lecture_11 (1019622)

Файл №1019622 lecture_11 (Лекции по математическому анализу)lecture_11 (1019622)2017-07-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ,семестр 2, лекция 11,стр. 1 из 4Поверхностные интегралы.1. Вычисление площади поверхности.Рассмотрим поверхность σ : z = z ( x, y ) (см. рис. 1.1).σ : а) однозначна;z ( x, y )обладаетнепрерывнойчастнойб)производной;в) проектируется в область D ∈ x0 y .Задача: S (σ ) = ?Разобьем о.о.ф. z ( x, y ) , область D , на куски ∆ i ⇒ на σбудет соответствующее разбиение ∆σ i .рис. 1.1В каждой ∆ i произвольно выберем M i ( xi , yi ) и Z ( M i ) → Pi .ВкаждойточкеPi : Pi ( xi , yi , zi ), zi = z ( xi , yi )проведемкасательную плоскость (см.

рис. 1.2). Найдем площадь того куска касательной плоскости,который проектируется (вместе с ∆σ i ) в ∆ i . Уравнение касательной плоскости в точке Piимеет вид:z − zi = z x′ ( xi , yi )( x − xi ) + z ′y ( xi , yi )( y − yi )А вектор nσ i = ( z x′ ( xi , yi ); z ′y ( xi , yi ); − 1) - векторнормали к поверхности в точке Pi . Через γ iобозначим угол между касательной плоскостьюи плоскостью x0 y . Он равен углу между ni иединичным вектором k оси 0 z ⊥ x0 y . Тогдаcos γ i =±11 + z ′ ( M i ) + z ′y2( M i )2xПлощадь куска касательной плоскостипримерно равна площади куска поверхности∆σ i , который проектируется в ∆ i . ТогдаS ( △σ i ) ≈рис.

1.2S (∆i ).cos γ iЭто равенство следует из прямоугольноготреугольника (см. рис. 1.3).Составим интегральную сумму:∑ S (△σ ) = ∑ii1 + z ′x2( M i ) + z ′y2( M i ) S (∆ i ) .iрис. 1.3Обозначимλ = max d (∆i ) → 0 ⇒ limλ →0∑( n →∞ ) i1 + z ′x2( M i ) + z ′y2( M i ) S (∆ i ) =1 + z ′ + z ′ dS = S (σ ) ,∫∫ 2xD2yгде dσ- элементdσповерхности σ , при условии, что предел существует и не зависит от разбиения.Математический анализ,семестр 2, лекция 11,стр.

2 из 4Пример:Вывести формулу для вычисления площади поверхности сферырадиуса R.Поверхность сферы задается уравнением σ : x 2 + y 2 = R 2 . Отсюдаσ+: z = R 2 − x 2 − y 2 , проекцией2полусферы на x0 y является область D , представляющая собой круг:уравнение верхней полусферы:рис. 1.4x 2 + y 2 ≤ R 2 (см. рис. 1.4).2x∂z−2 x==−2∂x 2 R 2 − x 2 − y 2R − x2 − y2x2 ∂z ⇒  = 2R − x2 − y2 ∂x 2 ∂z y2⇒  = 2R − x2 − y 2 ∂y ∂zy=−2∂yR − x2 − y2R2 − x2 − y2 + x2 + y2x2y2R2σ =S   = ∫∫ 1 + 2+dxdy=dxdy∫∫D∫∫D R 2 − x 2 − y 2 dxdy =R − x2 − y2 R2 − x2 − y 2R2 − x2 − y22 D= R ∫∫D2πdxdyR −(x + y222)R= R ∫ dϕ ∫00ρd ρR −ρ21 d (R2 − ρ 2 )= −π R2 ∫0 R 2 − ρ 2R2= −2π R(R2 − ρ 2)R⋅ 2 = 2π R 2 ; S (σ ) = 4π R 202.

Поверхностные интегралы II-го рода.1. Определение поверхностного интеграла II-го рода.Мерой фигуры σ (поверхности в пространстве) назовем ее площадь S (σ ) .Поверхность будем предполагать гладкой, т.е. в любой ее точке существует касательнаяплоскость к поверхности, непрерывно меняющаяся при переходе от точки к точке поповерхности. На σ зададим функцию f ( P ) , определенную в каждой точке Pi ∈ σ .Разобьем σ на произвольные части ∆1 ,..., ∆ n , на каждом из кусков поверхности ∆ iпроизвольно выберем точку Pi , вычислим значение функции в этих точках f ( Pi ) исоставим интегральную сумму следующего вида: ∑ f ( Pi ) S (∆ i ) .iОбозначим λ = max d (∆ i ) . Тогда предел, при условии, что он существует и не зависитiот разбиения, равныйlim ∑ f ( Pi ) S (∆ i ) = ∫∫ f ( P )dσλ →0in →∞- называется поверхностным интегралом от функцииDf ( P ) по площади поверхности σили интегралом II-го рода, где dσ- элементповерхности.Поверхностный интеграл II-го рода является частным случаем интеграла по фигуре.Следовательно, для него верны свойства: линейность, аддитивность, теорема об оценке,теорема о среднем, при f ( P ) = 1 равен S (σ ) .2.

Вычисление поверхностного интеграла.Пусть гладкая поверхность σ однозначно проектируется на какую-либокоординатную плоскость. Например, пусть σ задана уравнением z = z ( x, y ) ипроектируется в область D плоскости x0 y . Элемент поверхности dσ проектируется наплощадку dS области D , и если γ - угол между осью 0z и нормалью к σ , тоМатематический анализ,семестр 2, лекция 11,стр. 3 из 4dσ =dS= z ′x2 + z ′y2 + 1 dS иcos γ∫∫σ f(P)dσповерхностный интеграл= ∫∫ f ( x, y, z ( x, y ) ) 1 + z ′x2 + z ′y2dxdyDдвойной интеграл по области Dпо поверхности σЗамечание: поверхностный интеграл II-го рода применяется в теории поля (см.таблицу интегралов по фигуре).Пример:Вычислитьdσ∫∫σ (1 + x + z )2, где σ- поверхность треугольника, образованногопересечением плоскости x + y + z = 1 с координатными плоскостями (см.

рис. 2.2.1).z = 1 − x − y ⇒ z 'x = −1; z ' y = −1; d σ = 3dxdydσ∫∫σ (1 + x + z )2= ∫∫σ3dxdy(1 + x + 1 − x − y )211− x00= 3 ∫ dx ∫dy(2 − y)2=1− x11x1 1 1= 3∫  dx = 3 ∫  1 + x − 2  dx = 3 ln (1 + x ) − 2  =0 2 − y0001= 3  ln 2 − 21рис. 2.2.1Пример (аналог задаче №6 Типового Расчета):Вычислить площадь части поверхности σ , заключенную внутрицилиндрической поверхности Ц (см. рис. 2.2.2).σ : z = 4 + 2 x − y;Ц : ( x 2 + y 2 ) = 4 xy;2(ρ )2 2= 4 ρ cos ϕρ sin ϕ⇒ ρ 2 = 4 cos ϕ sin ϕ⇒ρ = 2 sin 2ϕ - уравнение направляющей цилиндра.рис. 2.2.2.Математический анализ,семестр 2, лекция 11,стр.

4 из 4 ∂zπ 2 ∂x = 2 14126σ==++=ddxdy ∫∫∫∫σ∫0 dϕ ∂z = −1 D ∂yπ 2= 6∫02sin 2ϕ dϕ = 6 ( − cos 2ϕ )π 202 sin 2ϕ∫π 2ρd ρ = 60= − 6 ( −1 − 1) = 2 6.∫0 ρ22 sin 2ϕ0dϕ =.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
535,25 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее