lecture_06 (1019612)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ,семестр 2, лекция 6стр. 1 из 44. Длина дуги кривой.Пространственная кривая L задается векторной функцией r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k илитремя скалярными уравнениями: x(t ), y (t ), z (t ), t ∈ [t1 , t2 ] . Если эти три функциинепрерывны на [t1 , t2 ] , то кривая L называется непрерывной. Если, кроме того, функцииобладают непрерывными производными на [t1 , t2 ] , то кривая L называется гладкой.Рассмотрим гладкую кривую L, заданную параметрически: x = x(t ) , где t ∈ [t1 , t2 ] и значению t1 отвечает точка А – начало кривой L, а t2 – точка B – y = y (t ) конец кривой L. z = z (t )Разобьем кривую L на n частей точками M 0 = A, M 1 ,..., M n = B , точки M i последовательносоединим ломанной, которая будет вписана в кривую L. Длиной кривой L назовемпредел периметра вписанной ломанной при неограниченном измельчении ее звеньев, асаму кривую L – спрямляемой.

Вычислим периметр ломанной M 0 , M 1 ,..., M n ; если каждойточке деления M i отвечает значение параметра ti , то длина звена ломанной M i M i +1определяется по теореме ПифагораM i M i +1 = △ xi2 +△ yi2 +△ zi2 , где△ xi = x(tin ) − x(ti ) = x′(ti′)△t ,△ yi = y (tin ) − y (ti ) = y ′(ti′′)△t , а △ti = ti +1 − ti△ xi = z (tin ) − z (ti ) = z ′(ti′′′)△t ,тогда длина ломанной будет равнаn −1∑MMii +1i =0При измельчении ломанной, т.е. при n → ∞ и △ti → 0 получим, что длина кривой L равнаL = lim ∑ M i M i +1 = lim ∑ △ x 2 +△ y 2 +△ z 2 = ( по т.Лагранжа ) =n →∞n →∞ii(6)t2= lim ∑ x′ (ti′) + y ′ (ti′′) + z ′ (ti′′′) △ti = ∫ xt′ (t ) + yt′ (t ) + zt′ (t ) dt.2n →∞222i22t1В частном случае плоской кривой в формуле (6) будет лишь отсутствовать третьякоордината.Пример.Вычислить длину дуги астроиды3 x = a cos tt ∈ [0, 2π ]3 y = a sin tπ 2L=4∫0π 2a 2 9 cos 4 t sin 2 t + a 2 9 sin 4 t cos 2 tdt = 12a ∫ sin t cos tdt = 6a sin 2 tπ 20= 6a .0В случае если дуга плоской кривой задана явно: y = f ( x), x ∈ [a, b] , то длина звенавписанной ломанной определяется:2 △yi 222M i M i +1 = △xi + △yi = 1 +  △xi = ( по т.Лагранжа ) = 1 + [ f ′(ξ i )] △xi , ξi ∈ xi △xi b2′Тогда L = lim ∑ M i M i +1 = lim ∑ 1 + [ f (ξi ) ] △ xi = ∫ 1 + f ′2 ( x)dxn →∞in →∞ia(7)Математический анализ,семестр 2, лекция 6стр.

2 из 4Пример:Вычислить длину дуги полукубической параболы y = x 3 2 от точки А(0, 0) до точки В(4, 8)y′ =3 129x ; 1 + y ′2 = 1 + x24349x1 + dx =4L=∫044  9x 2 21 + 94  3=0()810 10 − 127Если дуга плоской кривой задана в полярных координатах ρ = ρ (ϕ ), α ≤ ϕ ≤ β , то,переходя к декартовым координатам, получим: x(ϕ ) = ρ (ϕ )cos ϕи подкоренное выражение в формуле (6) принимает вид: y (ϕ ) = ρ (ϕ )sin ϕxϕ′2 + yϕ′2 = ( ρ ′ cos ϕ − ρ sin ϕ ) + ( ρ ′ sin ϕ − ρ cos ϕ ) = ρ ′2 cos 2 ϕ + ρ 2 sin 2 ϕ + ρ ′2 sin 2 ϕ + ρ 2 cos 2 ϕ = ρ 2 + ρ ′222и формула длины дуги приобретает вид:βL = ∫ ρ 2 + ρ ′2 d ϕ(8)αПример:Кардиоида ρ (ϕ ) = a(1 + cos ϕ )ρ 2 = a 2 (1 + 2 cos ϕ + cos 2 ϕ ) ; ρ ′2 = a 2 sin 2 ϕπL = 2∫ 2a cos0ϕ2dϕ = 8a sinϕ2π0= 8aЗамечание: Рассмотрим дугу переменной длиныtL=AM = ∫ xt′2 + yt′2 + zt′2 dt , тогдаt1dL= xt′2 + yt′2 + zt′2 илиdtdL = xt′2 + yt′2 + zt′2 dt 2dL = 1 + f ′ ( x)dx(9)dL = ρ 2 (ϕ ) + ρ ′2 (ϕ )dϕ Выражение dL ,определяемое одной из функций (9) называется дифференциаломдуги.5.

Объем тела по известной площади поперечного сечения.Пусть пространственное тело заключено междудвумя плоскостями x = a и x = b и в каждой точкеx ∈ [ a , b]известна площадьg ( x)сечения телаплоскостью первой оси OX . Предположим, чтофункция S ( x) непрерывна по х. Вычислим объем этоготела. Разобьем отрезок [a, b] на n частей △ xi и черезточки деления проведем плоскости x = xi . Получимслои с известными площадями оснований и высотами,△ xi .Объем каждого из слоев △Viравнымиприближенно можно считать равным объемуцилиндрического слоя:Математический анализ,семестр 2, лекция 6стр. 3 из 4△Vi ≈ S ( xi )△ xiТогдаобъемвсеготелаV = ∑ Vi ≈ ∑ S ( xi )△ xiiэтоинтегральнаясуммаприib = max ( △ xi ) → 0 и n → 0 приведет к интегралуbV = ∫ S ( x) dx(10)a6.

Объем тела вращения.В частном случае, когда исследуемое тело является телом вращения, площадькаждого поперечного сечения есть круг. И если поверхность тела образована вращениемдуги кривой y = f ( x), x ∈ [a, b] , то S ( x) = π f 2 ( x) и формула (10) примет вид:bV = π ∫ f 2 ( x)dx(11)aПримеры:1.

Найти объем, полученный от вращения синусоиды y = sin x, x ∈ [0, π ] вокруг оси OX .πV = π ∫ sin 2 xdx =0π22.x2 y 2 z 2++= 1.a 2 b2 c2Площадь эллипса = π ab . Вычислим площадь сечения эллипсоидаплоскостью x = const , т.е. площадь эллипса с полуосями bx и cx .2. Найти объем эллипсоидаПолагая z = 0 и x = const , получим: bx = b 1 −Полагая y = 0 и x = const , найдем cx = c 1 − x3Площадь сечения S ( x) = π bx cx = π bc  1 − 2 aa x2 x3 V = 2∫ π bc  1 − 2  dx = 2π bc  x − 2 3a  a 0ax2.a2x2.a2 , тогда= 4π abc .07. Площадь поверхности вращения.Дугазаданная непрерывной с непрерывнойпроизводнойфункциейy = f ( x), x ∈ [a, b] ,вращается,например, вокруг оси OX . Требуется определить площадьполученной поверхности вращения. Разобьем [a, b] на nчастей, получим отрезки △ xi , в точках деления восстановимперпендикуляры до пересечения с дугой.

Точки пересеченияM i соединим ломанной. Звено ломанной при вращенииописывает поверхность усеченного конуса с площадьюAB ,S=p+Pl , где2p, P- периметры окружностей, l - длинаобразующей. В данном случае2π ( yi + yi +1 )2π ( yi + yi +1 )22Si =2△ xi +△ yi =21 + f ′2 (ξ i ) △ xi ; выражениефункции f ( x) в некоторой точке ξi ∈△ xi , тогдаyi + yi +1есть значение2Математический анализ,семестр 2, лекция 6стр.

4 из 4( )Si = 2π f (ξi ) 1 + f ′2 ξi △ xiЗа площадь поверхности вращения примем предел этой интегральной суммы приd = max(△ xi ) → 0, n → ∞ :ibS = 2π ∫ y 1 + y ′2 dx или(12)at2S = 2π ∫ y (t ) xt′2 + yt′2 dt .t1Пример:Вычислить площадь шарового пояса, полученного при вращении вокруг оси OXокрестности x 2 + y 2 = 4 , лежащей между точками с абсциссами x = −1 и x = 1y = 4 − x2 ; y′ =−x4 − x2+1S = 2π ∫ 4 − x 2 1 +−1;x2dx = 8π .4 − x2дуги.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций