lecture_11 (1019622)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ,семестр 2, лекция 11,стр. 1 из 4Поверхностные интегралы.1. Вычисление площади поверхности.Рассмотрим поверхность σ : z = z ( x, y ) (см. рис. 1.1).σ : а) однозначна;z ( x, y )обладаетнепрерывнойчастнойб)производной;в) проектируется в область D ∈ x0 y .Задача: S (σ ) = ?Разобьем о.о.ф. z ( x, y ) , область D , на куски ∆ i ⇒ на σбудет соответствующее разбиение ∆σ i .рис. 1.1В каждой ∆ i произвольно выберем M i ( xi , yi ) и Z ( M i ) → Pi .ВкаждойточкеPi : Pi ( xi , yi , zi ), zi = z ( xi , yi )проведемкасательную плоскость (см.

рис. 1.2). Найдем площадь того куска касательной плоскости,который проектируется (вместе с ∆σ i ) в ∆ i . Уравнение касательной плоскости в точке Piимеет вид:z − zi = z x′ ( xi , yi )( x − xi ) + z ′y ( xi , yi )( y − yi )А вектор nσ i = ( z x′ ( xi , yi ); z ′y ( xi , yi ); − 1) - векторнормали к поверхности в точке Pi . Через γ iобозначим угол между касательной плоскостьюи плоскостью x0 y . Он равен углу между ni иединичным вектором k оси 0 z ⊥ x0 y . Тогдаcos γ i =±11 + z ′ ( M i ) + z ′y2( M i )2xПлощадь куска касательной плоскостипримерно равна площади куска поверхности∆σ i , который проектируется в ∆ i . ТогдаS ( △σ i ) ≈рис.

1.2S (∆i ).cos γ iЭто равенство следует из прямоугольноготреугольника (см. рис. 1.3).Составим интегральную сумму:∑ S (△σ ) = ∑ii1 + z ′x2( M i ) + z ′y2( M i ) S (∆ i ) .iрис. 1.3Обозначимλ = max d (∆i ) → 0 ⇒ limλ →0∑( n →∞ ) i1 + z ′x2( M i ) + z ′y2( M i ) S (∆ i ) =1 + z ′ + z ′ dS = S (σ ) ,∫∫ 2xD2yгде dσ- элементdσповерхности σ , при условии, что предел существует и не зависит от разбиения.Математический анализ,семестр 2, лекция 11,стр.

2 из 4Пример:Вывести формулу для вычисления площади поверхности сферырадиуса R.Поверхность сферы задается уравнением σ : x 2 + y 2 = R 2 . Отсюдаσ+: z = R 2 − x 2 − y 2 , проекцией2полусферы на x0 y является область D , представляющая собой круг:уравнение верхней полусферы:рис. 1.4x 2 + y 2 ≤ R 2 (см. рис. 1.4).2x∂z−2 x==−2∂x 2 R 2 − x 2 − y 2R − x2 − y2x2 ∂z ⇒  = 2R − x2 − y2 ∂x 2 ∂z y2⇒  = 2R − x2 − y 2 ∂y ∂zy=−2∂yR − x2 − y2R2 − x2 − y2 + x2 + y2x2y2R2σ =S   = ∫∫ 1 + 2+dxdy=dxdy∫∫D∫∫D R 2 − x 2 − y 2 dxdy =R − x2 − y2 R2 − x2 − y 2R2 − x2 − y22 D= R ∫∫D2πdxdyR −(x + y222)R= R ∫ dϕ ∫00ρd ρR −ρ21 d (R2 − ρ 2 )= −π R2 ∫0 R 2 − ρ 2R2= −2π R(R2 − ρ 2)R⋅ 2 = 2π R 2 ; S (σ ) = 4π R 202.

Поверхностные интегралы II-го рода.1. Определение поверхностного интеграла II-го рода.Мерой фигуры σ (поверхности в пространстве) назовем ее площадь S (σ ) .Поверхность будем предполагать гладкой, т.е. в любой ее точке существует касательнаяплоскость к поверхности, непрерывно меняющаяся при переходе от точки к точке поповерхности. На σ зададим функцию f ( P ) , определенную в каждой точке Pi ∈ σ .Разобьем σ на произвольные части ∆1 ,..., ∆ n , на каждом из кусков поверхности ∆ iпроизвольно выберем точку Pi , вычислим значение функции в этих точках f ( Pi ) исоставим интегральную сумму следующего вида: ∑ f ( Pi ) S (∆ i ) .iОбозначим λ = max d (∆ i ) . Тогда предел, при условии, что он существует и не зависитiот разбиения, равныйlim ∑ f ( Pi ) S (∆ i ) = ∫∫ f ( P )dσλ →0in →∞- называется поверхностным интегралом от функцииDf ( P ) по площади поверхности σили интегралом II-го рода, где dσ- элементповерхности.Поверхностный интеграл II-го рода является частным случаем интеграла по фигуре.Следовательно, для него верны свойства: линейность, аддитивность, теорема об оценке,теорема о среднем, при f ( P ) = 1 равен S (σ ) .2.

Вычисление поверхностного интеграла.Пусть гладкая поверхность σ однозначно проектируется на какую-либокоординатную плоскость. Например, пусть σ задана уравнением z = z ( x, y ) ипроектируется в область D плоскости x0 y . Элемент поверхности dσ проектируется наплощадку dS области D , и если γ - угол между осью 0z и нормалью к σ , тоМатематический анализ,семестр 2, лекция 11,стр. 3 из 4dσ =dS= z ′x2 + z ′y2 + 1 dS иcos γ∫∫σ f(P)dσповерхностный интеграл= ∫∫ f ( x, y, z ( x, y ) ) 1 + z ′x2 + z ′y2dxdyDдвойной интеграл по области Dпо поверхности σЗамечание: поверхностный интеграл II-го рода применяется в теории поля (см.таблицу интегралов по фигуре).Пример:Вычислитьdσ∫∫σ (1 + x + z )2, где σ- поверхность треугольника, образованногопересечением плоскости x + y + z = 1 с координатными плоскостями (см.

рис. 2.2.1).z = 1 − x − y ⇒ z 'x = −1; z ' y = −1; d σ = 3dxdydσ∫∫σ (1 + x + z )2= ∫∫σ3dxdy(1 + x + 1 − x − y )211− x00= 3 ∫ dx ∫dy(2 − y)2=1− x11x1 1 1= 3∫  dx = 3 ∫  1 + x − 2  dx = 3 ln (1 + x ) − 2  =0 2 − y0001= 3  ln 2 − 21рис. 2.2.1Пример (аналог задаче №6 Типового Расчета):Вычислить площадь части поверхности σ , заключенную внутрицилиндрической поверхности Ц (см. рис. 2.2.2).σ : z = 4 + 2 x − y;Ц : ( x 2 + y 2 ) = 4 xy;2(ρ )2 2= 4 ρ cos ϕρ sin ϕ⇒ ρ 2 = 4 cos ϕ sin ϕ⇒ρ = 2 sin 2ϕ - уравнение направляющей цилиндра.рис. 2.2.2.Математический анализ,семестр 2, лекция 11,стр.

4 из 4 ∂zπ 2 ∂x = 2 14126σ==++=ddxdy ∫∫∫∫σ∫0 dϕ ∂z = −1 D ∂yπ 2= 6∫02sin 2ϕ dϕ = 6 ( − cos 2ϕ )π 202 sin 2ϕ∫π 2ρd ρ = 60= − 6 ( −1 − 1) = 2 6.∫0 ρ22 sin 2ϕ0dϕ =.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций