lecture_07 (1019614), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Интеграл по фигуре.Рассмотрим задачу о вычислении массы М фигуры Ф с известной плотностьюраспределения массы µ (р), т.е. с известной плотностью фигуры в любой точке р фигурыФ.Для вычисления массы разобьем Ф на n непересекающихся частей: ∆1 , ∆ 2 , …, ∆ n , так∆1 ∪ ∆ 2 ∪ ... ∪ ∆ n = Φ, ∆1 ∩ ∆ 2 ∩ ... ∩ ∆ n = 0что В каждой части ∆ i выберем точку рi и предположим, что плотность во всех точкахфигуры ∆ i равна плотности в точке рi, т.е. µ (рi), тогда масса ∆ i равна: Μ (∆i ) ≈ µ ( pi ) ⋅ m(∆i ) .Следовательно, масса всей фигуры Ф равна: Μ (Φ ) ≈ ∑ µ ( pi ) ⋅ m(∆ i ) . Чем меньше фигуры ∆ i ,iтем полученная формула точнее.Перейдем теперь к введению понятия интегральной суммы и интеграла по фигуреФ.

Пусть на фигуре Ф определена функция y = f (p); разобьем фигуру Ф произвольнымобразом на части ∆1 , ∆ 2 , …, ∆ n , на каждой из фигур ∆ i произвольно выберем точку рi исоставим интегральную сумму:f ( p1 ) ⋅ m(∆1 ) + f ( p2 ) ⋅ m(∆ 2 ) + ... + f ( pn ) ⋅ m(∆ n ) = ∑ f ( pi ) ⋅ m(∆ i )(3)iназываемую интегральной суммой для функции y = f (p) по фигуре Ф.

Продолжимразбиение фигуры Ф, предполагая, что d (∆ i ) → 0 и перейдем к пределу, предположив, чтотакой предел интегральной суммы существует, не зависит от способа разбиения фигурыФ и выбора точек рi в каждой фигуре ∆ i , тогдаlimmax d ( ∆ i ) → 0i∑ f ( p ) ⋅ m(∆ ) = ∫ f ( p)dmi(4)iΦiназовем интегралом по фигуре (области) Ф от функции y = f (p).Теорема о существовании интеграла по фигуре.Если функция y = f (p) непрерывна на фигуре Ф, то предел (4) существует ифункция y = f (p) интегрируема.3. Свойства интеграла по фигуре.1) линейность:∫ [c f ( p) + c1 1f ( p ) ]dm = c1 ∫ f1 ( p )dm +c2 ∫ f 2 ( p) dm2 2ΦΦΦЭто свойство следует из определения интеграла как предела интегральной суммы.2) аддитивность:если Φ = Φ1 ∪ Φ 2 и Φ1 ∩ Φ 2 ≠ ∅ , то ∫ f ( p )dm = ∫ f ( p)dm + ∫ f ( p)dmΦΦ1Φ2Доказательство основывается на рассуждениях, аналогичных доказательству этогосвойства для определенного интеграла.3) Интегрирование неравенств.

Если функции y = f1(p) и y = f2(p) интегрируемы нафигуре Ф и для любой точки р, принадлежащей фигуре Ф, выполняется неравенствоf1 ( p ) ≤ f 2 ( p ) , то∫ f ( p)dm ≤ ∫ f1Φ2( p )dmΦ4) Теорема об оценке интеграла по фигуре:(5)Математический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 7 из 10Если y = f ( p ) ∈ ℂ [Φ ] , то min f ( p ) ⋅ m(Φ ) ≤ ∫ f ( p )dm ≤ max f ( p ) ⋅ m(Φ )ΦΦ(6)ΦДоказательство опирается на формулу (4), линейность, а также на то, что∫ dm = Μ (Φ)(7)Φ5) Теорема о среднем для интеграла по фигуре:Если y = f ( p ) ∈ ℂ [Φ ] , то, следовательно, существует такая точка p0 ∈ Φ , что∫ f ( p)dm = f ( p ) ⋅ m(Φ)(8)0Φ4.

Двойной интеграл.1. Определение, свойства и геометрический смысл двойного интеграла.Рассмотрим случай, когда фигура Ф есть плоская область D, замкнутая иограниченная. В этой области задана функция y = f (p). Мерой плоской области будет ееплощадь S (D). Разбиение области D на части ∆1 , ∆ 2 , …, ∆ n , выбор в любой ∆ i точек рi,составление интегральной суммы ∑ f ( pi ) ⋅ S (∆i ) и переход к пределу при λ = max d (∆i ) → 0iiприводит к частному случаю интеграла по фигуре, а именно, к двойному интегралу отфункции y = f (p) по плоской области D:lim ∑ f ( pi ) ⋅ S (∆ i ) = ∫∫ f ( p )dS(1)λ →0iDДля двойного интеграла справедливы все свойства, выведенные для интеграла пофигуре.

Например: ∫∫ dS = S ( D) , а теорема о среднем для двойного интеграла имеет вид:D∫∫ f ( p)dS = f ( p )S ( D) .0DВыясним геометрический смысл двойногоинтеграла (см. рис. 4.1.1). Поместим плоскуюобласть D на плоскость х0у. Тогда функция y = f (p),определенная на плоской области D, геометрическипредставляет собой некоторую поверхность впространстве: z = f ( p ) = f ( x, y ) ≥ 0 .

Разобьем плоскуюобласть D на ∆1 , ∆ 2 , …, ∆ n и выберем на каждойплощадке ∆ i точку рi. Значение функции y = f (pi)есть аппликата точки, лежащей на поверхностиz = f ( x, y ) .Каждоеслагаемое,стоящеевинтегральной сумме (1) f ( pi ) S (∆i ) геометрическипредставляет собой объем прямой призмы высотойf ( pi ) и площадью основания S (∆ i ) . Интегральнаясумма есть сумма объемов соответствующихрис. 4.1.1. Геометрический смыслпрямых призм, стоящих на площадках ∆1 ,..., ∆ n .двойного интегралаПредел этой суммы, т.е. двойной интегралгеометрически представляет собой объем призмы, в основании которой лежит область D,ограниченной сверху поверхностью z = f ( x, y ) и боковой поверхностью с образующей,параллельной оси 0z. Таким образом, с помощью двойных интегралов можно вычислятьобъемы.Математический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр.

8 из 102. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.Вычисление двойного интеграла обычно сводится к вычислению двухопределенных интегралов. Так как разбиение области D можно проводить произвольнымобразом, то будем разбивать D на площадки ∆ i прямыми, параллельными осям 0х и 0y,тогда площадь S (∆i ) = ∆xi ∆yi и элемент площади в интеграле равен:dS = dxdyОпределение.ОбластьDназовемпростойотносительно оси 0х, если область заключена междупрямыми x = a и x = b и кривыми, определяемымиуравнениями y = y1 ( x) и y = y2 ( x) , так что любая прямаяx = x0 ∈ [a; b] пересекает границу области D не более чем вдвух точках (см. рис. 4.2.1).Предполагая функцию y = f ( x, y ) непрерывной вобласти D, мы можем двойной интеграл свести к двумопределенныминтегралампоформуле∫∫D y2 ( x )f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y ) dy dxa  y1 ( x ) S ( x)b(2)рис.

4.2.1Интеграл в квадратных скобках вычисляется прификсированном значении х, т.е. х играет роль параметра.Обоснованием справедливости формулы (2) можетслужить следующее геометрическое рассуждение: т.к.геометрически двойной интеграл есть объем призмы, тофиксирование х означает, что поверхность z = f ( x, y )пересекаются плоскостью x = const по некоторой кривой; ав сечении призмы получим криволинейную трапецию,заштрихованную на рис. 4.2.2, площадь которойвычисляется с помощью определенного интеграларис.

4.2.2.y2 ( x )∫S ( x) =f ( x, y ) dy , т.е. известна площадь поперечного сечения тела вy1 ( x )зависимости от х. Объем тела по известной площади поперечногосечения также вычисляется с помощью определенного интеграла:b∫ S ( x)dx , т.е. получается формула (2).рис.

4.2.3.aЗамечание. Частным случаем области, простой относительнооси 0х, является область D, в которой отрезки прямых x = a и x = bвырождаются в точки (см. рис. 4.2.3). Формула (2) при этом,естественно, сохраняется.Определение. Область D называется простой относительнооси 0у, если она ограничена прямыми y = c ; y = d и кривымиx1 ( y ) и x2 ( y ) (см. рис.

4.2.4).рис. 4.2.4Математический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 9 из 10Формула сведения двойного интеграла к повторному интегрированию для такойобласти имеет вид:∫∫D x2 ( y )f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y ) dx dyc  x1 ( y )d(3)где интеграл в квадратных скобках вычисляется при фиксированном значении y.Пример:0 ≤ x ≤ 1.Вычислить J = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy , где D : 0 ≤ y ≤ 1D111y3J = ∫ dx ∫ ( x 2 + y 2 )dy = ∫  x 2 y 10 +3000 1 x3 x 12 dx = ∫ ( x + )dx =  + 3 3 30011=02.3Выясним геометрический смысл вычисленного интеграла.

Функцияz = x 2 + y 2 определяет в пространстве поверхность параболоида.Область D – квадрат. J равен объему прямой призмы, ограниченнойсверху поверхностью параболоида.рис. 4.2.5Если область D проста по отношению к обеимкоординатным осям, то пределы интегрирования расставляются таким образом, чтобыполучающиесяинтегралыбылипрощедлявычисления:∫∫Dby2 ( x )ay1 ( x )f ( x, y )dxdy = ∫ dx∫dx2 ( y )cx1 ( y )f ( x, y )dy = ∫ dy∫f ( x, y )dx .Пример:Расставить пределы интегрирования по области D двумя способами, еслиD ограничена прямыми x = 0, y = 0, y = 1, y = 2 − x .1122− x0010∫ dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx∫12− y00f ( x, y )dy = ∫ dy∫f ( x, y ) dx .3. Геометрические и механические приложения двойногоинтеграла.1) Площадь области D: S ( D) = ∫∫ dxdyрис.

4.2.6.DПример:Вычислить площадь, заключенную между параболами y = x 2 и x = y 2 .1x1 x 2 x3 S = 2s = 2∫∫ dxdy = 2 ∫ dx ∫ dy = 2 ∫ ( x − x 2 )dx = 2  −  2 3d00x2101 11 1= 2⋅ −  = 2 ⋅ = .6 3 2 3рис. 4.3.1.2) Объем призмы: V = ∫∫ f ( x, y )dxdyDПример:Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью 2 − x − y − 2 z = 0 ,плоскостью х0у, цилиндрической поверхностью y = x 2 и плоскостьюy = x.рис. 4.3.2.Математический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр.

10 из 101x1xy y 2  x yV = ∫ dx ∫  1 − −  dy = ∫  y − − 2 22400 x2 xx21 x 2 7 x3 x 47 x 2 x3 x 4 x5 dx = ∫  x −+ +  dx =  −+ +42 4  2 4⋅3 8 5⋅ 4 01=011.1203) Масса неоднородной пластины D с плотностью µ ( x, y ) : M ( D ) = ∫∫ µ ( x, y )dxdyD4) Координаты центра тяжести неоднородной пластины D с плотностью µ ( x, y ) :xC =∫∫ xµ ( x, y)dxdyDM ( D); yC =∫∫ yµ ( x, y)dxdyDM ( D)Пример:Найти центр тяжести пластины D = { y = x 2 ; x = y 2 } , если µ = x3 y 2 .1x0x2M = ∫ dx ∫ x3 y 2 dy =1x0x21x3;1104 2∫∫ xµ dxdy = ∫ dx ∫ x y dy =D∫∫ y µ dxdy = ∫ dx ∫ xD03y 3 dy =x2Следовательно, xC =3;1431;483 ⋅110 110 101 ⋅110 55== ; yC ==.143 ⋅ 3 143 1348 ⋅ 3 725) Моменты инерции относительно осей: J x = ∫∫ y 2 µ ( x, y )dxdy; J y = ∫∫ x 2 µ ( x, y )dxdyDD.

Характеристики

Список файлов лекций