогда, когда∂P ∂Q=∂y ∂xПример:Показать, что интеграл не зависит от формы пути и вычислить егоB (2,3)∫( x + y )dx + ( x − y )dyA (0,1)∂P= 1;∂y∂QQ = x− y ⇒= 1;∂x∂P ∂Q=∂y ∂xP = x+ y ⇒Следовательно, выполняется условие теоремы 3.32∫ = ∫ + ∫ =∫ (− y )dy + ∫ ( x + 3)dx = −ABACBC102 3y2+1( x + 3)2рис. 2.3.222=40Математический анализ,семестр 2, лекция 10,стр. 4 из 4Приложение криволинейных интегралов.С помощью приложений криволинейных интегралов I-го рода можно измерятькоординаты центра масс линии L с переменной плотностью µ .µ ( x0 , y0 , z0 )∫ xµ ( x, y, z )dLx0 =µ ( x, y, z )dL∫массаy0 =∫ y µ dL) U = ∫ ( Fd L ) - циркуляция.A=∫(∫ z µ dL, z0 =MD Fd L = C ( L ) - вектор-функция, задающая дугу L.ABLВычисление площади поверхностис помощью двойного интегралаG : z = 6 − 2x + 3 yU : ( x 2 + y 2 )2 = 28 xy0 + 2π k < 2ϕ ≤ π + 2π kπk ≤ϕ ≤π 2+πkx2 + y 2 = ρ 2ρ 4 = 25ϕ cos ϕ sin ϕρ 2 = 25ϕ sin ϕ cos ϕ25ρ 2 = sin 2ϕ2sin 2ϕ ≥ 0ϕ=π; 2ϕ =π⇒ sin 2ϕ = 1422ππ⇒ρ=ρ2 =42 ∂z   ∂z S = ∫∫ l    dxdy ∂x   ∂y DD – проекция поверхности l на плоскость X0YS = ∫∫ 1 + 4 + 9dxdy = 14 ∫∫ dxdy = 144 S = 4 14D= 4 14D25cos 2ϕ=−42π 4012π 4∫025 π 25 14=  − cos + cos0  =2 22=1 =025sin 2ϕ dϕ =2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций