lecture_08 (1019616), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

2.2.2.Математический анализ,семестр 2, лекция 8,стр. 6 из 73. Тройной интеграл в криволинейных координатах.Если в пространстве xyz ввести криволинейные координаты u, v и w так, чтоx = x(u , v, w)y = y (u , v, w)z = z (u , v, w)(5)и якобиан системы (5) есть J =D ( x, y , z ), то тройной интеграл в криволинейныхD (u , v, w)координатах запишется:∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (u, v, w) J dudvdw ,(6)V′Vгде V ′ - есть образ области V при переходе к криволинейным координатам.1. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.Положение точки M в пространстве можнооднозначно задать проекцией точки на плоскость x0y иаппликатой z.

Проекцию же точки на плоскости x0yможно задать как в декартовых, так и в полярныхкоординатах. Если проекцию точки задавать в полярныхкоординатах ρ , ϕ , то в пространстве полученныекоординаты точки M ( ρ , ϕ , z ) назовем цилиндрическими.Запишем связь декартовых и цилиндрическихкоординат: x = ρ cos ϕ0 ≤ ρ ≤ ∞ y = ρ sin ϕ ( 7 )0 ≤ ϕ ≤ 2π z = z −∞ ≤ z ≤ +∞Якобиан системы (7) будет равен∂x∂ρD ( x, y, z ) ∂yJ==x , y , z → ρ ,ϕ , zD( ρ ,ϕ , z ) ∂ρ∂z∂ρ∂x∂ϕ∂y∂ϕ∂z∂ϕрис. 3.1.1.∂x∂z∂y cos ϕ − ρ sin ϕ 0= sin ϕ ρ cos ϕ 0 = ρ∂z 001∂z∂zТогда тройной интеграл в цилиндрических координатах согласно формуле (6)запишется:∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f [ ρ cos ϕ , ρ sin ϕ , z ] ρ d ρ dϕ dz =V= ∫∫ ρ d ρ dϕDz2 ( ρ ,ϕ )∫ρ ϕz1 ( , )V′βf ( ρ , ϕ , z ) dz = ∫ dϕαρ 2 ( ρ ,ϕ )∫ρ ϕ(8)z2 ( ρ ,ϕ )ρd ρρ1 ( , )∫ρ ϕf ( ρ ,ϕ , z )dzz1 ( , )Пример:Вычислить объем, вырезанный из сферы x 2 + y 2 + z 2 = 4 параболоидом x 2 + y 2 = 3z (см.

рис.3.1.1).Полученный объем проектируем на плоскость x0y в круг D: x 2 + y 2 = 3 . Следовательно,координата ρ изменяется от 0 до3 . Пределы изменения координаты z получим, выразив zиз уравнений сферы и параболоида, сделав в них замену ρ 2 = x 2 + y 2 . Таким образом,V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫ VD 4 − x2 − y 2∫x2 + y 232π3dz  dxdy = ∫ dϕ ∫ ρ d ρ004− ρ 2∫ρ23 3dz = 2π  ∫ ρ 4 − ρ 2 d ρ − 03∫0 19πdρ =36ρ3Математический анализ,семестр 2, лекция 8,стр.

7 из 7рис. 3.1.1..

Характеристики

Список файлов лекций