lecture_02 (1019605)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализ,семестр 2, лекция 2стр. 1 из 5Интегрирование рациональных функций.1. Сведения из алгебры.1. Всякий многочлен степени nQn ( x) = x n + c1 x n −1 + c2 х n − 2 + ... + cn −1 x + cn(1)имеет ровно n корней, действительных и комплексных, с учетом их кратности.2. Если многочлен Q(x) с действительными коэффициентами имеет комплексныйкорень b = u + iv кратности β, то и сопряженное число b = u − iv является корнеммногочлена Q(x) кратности β.3. Всякий многочлен Q(x), имеющий действительные корни а1 , a2 ,..., ak кратностиα1 , α 2 ,...,α k и комплексные корни b1 , b1 , b2 , b2 , ... , br , br кратностей β1 , β 2 ,..., β r , может бытьпредставлен в виде:Q( x) = ( x − a1 )α1 ⋅ ( x − a2 )α 2 ⋅ … ⋅ ( x − ak )α k ⋅ ( x − b1 ) β1 ⋅ ( x − b1 ) β1 ⋅ … ⋅ ( x − br ) βr ⋅ ( x − br ) β rТ.к.

b ⋅ b = (u + iv)(u − iv) = u 2 + v 2 ; b + b = u + iv + u − iv = 2u ,( х − b)( x − b ) = х 2 − x(b + b ) + b ⋅ b = x 2 + px + q ( D < 0) , где p = −(b + b ) = −2u , q = b ⋅ b = u 2 + v 2 , то Q(x)можно окончательно записать:Q( x) = ( x − a1 )α ⋅ … ⋅ ( x − ak )α ⋅ ( x 2 + p1 x + q1 ) β ⋅ … ⋅ ( x 2 + pr x + qr ) β ,(2)1гдеkri =1i =1k1r∑α i + 2∑ βi = n - степень Q(x).4.

Всякий приведенный квадратный трехчлен x 2 + px + q с комплексными корнями,p2− q < 0 приводится к сумме квадратов, т.е.:4pp2p2pp2x 2 + px + q = ( x 2 + 2 ⋅ x + ) + q −= ( x + ) 2 + h 2 , где q −>0.24424т.е. с дискриминантом D =5. Всякий многочлен Q(x) будем называть целой рациональной функцией.Дробно-рациональной функциейназовем отношение двух многочленов- т.е.функцию вида:R ( x) =P ( x) x m + d1 x m −1 + … + d m −1 x + d m,= nQ( x)x + c1 x n −1 + … + cn −1 x + cnпричем дробно-рациональную функцию назовем правильной рациональной дробью,если m < n, и неправильной, если m ≥ n. Любую неправильную рациональную дробьможно представить в виде суммы целой функции и правильной дроби.

Это достигаетсяделением рационального числителя на знаменатель до тех пор, пока степень остатка нестанет меньше степени знаменателя.Пример:х5 + x 4 − 8х2 + 4х − 2R( x) = 3= x2 + x − 4 + 4 ⋅ 3x − 4xx − 4x6. Простейшими дробями назовем дроби следующих четырех типов:ААMx + NMx + N;;;х − а ( x − а )α x 2 + px + q ( x 2 + px + q) β, где x 2 + px + q имеет комплексные корни, а a , b №1 .Математический анализ,семестр 2, лекция 2стр. 2 из 57. Теорема о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейшихдробей.ВсякаяправильнаярациональнаядробьR ( x) =P ( x)Q( x)свещественнымикоэффициентами и знаменателем вида (2) представляется, и единственным образом, ввиде суммы простейших дробей:R ( x) =+Aα1BαkA1A2B1B2P ( x)=++…++… +++… ++α122( x − a1 )( x − ak )α kQ ( x) x − a1 ( x − a1 )x − ak ( x − ak )M β x + N β1Dβ x + EβrM 1 x + N1M x + N2D x + E1+ 2 2+… + 2 1+… + 2 1+… + 2 r2β1x + p1 x + q1 ( x + p1 x + q1 )x + pr x + qr( x + p1 x + q1 )( x + pr x + qr ) βr2Пример:AA23 x3 + 2 x 2 + x + 7Mx + NR( x) == 1 ++ 2x − 1 ( x − 1) 2( x − 1) 2 ( x 2 + 1)x +1Коэффициенты найдем, приведя правую часть к общему знаменателю и применяя методнеопределенных коэффициентов, т.е.

сравнивая числители полученных дробей и приравниваякоэффициенты при одинаковых степенях х:3x 3 + 2 x 2 + x + 7 = A1 ( x − 1)( x 2 + 1) + A2 ( x 2 + 1) + ( Mx + N )( x − 1) 2x3 :x2 :x1 :x0 :3 = A1 + M2 = − A1 + A2 − 2 M + N1 = A1 + M − 2 N7 = A2 − A1 + N1135⇒ A1 = ; A2 = ; M = ; N = 1.2222. Интегрирование рациональных функций.1. Интегрирование целых рациональных функций производится по таблицеинтегралов, т.е.:nn −1∫ Q( x)dx = ∫ ( x + c1 x + ... + cn−1 x + cn )dx =cx n +1xn+ c1 + ... + n −1 x 2 + cn x + Cn +1n22.

Интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированиюцелой рациональной функции и правильной дроби. Всякая же правильная дробьсогласно теореме представима в виде суммы простейших дробей, так что задача сводитсяк интегрированию простейших дробей. Рассмотрим интегрирование простейшихдробей:А∫ х − a dx = A ln x − a + C ;Пример:dxdx∫ 1 + x = −∫ x − 1 = − ln x − 1 + CA( x − a ) −α +1dx=A⋅+C ;∫ ( x − a)α1−αПример:dx1∫ ( x + 3)2 = − x + 3 + CМатематический анализ,семестр 2, лекция 2стр. 3 из 52N−pM d (2 x + p) MdxM∫ x 2 + px + q dx = 2 ∫ x 2 + px + q + 2 ⋅ N1 ∫ x 2 + px + q =d (x + p )d ( x 2 + px + q )∫ x 2 + px + q + N1 ∫ p 2 2 2 =(x +) +h22x+ pN122 + C , где h 2 = q − p , N = 2 N − parctgln x + px + q +14hhMMx + NM∫ x 2 + px + q dx = 2 =M2=M2(2 x + p ) +т.е. интегрирование дробей третьего типа сводится к выделению в числителевыражения, равного производной от знаменателя, т.е.

интегрирование всегдадает линейную комбинацию логарифма и арктангенса.Пример:1 (2 x + 2) + 412x + 21 d ( x 2 + 2 x + 5)x+3dxd ( x + 1)2dxdxdx==+=∫ x2 + 2 x + 5∫ ( x + 1)2 + 4 2 ∫ x 2 + 2 x + 5 + 2∫ ( x + 1)2 + 4 =2 ∫ x2 + 2 x + 52 ∫ x2 + 2 x + 5x +11= ln x 2 + 2 x + 5 + arctg+C22∫ (x2Mx + NM2x + pdxdx =dx + N1 ∫ββ2β∫+ px + q )2 ( x + px + q ) x + p + h2 2()Первый из интегралов – табличный, второйпреобразованиями может быть приведен к видуJβ = ∫1 ⋅ dtt 2 + 1βжеэлементарными,который мы и проинтегрируем.t =u(t 2 + 1) − t 2dtdtt ⋅ tdt=−=  tdtJβ = ∫ 2dt = ∫ 2==dv(t + 1) β ∫ (t 2 + 1) β(t + 1) β −1 ∫ (t 2 + 1) β  2β (t + 1)1tdt= J β −1 +−⋅ J β −1 , где J β −1 = ∫ 22( β − 1)(t 2 + 1) β −1 2( β − 1)(t + 1) β −1t2β − 3т.е. J β =+⋅ J β −1β −122( β − 1)(t + 1)2( β − 1)Получена рекуррентная формула, позволяющая понизить степеньзнаменателя. Последовательное применение этой формулы позволяетинтеграл 4-го типа свести к интегралу от простейшей дроби IV-го типа.Итак, результатом интегрирования дробно-рациональных функций являютсяэлементарные функции – arctg (x), ln (x) и рациональные функции.Пример:5 x +1dx3x 3 + 2 x 2 + x + 71 dx 132dx=++dx =∫ ( x − 1)2 ( x 2 + 1)2 ∫ x − 1 2 ∫ ( x − 1)2 ∫ x 2 + 1113 15= ln x − 1 − ⋅+ ln x 2 + 1 + arctgx + C22 x −1 43.

Метод Остроградского (факультативно).Математический анализ,семестр 2, лекция 2стр. 4 из 5Михаил Васильевич Остроградский (1801-1861) предложил остроумный способP( x), удобный, когда знаменательQ( x)интегрирования правильной рациональной дробиQ(x) имеет кратные корни, особенно комплексные. Способ разложения на простейшие вэтом случае связан с громоздкими выкладками.Отметим сначала, что при интегрировании дробей I и III типов получаемлогарифмы и арктангенсы, т.е. нерациональные функции. Интеграл от II-й дроби естьправильная рациональная дробь, со знаменателем вида (x – a) в степени α – 1. Наконец,интеграл IV-го типа применением рекуррентных соотношений приводится кправильной рациональной дроби, со знаменателем, равным трехчлену x 2 + px + q встепени (β – 1) и интегралу типа∫x2Ndx , приводящему к арктангенсу. После этого+ px + qможно сделать вывод о том, чему будет равна рациональная часть интеграла отправильной рациональной дроби: это будет сумма правильных рациональных дробей сознаменателями: ( x − a1 )α −1 , ( x − a2 )α −1 , ...., ( x − ak )α −1 , ( х 2 + p1 x + q1 ) β −1 , ..., ( х 2 + pr x + qr ) β −1 .12kУказанная сумма будет правильной дробью1rP1 ( x)со знаменателем вида:Q1 ( x)Q1 ( x) = ( x − a1 )α1 −1 ⋅ ...

⋅ ( x 2 + pr x + qr ) β r −1 .Сумма тех простейших дробей, интегралы от которых приводят к нерациональнымфункциям, будет правильной рациональной дробьюP2 ( x)со знаменателем вида:Q2 ( x)Q2 ( x) = ( x − a1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − ak ) ⋅ ( x 2 + p1 x + q1 ) ⋅ ... ⋅ ( x 2 + pr x + qr ) .Таким образом, искомая формула Остроградского имеет следующий вид:P( x)P1 ( x)P2 ( x)∫ Q( x) dx = Q ( x) + ∫ Q ( x) dx12Для отыскания многочленов P1(x) и P2(x) их записывают с неопределеннымикоэффициентами, которые находят дифференцированием формулы Остроградского.Пример:4 x2 − 8xJ =∫dx;( x − 1)2 ( x 2 + 1)2Ax 2 + Bx + Cax 2 + bx + cAx 2 + Bx + CMx + N  D+dx=+ ∫+ 2dx.222∫( x − 1)( x + 1)( x − 1)( x + 1)( x − 1)( x + 1) x −1 x +1 Продифференцируем обе части равенства:4 x2 − 8х(2 Ax + B )( x − 1)( x 2 + 1) − ( Ax 2 + Bx + C )(3 x 2 − 2 x + 1)DMx + N=++ 2222222( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)x −1 x +1J=x5 : 0 = D + Mx4 : 0 = − A − D − N − 2Mx 3 : 0 = −2 B + 2 D + 2 M − 2 N⇒ A = 3; B = −1; C = 0; D = 2; M = −2; N = 1x 2 : 4 = A + B − 3C − 2 D − 2M + 2 Nx1 : − 8 = −2 A + 2C + D + M + 2 Nx0 : 0 = −B − C − D + Nт.е.

J =3x 2 - x+ 2 ln x - 1 - ln x 2 + 1 + arctgx + C( x - 1)( x 2 + 1)Математический анализ,семестр 2, лекция 2стр. 5 из 54. Различныеинтеграла.способынахождениянеопределенного1. Метод частных значений.Применяется, когда корни знаменателя действительны и различны (кратности 1).Пример:3 −1−2xdx6+15 + 10  dx = − 1 ln x − 1 − 2 ln x + 2 + 3 ln x − 3 + C=∫ ( x − 1)( x + 2)( x − 3) ∫  x − 1 x + 2 x − 3 61510xABC=++( x − 1)( x + 2)( x − 3) x − 1 x + 2 x − 3x = A( x + 2)( x − 3) + B( x − 1)( x − 3) + C ( x − 1)( x + 2)x = 1: 1 = −2 ⋅ 3 ⋅ A ⇒ A = − 16x = −2 : − 2 = −3 ⋅ (−5) ⋅ B ⇒ B = − 2x = 3 : 3 = 2⋅5⋅С ⇒ С = 315102. Применяется, когда среди корней знаменателя нет ни одного действительного.Пример:11dxx113 dx −3=∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 4) ∫ x 2 + 1 ∫ x 2 + 4 dx = 3 arctgx − 6 arctg 2 + CAx + B Mx + N1= 2+ 2x +1x +4( x 2 + 1)( x 2 + 4)( Ax + B )( x 2 + 4) + ( Mx + N )( x 2 + 1) = 1x3 : A + M = 0x2 : B + N = 0x : 4A + M = 01⇒11A = M = 0; B = ; N = −33x0 : 4B + N = 13.

Применяется, когда среди корней знаменателя есть хотя бы один действительныйкорень.Пример:− 1 x+71 dxdxdx 1 dx66=−++∫ x 2 ( x − 1)( x 2 + 1) 3 ∫ x ∫ x 2 2 ∫ x − 1 ∫ x 2 + 1 = ...1A BCMx + N= + 2++ 2;2x ( x − 1)( x + 1) x xx −1 x +12Ax( x − 1)( x 2 + 1) + B( x − 1)( x 2 + 1) + Cx 2 ( x − 1) = 1Применяя метод неопределенных коэффициентов, найдем B и C:x = 0 : − B = 1 ⇒ B = −1;x = 1: 2C = 1 ⇒ C = 1 ;2Остальные коэффициенты найдем, применяя способ № 2 (см.

п.2):x4 : A + C + M = 0x3 : − A − 1 − M + N = 0 ⇒ M = − 1 ; N = 7 ; A = 1663x2 : A − B + C − N = 0.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций