lecture_13 (1019626)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ,семестр 2, лекция 13,стр. 1 из 54. Дифференциальные характеристики 2-го порядка.Пусть ϕ ( M ) = ϕ ( x; y; z ) имеет непрерывные частные производные 2-го порядка.∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ∂2∂2∂2Построим функцию∆ϕ = 2 + 2 + 2 . Оператор∆= 2 + 2 + 2называется∂x∂y∂z∂x∂y∂zдифференциальным оператором Лапласа.Связь операторов ∆ и ∇ :∆ = ∇22 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂2 ∂2 ∂2∆ = ∇2 =  ⋅ i + ⋅ j + ⋅ k  = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + +- скалярный квадрат∂y∂z  ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x∆ϕ = ∇ 2ϕ = ∇ ( ∇ϕ ) = ∇ grad ϕ = div grad ϕ()()Итак,дифференциальные характеристики 1-го порядка:1) div a = ∇ ⋅ a ;()2) rot a = ∇ ⋅ a  ;3) grad ϕ = ∇ϕДифференциальные характеристики 2-го порядка:1) div grad ϕ = ∇ ( ∇ϕ ) = ∆ϕ ;2) rot grad ϕ = [∇ ⋅ ∇ϕ ] = 0 ;3) grad div a = ∇∇ a ; 4) div rot a = ∇ ∇ ⋅ a  = 0 ; 5) rot rot a = ∇ ⋅ ∇ ⋅ a  5.

Механический смысл вектора ротора.Пусть a ( M ) - поле скоростей точек движущегосятвердого тела. Следовательно, в любой момент времени t a ( M ) = υ0 + ω ⋅ r  ,где υ0 = υ x ⋅ i + υ y ⋅ j + υ z ⋅ k- скорость поступательногодвижения тела в момент времени t, одинаковая длявсех точек тела;ω - угловая скорость тела, равная ω = 0 ⋅ i + 0 ⋅ j + ω ⋅ k ;r = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k - радиус-вектор точек тела.Если вращение происходит вокруг оси 0z (см. рис.n.5.1), то ω = ω ⋅ k , где ω - величина (модуль) угловойскорости и a ( M ) = (υ x − ω ⋅ y ) ⋅ i + (υ y + ω ⋅ x ) ⋅ j + υ z ⋅ k , т.к. i j k ω ⋅ r  = 0 0 ω = i ⋅ ( −ω y ) − j ⋅ ( −ω x ) + k ⋅ 0 = −i ⋅ ω y + j ⋅ ω x .x y zТогдарис. 3.5.1Математический анализ,семестр 2, лекция 13,стр.

2 из 5ijk∂∂∂  ∂υ z ∂ (υ y + ω x )   ∂υ z ∂ (υ x − ω y )   ∂ (υ y + ω x ) ∂ (υ x − ω y ) rot a == i ⋅−−− − j ⋅= + k ⋅yzxzxy∂x∂y∂z∂∂∂∂∂∂   constconstconst constconst constυx − ω y υ y + ω x υzrot a ( M ) = 2ω= k (ω + ω ) = 2ω k ⇒Поток векторного поля.1. Определение потока векторного поля.1.

Поверхностный интеграл II-го рода.Поверхность σ называется двусторонней, если для любой точки М и любогоконтура С, проходящего через М и не пересекающего границы σ , после его обхода мывозвратимся в М с исходным направлением нормали. Примеры двустороннейповерхности: сфера, куб, плоскость.Поверхность σ - односторонняя, если существует хотя бы один замкнутый контур,обходя который мы вернемся в исходную точку с противоположным направлениемнормали.Рассмотрим двустороннюю поверхность σ . Выберем одну сторону S + . Пустьфункция F ( x; y; z ) определена в точках этой поверхности, следовательно пределnlimn →∞max d k → 0∑ F ( x ;y ; zkkk) ⋅ ∆S k ( x ; y ) = I ,k =1где ∆S k ( x; y ) - площадь проекции элемента поверхности на плоскость х0у, называетсяповерхностным интегралом II-го рода и обозначаетсяI = ∫∫ F ( x; y; z )dxdyσ+2.

Определение потока векторного поля.Если P ( x; y; z ), Q( x; y; z ), R( x; y; z ) - непрерывны и σ + - сторона гладкой поверхности,характеризуемая направлением нормали n ( cos α ,cos β ,cos γ ) , то поверхностный интегралII-города Pdxdy+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dσ=a∫∫∫∫∫∫ ⋅ n dσσ+σ+σ+( )называетсяпотоком векторного поля a = P ⋅ i + Q ⋅ j + R ⋅ k через поверхность σ в сторону нормалиn ( cos α ,cos β ,cos γ ) .3. Физический смысл потока векторного поля.Пусть векторное поле a есть поле скоростей стационарного потока несжимаемойжидкости (скорость потока в любой точке постоянна и не зависитот времени).

Внутрь потока поместим проницаемую поверхностьσ и определим количество жидкости, протекающей через σ заединицу времени.Рассмотрим вначале случай, когда a = const , а площадка ∆σплоская.рис. 1.3.1Математический анализ,семестр 2, лекция 13,стр. 3 из 5Тогда количество жидкости равно объему наклонного параллелепипеда с высотой h = npn a = a ⋅ n , т.е. h ⋅ ∆σ = a ⋅ n ∆σ , где n - единичный вектор нормали к σ (см. рис.( )( )1.3.1).Потоком постоянного векторного поля a через плоскую площадку ∆σ с нормальюn назовем: π = a ⋅ n ⋅ ∆σ( )(1)Модуль этой величины равен количеству жидкости, протекающей через ∆σ заединицу времени.Рассмотрим теперь произвольное поле a ( M ) и любую двустороннюю поверхностьσ.Выберем направление нормали к σ и разобьем ее произвольно на части ∆σ i снормалями n( M i ) . Считая приближенно площадки ∆σ i плоскими, а поле в пределах этоймалой площадки неизменным, поток через∆σ iбудем считать равным∆π i ≈ a ( M i ) ⋅ n( M i ) ⋅ ∆σ i .

Тогда поток через всю поверхность σ равен:π = ∑ ∆π i ≈ ∑ a( M i ) ⋅ n( M i ) ⋅ ∆σ i .()()Переходя к пределу при λ = max d (∆σ i ) → 0 получим точное значение потока:()π = lima ( M i ) ⋅ n( M i ) ⋅ ∆σ i = ∫∫ a ( M ) ⋅ n( M )dσn →∞ ∑λ →0i(2)σПоток обладает свойствами линейности,направления нормали к поверхности меняет знак.аддитивности,приизменении2. Вычисление потока.Повторим определение потока векторного поля: π = ∫∫ a ( M ) ⋅ n( M )dσσ1. Первый способ.Вычисление потока можно производить методом проектирования поверхности σ накакую-либо координатную плоскость. Так, например, если σ однозначно проектируетсяна плоскость х0у, то dσ =dxdy, n = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k .cos γ2.

Второй способ.Если σ проектируется на все три координатные плоскости однозначно, то потокможно вычислить по формуле: π = ∫∫ a ⋅ ndσ = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) dσ = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =σσσ= ∫∫ P ( x( y, z ), y , z ) dydz + ∫∫ Q ( x, y ( x, z ), z ) dzdx + ∫∫ R ( x, y, z ( x, y ) ) dxdyσ yzσσxzyxпроекции на соответствующие координатные плоскостиМатематический анализ,семестр 2, лекция 13,стр. 4 из 5Пример:Найтипотоквекторногоa = ( x − 2 z ) ⋅ i + ( 3z − 4 x ) ⋅ j + ( 5 x + y ) ⋅ kчерезполяповерхностьтреугольникасвершинамивточкахA(1;0;0), B (0;1; 0), C (0;0;1)(см.рис.2.1.1).Нормальпредполагается направленной от начала координат.1) Первый способ:Уравнение плоскости треугольника: x + y + z = 1 − 0 .Нормаль к поверхности вектор n имеет координаты (1;1;1) .Единичная нормаль: (1;1;1)n i+ j+k1; =⇒ cos γ =1+1+133n ( a ⋅ n ) = ( x − 2 z + 3z − 4 x + 5 x + y ) ⋅ ( )π = ∫∫ a ⋅ n dσ =σ13рис.

2.1.1;⋅ 3dxdy = ∫∫  2 x + y + 1 − x − y  dxdy =3 σ x,y x , y dxdyz dσ =∫∫ ( 2 x + y + z ) ⋅σ1cos γa⋅n1− xx3 = ∫ dx ∫ (1 + x ) dy = ∫ (1 − x )(1 + x ) dx = ∫ (1 − x 2 ) dx =  x − 300002) Второй способ:1111= 1−01 2=3 3π = ∫∫ ( x − 2 z ) dydz + (3z − 4 x )dxdz + (5 x + y )dxdy = ∫∫ ( x − 2 z )dydz + ∫∫ (3z − 4 x)dxdz + ∫∫ (5 x + y )dxdy =σσ yzσ xz= ∫∫ 1 − z − y − 2 z  dydz + ∫∫ (3 z − 4 x)dxdz + ∫∫ (5 x + y )dxdy = ∫ dy0σ yz σ xzσ yxx111− x1σ yx1− y11− x00∫ (1 − y − 3z ) dz + ∫ dx ∫ ( 3z − 4 x ) dy +011312223+ ∫ dx ∫ ( 5 x + y ) dy = ∫ (1 − y )(1 − y ) − (1 − y ) dy + ∫  (1 − x ) − 4 x (1 − x ) dx + ∫ 5 x (1 − x ) + (1 − x ) dx ⇔22000 20 01⇔3∫ (1 − y )(1 − y ) − 2 (1 − y )01121123dy = ∫ − 2 (1 − y ) dy = 6 (1 − y )0101=− ;613 2233 11 3 7 2 3 2∫0  2 (1 − x ) − 4 x (1 − x )dx = ∫0  2 − 3x + 2 x − 4 x + 4 x dx =  6 x − 2 x + 2 x 1x x 3 322dx = ∫  5 x − 5 x + 2 − x + 2 dx =  − 2 x + 2 x + 2 001  12⇔ − +  −  +1 =6  6311∫ 5 x (1 − x ) + 2 (1 − x )122101=− ;61=1 ⇔03.

Теорема Остроградского – Гаусса.Если поверхность σ - замкнутая, ограничивающая некоторый объем V, то потокполя a через σ в направлении внешней нормали равен: π =a⋅ndσ=divadV(3)∫∫∫∫∫σVили в координатной форме:Математический анализ,семестр 2, лекция 13,стр. 5 из 5 ∂P ∂Q ∂P ++ dxdydz ∂x ∂y ∂z π =∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dσ = ∫∫∫ σVПример (аналогично задаче № 8 Типового Расчета:Вычислить поток векторного поля: a ( M ) = x ⋅ i + y ⋅ j + (1 − z ) ⋅ kчерез замкнутую поверхность конуса: x 2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ Hдвумя способами: а) непосредственно; б) по теоремеОстроградского – Гаусса.а) непосредственно.σ = σ1 + σ 2σ1 : z 2 = x2 + y 2 ; σ 2 : z = Hπ = π1 + π 2 2 xi + 2 y j − 2 zkzσ 1 : x + y − z ⇒ n1 =; cos γ 1 = −2222x +y +zx + y2 + z2 σ 2 : z = H ⇒ n2 = k ; cos γ 2 = 122рис.

3.12)(x2 + y 2 + ( x2 + y2 ) − x2 + y 2 x2 + y2 + z 2x2 + y2 − z + z 2π 1 = ∫∫ a ⋅ n1dσ 1 = ∫∫⋅dxdy = ∫∫dxdy =−zx2 + y2 + z 2x2 + y2σσσ1xy=∫∫2ρ 2 − ρρσ1xyρ d ρ dϕ = ∫∫ ( 2 ρ 2 − ρ )d ρ dϕ =⊕ π 2 = ∫∫ a ⋅ n2 dσ 2 =σ2πH 2ρ 3 ρ 2 222−=⋅−ϕρρρπdd()∫0 ∫02  3∫∫ (1 − z ) dxdy = ∫∫ (1 − H ) dxdy = (1 − H ) Sσ 2 xy⊕4133б) по теореме Остроградского – Гаусса. ∂P ∂Q ∂R++= 1 + 1 − 1 = 1;div a =∂x ∂y ∂zπ = π H3 − π H 2 + π H 2 −π H3 = π H31∫∫∫ 1dV = 3 SVоснπH31⋅ h = π=H2 ⋅ H3 R =H h= H3= (1 − H ) ⋅ π H ;2kpH0 2H 3 H 2 = 2π ⋅ −;2  3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций