lecture_01 (1019603)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ,семестр 2, лекция 1,стр. 1 из 5Неопределенный интеграл.1. Первообразная, неопределенный интеграл.Задачей дифференциального исчисления являлось нахождение производной илидифференциала данной функции. В интегральном исчислении решается обратнаязадача: по данной функции f(x) ищется такая функция F(x), чтобы F'(x) = f(x) или,dF = f(x)dx, т.е. другими словами, по данной производной или дифференциалу функциитребуется восстановить эту функцию.Примеры: Пусть f(x) = cosx.

Ясно, что эта функция есть производная от функции F(x) = sinx. Но вернымбудет и ответ F(x) = sinx + 3 или F(x) = sinx + c. Пусть f ( x) = x 2 − 1 . В этом случае сразу ответить на вопрос, чему равна F(x), непросто.Определение 1.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), определеннойна интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и F'(x) = f(x) или dF = f(x)dx.Замечание 1. Аналогично можно определить первообразную для функции,определенной на всей числовой оси или на полупрямой.Замечание 2. Существование первообразной для данной функции не означает, чтоэта первообразная выражается в конечном виде через элементарные функции. Так,например, для функции f ( x) = e− x , непрерывной на всей числовой прямой, существует22первообразная F(x), так что F '( x) = e- x , однако F(x) не может быть выражена комбинациейиз конечного числа элементарных функций.

Аналогично, это верно и для следующихфункций: f ( x) =sin x;xcos x;xex; sin x 2 ; cos x 2 .xИз приведенного выше примера ясно, что если F(x) является первообразной для f(x),то и функция F(x) + C, где C – произвольная постоянная, является первообразной для f(x).Как же связаны между собой первообразные для одной и той же функции f(x)? Ответ наэтот вопрос дает:Теорема о множестве первообразных.Если функция f(x) имеет в данном промежутке первообразную F(x), то всепервообразные заключены в выражении F(x)+С. Другими словами, любые двепервообразные данной функции отличаются друг от друга на константу.Доказательство:Пусть F(x) – первообразная для f(x), т.е.

F'(x) = f(x). Предположим, что существуетдругая первообразная F1(x) для f(x), т.е. F1'(x) = f(x). Тогда F1'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0 или[F1 (x) - F(x)]' = 0, следовательно, F1 (x) - F(x) = С, т.е. F1 (x) = F(x) + С.Определение 2.Пусть f(x) имеет в данном промежутке (a,b) первообразную F(x), так что F'(x) =f(x).Тогда F(x) + С является одним выражением для всех первообразных, и называетсянеопределенным интегралом от данной функции f(x), что обозначается∫ f ( x)dx = F ( x) + CТ.к.

действие интегрирования обратно по отношению к дифференцированию, топравильность интегрирования проверяется дифференцированием!Математический анализ,семестр 2, лекция 1,стр. 2 из 52. Свойства неопределенного интеграла.Прежде чем перейти к основным свойствам неопределенного интеграла, отметим(пока без доказательства) теорему о существовании первообразной, а, следовательно, инеопределенного интеграла у непрерывной функции.Теорема о существовании первообразной и неопределенного интеграла унепрерывной функции.Если функция f ( x) ∈ C (a, b) , то на ( a , b ) существует первообразная F(x) для даннойфункции и неопределенный интеграл.Из определения 2 вытекают следующие 2 свойства:Свойство 1.Тот факт, что F'(x) = f(x) можно переписать в виде ( ∫ f ( x)dx) ' = f ( x) или вдифференциалах из условия, что dF = fdx, следует, что d ( ∫ f ( x)dx) = f ( x)dx , т.е.

производнаяот неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, или дифференциал отинтеграла равен подынтегральному выражению.Свойство 2.∫ f ( x)dx = ∫ F '( x)dx = ∫ dF ( x) = F ( x) + C , т.е. интеграл от дифференциала функции равенэтой функции плюс постоянная.Эти два свойства означают, что стоящие рядом знаки∫и d взаимно «сокращаются»(в последнем случае следует лишь добавить const).Свойство 3 (свойство линейности неопределенного интеграла).Этосвойство∫ ( c1 f1 ( x) + c2 f 2 ( x) ) dx = c1 ∫ f1 ( x)dx + c2 ∫ f 2 ( x)dx .проверяетсядифференцированием левой и правой части равенства с использованием свойствлинейности дифференцирования.3. Таблица основных интегралов.Эта таблица получена как результат обращения таблицы производных основныхэлементов функций.1.∫x2.∫3.∫4.∫5.∫ sin6.∫ cos7.∫ s inαdx =x α +1+ c ,α ≠ − 1 ;α +1∫1dx = 2xx + c ;dx∫x1dx= ln x + c ; ∫dx = ln x ± a + c ;xx ± ae axax+ c ; ∫ e x dx = e x + c ; ∫ e α x dx =+ ca x dx =ln aαsin α xcos xdx = sin x + c ; ∫ cos α xdx =+ cαxdx = − cos x + c ;dx2xdx2x= tg x + c= − c tg x + c∫ sinα xdx = −cos α xα+ c21=− +cxМатематический анализ,семестр 2, лекция 1,стр.

3 из 58.dx∫a− x22= a rc s inxx+ c = − a rc c o s+ caadx1x1x9. ∫ 2=arctg+ c = −arcctg+ c2a + xaaaadx10. ∫x 2 ± a 2 + c , «длинный логарифм»= ln x +22x ± a11. ∫ 2 dx 2 = 1 ln x − a + c , «высокий логарифм»x − a2ax + a12.∫ s h xd x13.∫ chxdxdx∫ ch x14.2= ch x + c= shx + c= thx + cdx= − cth + csh 2 x15.∫16.∫ s in17.∫dxx= ln t gx+ c2πdxx= ln t g ( ++ ccos x24Пример:∫ (5 +2 x)2 dx =∫ (25 +20 x + 4 x 2 )dx = 25 x + 10 x 2 +4 x3+ c34. Методы интегрирования.1. Интегрирование подстановкой.Пусть функция x = j (t ) непрерывна и дифференцируема на некотором интервале, афункция f(x) имеет первообразную F(x), т.е.имеет первообразную F [ϕ (t )] , т.е.:∫ f ( x)dx = F ( x) + C , тогда функция f [ϕ (t )]ϕ '(t )∫ f [ϕ (t )]ϕ '(t )dt = F [ϕ (t )] + C(1)Доказательствоформулы(1)дифференцирования сложной функции:непосредственноследуетddd[ F (ϕ (t ))] = ⋅ F (ϕ (t )) ⋅ ⋅ ϕ (t ) = f [ϕ (t )] ⋅ ϕ '(t ) , т.е.

функция f [ϕ (t )] ⋅ ϕ '(t )dtdxdtпервообразной функцию F (ϕ (t )) , что и доказывает формулу (1).изправилаимеетсвоейПример: x= t 115  1cos5xdx= = ∫ cos tdt = sin t + C = sin 5 x + C∫55 dx = dt 5  5Часто бывает целесообразно применять подстановку в виде t = y ( x) , где y ( x) дифференцируемая функция и f ( x) = g [ψ ( x)]ψ '( x) , причем функция g(t) легкоинтегрируется,т.е.∫ f ( x)dx = G [ψ ( x)] + C .интеграл∫ g (t )dt = G(t ) + Cлегковычисляется.ТогдаМатематический анализ,семестр 2, лекция 1,стр. 4 из 5∫Пример: t= x dxdt2tdt=  x = t2  = ∫= 2∫= 2 ln t + 1 + C = 2 lnt (t + 1)t +1x (1 + x ) =2dxtdtx +1 + C2.

Подведение под дифференциал.Непосредственно с методом подстановки связан прием, называемый подведениемфункции под дифференциал. Этот метод следует из формулы (1)∫ f [ϕ (t )]ϕ '(t )dt = ∫ f [ϕ (t )]dϕ (t ) = ∫ f (u)du , который вычисляется.Пример:2 19902 199021990∫ 2(1 + х ) ⋅ х ⋅ dx = ∫ (1 + x ) d ( x + 1) = ∫ u du =u1991(1 + x 2 )1991+C =+C199119913. Использование свойства линейности интеграла.Пример:2x2121 1∫  x + x  dx = ∫  x + x + x 2 dx = 2 + 4 x − x + C3. Интегрирование по частям.Рассмотрим дифференцируемые функции u(x) и v(x), тогда справедлива следующаяформула:(2)∫ u ( x)dv( x) = u ( x)v( x) − ∫ v( x)du ( x) ,называемая формулой интегрирования по частям.

Формулу (2) можно записать и подругому:(2’)∫ u ( x)v '( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ v( x)u '( x)dxДокажем формулу (2). Для этого найдем дифференциал произведения u ( x)v( x) :d (u ( x)v( x)) = v( x)du ( x) + u ( x)dv( x)Проинтегрируем полученное равенство:∫ d (uv) = ∫ vdu + ∫ udv или uv = ∫ vdu + ∫ udv или ∫ udv = uv − ∫ vdu .ч.т.д.Эта формула сводит вычисление интеграла∫ udvк вычислению интегралат vdu ,который в ряде случаев вычисляется проще, чем первый. С помощью формулы (2)вычисляются интегралы, содержащие произведения функций: arcsin x  sin x xPn ( x) ⋅  ; Pn ( x) ⋅ e ; Pn ( x) ⋅ arccos x  и т.п.cos x  arctgx Примеры: u = xdu = dx 1) ∫ x ⋅ cos xdx =  = x ⋅ sin x − ∫ sin xdx = x ⋅ sin x + cos x + Ccos xdx = dv v = sin x Математический анализ,семестр 2, лекция 1,стр. 5 из 5du = α eα x dx αxe=uαeα xJ = ∫ eα x sin β xdx = cos β x + ∫ eα x cos β xdx =cos β x  = −ββsin β xdx = dv v = −β du = α eα x dx αxeα xα  eα xα e =ucos β x + sin β x − ∫ eα x sin β xdx  =2) = sin β x  = −ββββcos β xdx = dv v = βeα xα2= 2 (α sin β x − β cos β x ) − 2 ⋅ Jββαxe(α sin β x − β cos β x) + C .α + β2В примере 2 после повторного применения формулы (2) получается исходный интеграл снекоторым коэффициентом.

Из полученного относительно J уравнения находим исходныйинтеграл. Подобным образом считаются интегралы ∫ eα x cos β xdx; ∫ sin(ln x)dx; ∫ cos(ln x)dx иОтсюда J =2другие.3) Примером на повторное применение формулы интегрирования по частям и возвращением кисходному интегралу может служить часто встречающийся интеграл∫x 2 + a 2 dx , которыйможно в дальнейшем отнести к табличным:xdx x 2 dx(x2 + a2 ) − a2 x 2 + a 2 = u du =222222  = x x2 + a2 −x+adx==xx+a−x +a ∫∫ x2 + a2∫ x 2 + a 2 dx = dx = duv=x= x x 2 + a 2 − ∫ x 2 + a 2 dx + a 2 ln x + x 2 + a 2∫x 2 + a 2 dx =⇒x 2a2x + a 2 + ln x + x 2 + a 2 + C22.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций