tus8 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 8.АНАЛИЗ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ МНОГОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХСИСТЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСАОписание сигналов и систем1. Описание сигналов. Используется преобразование Лапласа сигнала g (t ) :G (s )  Lg (t ) g (t ) e  st dt ,0где g (t ) – r-мерная вектор-функция; G (s ) – ее изображение по Лапласу.2. Описание систем.

Рассматриваются линейные стационарные многомерные системы, описываемые уравнениями:x (t )  A x (t )  B g (t ) , x(0)  x 0 ;y (t )  C x (t ) ,где x – n-мерный вектор состояния; g – r-мерный вектор входных воздействий; y – kмерный вектор выхода; x 0 – начальное состояние; t – время, t 0  0 – начальный моментвремени; A, B, C – матрицы размера ( n  n ), ( n  r ), ( k  n ) соответственно.Импульсные переходные функции по состоянию и выходу стационарной системыявляются функциями разности t     своих аргументов:K x (t , )  K x (t  )  K x () ,K y (t , )  K y (t  )  K y () .Передаточной функцией W x (s ) стационарной линейной многомерной системыпо состоянию называется преобразование Лапласа импульсной переходной функции посостоянию:xxW (s )  L K () K x () e  sd .0Передаточной функцией W y (s ) стационарной линейной многомерной системыпо выходу называется преобразование Лапласа импульсной переходной функции по выходу:W y (s )  L K y () K y () e  sd .0Передаточные функции W x (s ) , W y (s ) представляются матрицами размера( n  r ), ( k  r ) соответственно, элементы которых являются функциями комплексногопеременного s .

Они могут быть найдены по формуламW x (s )   sE  A  B ,1W y (s )  C  sE  A  B .11Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g (t ) ;б) линейная стационарная многомерная система, описываемая уравнениями;в) начальные условия x (0)  x 0 .Требуется найти законы изменения вектора состояния x (t ) и вектора выходаy (t ) .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. Найти изображение входного сигнала: G (s )  L g (t ) .2. Найти матрицы  sE  A  , C  sE  A 11и передаточные функции по формуламW x (s )   sE  A  B ,1W y (s )  C  sE  A  B .13. Используя связи вход-состояние и вход-выход, найти изображение по Лапласузаконов изменения векторов состояния и выхода:X (s )  sE  A 1 x 0  W x (s ) G (s ) ,  X c (s )X вын ( s )Y (s )  C sE  A 1 x 0  W y (s ) G (s ) .  Yc ( s )Y вын ( s )4.

Найти законы изменения векторов состояния и выхода с помощью обратногопреобразования Лапласа:x (t )  L1 X (s )  x c (t )  x вын (t ) ,y (t )  L1 Y (s )  yc (t )  y вын (t ) .При выполнении пп. 1 и 4 применяются табл.1 преобразования Лапласа и его свойства.2Пример 1. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемы:x1  x1  2 x 2  g ,y  x1  x 2 ,x 2  2 x1  x 2 ,с начальными условиями x1 (0)  1 , x 2 (0)  1 при входном сигнале g (t )  e t 1 (t ) . Перепишем уравнения системы в матричной форме:ddt x1   1 2   x1   1          g , x2   2 1   x2  0 ABx y  1 1  1 . x2 C1. Найдем изображение входного сигнала: G (s ) 1.s 12.

Получим передаточные функции: s  1 2 ,2 s  1 sE  A   sE  A 1s 1(s  3)(s  1)2 (s  3)(s  1) 1C sE  A 1  1 1 sE  A 1  s 31 W x (s )  sE  A 1 B  sE  A 1  02(s  3)(s  1) ,s 1(s  3)(s  1) 1 ,s  3s 1(s  3)(s  1) ,2 (s  3)(s  1) 11.W y (s )  C sE  A 1 B  1 1 sE  A 1   0 s  33. Определим изображения законов изменения векторов состояния и выхода:s 1(s  3)(s  1)X (s )  2 (s  3)(s  1)2(s  3)(s  1) s 1(s  3)(s  1) s 1 1   (s  3)(s  1)  1   s 12  1  (s  3)(s  1) 31  1 11 1    1ss(3)(1)s1sss131,  1  4  1221  1     s  1   (s  3)(s  1)(s  1)   s  1  s  3 s  1 s  1X c (s ) 1Y (s )  s 31 s  3X вын (s ) 1 1111  .  1 s  3 s  1 2(s  3) 2(s  1)4.

Находим искомые законы изменения векторов состояния и выхода: e  t  1  e 3t  e  t 0,25e 3t  0,75e  t,x (t )    t    3tttttt3  e  4  e  2e  e   0,25e  0,5e  0,75e x c (t )x вын (t )y (t )  L1Y ( s )  0,5e 3t  0,5e t .Пример 2. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемыx1   x 2  g1 ,y1  x 2 ,x 2  x1  g 2 ,y 2  x1  0,5 x 2с начальными условиями x1 (0)  1 , x 2 (0)  0 при входном сигнале g1 (t )  2  1 (t ) ,g 2 (t )  1 (t ) . Перепишем уравнения системы в матричной форме:ddt x1   0  1  x1   1 0   g1           , x2  1 0   x2   0 1   g 2 AB 0 1   x1   .y   1 0,5   x 2 C1.

Определим изображение входного сигнала: G (s )  2. Получим передаточные функции: s 2 s 11s 1sEA,sEA  1 s  1 2s 142s1s.1 s2  1 ,s s2  12s10 1 , sE  A 1C sE  A 1   1 0,5 0,5s  1 s2  1 1  s 2210   s  1 s  1  ,W x (s )  sE  A 1 B  sE  A 1 s 0 1  1 2 s  1 s2  1s 1 22s1s10 1 11  1 0 y. sE  A   W (s )  C sE  A  B  10,501 s  0,5 0,5s  1  2s2 1  s 1 1 2 s 1 s  0,5 2 s 1s3.

Найдем изображения законов изменения векторов состояния и выхода: s 2X (s )   s  1 1 2s 11 s  1s s2  12 s1   s2 1   0   1 2s 11 s  1s s2  122 s 1 s22   s   2s  1    s + 2s - 1    122s2  1 s 2  1   s (s  1)   s (s  1)   s, 2s   22 1   2+ s   2   s  1   s (s 2  1)   s (s 2  1)   s s 2  1 X c (s )X вын (s ) 1 2 s 1Y (s )   s + 0,5 2 s 1s 1 0,5s  1 s2  1 s2 1  1  s 2  1    0    s + 0,5 2 s 1s 1 0,5s  1 s2  1 s22 s 1 s2  22s 22 s (s  1)   s s  1 .s 4  2s   2  22s1s2  12(s1)54. Находим искомые законы изменения векторов состояния и выхода:  cos t   1  2 sin t  cos t   1  2 sin t x (t )  L1 X (s )    ,  sin t   2  sin t  2 cos t   2  2 cos t x“ (t )x"/… (t ) 2  2 cos t y (t )  L1Y (s )   .■ 2 sin t  cos t Пример 3.

Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемыx1  x 2  g ,y1  x1  x 2 ,x 2   x1  2 x 2 ,y 2  x1с начальными условиями x1 0   1, x 2 0   1 при входном сигнале g t   1 t  . Перепишем уравнения состояния и выхода в матричной формеddt1  x1   0   1  2   x2  A t  x1   1      g ,0 x2  B t 1 1 y  1 0 C t 11. Найдем изображение входного сигнала: G s    .s2. Получим передаточные функции: s22s  1 1 ,sE  A   sE  A    s  111 s  2  2 s  11 1  sE  A 1C sE  A 1  1 0 WW6yx 1s 1 s22 s  1s   sE  A 1 B  sE  A 1 s   C sE  A 1 B10 x1   . x2 s  12  ,ss  12 1,2s  1 1s 11 s2  s  12 ,1  2 s  1 1 1 1 sE  A 1   1 0 0 1  s 1 . s2 2 s  1 3.

Найдем изображения законов изменения векторов состояния и выхода: s2 s  12X s   1 2 s  1 s2 s  1   1    s  12    1     1 1  ss   s  12 s  12 1212 1    s  2   1   222111sssss1s1s,1111   2 21s1s11ssss X c s s Xвын 1s 1Y s    s  22 s  1 1   1    s  1    1     1   s  2   s 2s  12  s  1 1s 1111 0    s s  1   0  s s  1.11s2  12  1   s s  1 222s s  1 s s  1  s  1Y c s Y вын s Представим слагаемое1в виде1s s  1s s  1где A, B, C – неопределенные коэффициенты.22ABC,s s  1 s  12Умножая на общий знаменатель, находим A s  12  B s s  1  C s  1 .При s  1, s  0, s  1 последовательно получаем C  1, A  1, B  1 :1s s  12111.s s  1 s  124.

По формулам 2, 6, 7, 23 табл.1 найдем законы изменения векторов состояния ивыхода: e t    t e t  2  2 e t  2 t e t    2  3 e t  t e t x t     t   tt  1  2 e t  t e t  ,eete1  xвын t xc t   0  e t  1 1  e t .y t     t   ttttte   t e  2  2 e  2t e    2  3 e  t e yc t yвын t 7ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ.

ПРИМЕНЕНИЕПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕОписание сигналов и систем1. Описание сигналов. Для описания детерминированных сигналов используетсяпреобразование Фурье:G ()  F  g (t )  g (t ) e i t dt ,где g (t ) – сигнал; G () – его изображение по Фурье.В качестве моделей случайных сигналов рассматриваются стационарные одномерные случайные процессы, например G (t ) , которые имеют постоянные математические ожидания mg (t )  const , а их ковариационные функции зависят от разности аргументов t1  t 2   и поэтому являются функциями одной переменной:R g t1 , t 2   R g t1  t 2   R g   .Дисперсия стационарного случайного процесса получается при t1  t 2 , т. е. при   0 :D g (t )  R g (0)  const .Примером стационарных случайных процессов является стационарныйбелыйшум, имеющий нулевое математическое ожидание и ковариационную функциюR g ( )  S 0 ( ) , где S 0 – интенсивность белого шума.С помощью интегрального преобразования Фурье можно получить характеристикистационарных случайных процессов, эквивалентные моментным функциям.Спектральной плотностью называется преобразование Фурье ковариационнойфункции стационарного случайного процесса:  R g () e i d .S g ()  F R g () Эта функция частоты  в силу четности функции R g () является четной.