tus7 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 7.АНАЛИЗ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСАПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g (t ) , t  0 , где g (t ) – m раз непрерывно дифференцируемаяфункция на промежутке (0,  ) функция ограниченного роста;б) линейная стационарная система, описываемая уравнением;в) начальные условияx (0)  x 0 , x (0)  x 0 ,..., x (n 1) (0)  x 0(n 1) .Требуется найти выходной сигнал x (t ) .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти изображение входного сигнала по формуле:G (s )  L[ g (t )] .2. Получить передаточную функцию W (s ) системы одним из методов, рассмотренных в разд. 3.1.1 и 3.1.3, и, если начальные условия ненулевые, D (s ) и D … (s ) – поформулам:W (s ) bm s m    b1 s  b0nan s    a1 s  a0,D ( s )  an s n  a0 ;D … (s )  x 0 (a1  a 2 s  a n s n 1 )  x 0 (a 2  a 3 s  a n s n  2 )   x 0(n  2) (an 1  an s )  x 0(n 1)an .3. Определить изображение по Лапласу выходного сигнала:X (s ) D н (s )D (s )X c (s ) W ( s ) G (s ) .X вын ( s )4. Найти выходной сигнал, используя обратное преобразование Лапласа:x (t )  L1[ X (s )] 12ic i  X (s ) estds  x c (t )  x вын (t ) .c i Интегрирование ведется по прямой Re s  c в области аналитичности функции X (s ) .Как правило, при выполнении пп. 1 и 4 применяются таблица преобразования Лапласа и его свойства.

Приведем часть таблицы, используемой в примерах (табл. 1), гдеf (t ) – оригинал, а F (s ) – соответствующее изображение.1Таблица 1№123f (t )1 (t )CtF (s )1s№17f (t )1aCs181192F (s )1(1  cos at )2s (s  a 2 )11as 2 (s  a )(e at  1  at )2ashat245678sn!tns n 11(t )e att n e atsin at220211s a22n!23(s  a) n  1as  a2schat(t s 2  a2s1 2 atat ) e2(1  2at (s  a) 31 2 2 ata t )e2cos ats(s  a) 224cos 2 ats 2  2a 2s (s 2  4a 2 )25sin 2 at2a 2s 2  a210t sin at2s as (s 2  4a 2 )26(s 2  a 2 ) 211t cos ats 2  a227(s 2  a 2 ) 212e at sin btb28(s  a) 2  b 213e at cos bts a29(s  a) 2  b 214151621 aea11as301 at(e  1)a1s (s  a )31e at  e bta b1(s  a)(s  b )32t(s  a) 3s(1  at ) e ats 2  a29s2sincosa2a2t sht cha2a2tt1(shat  sin at )21(chat  cos at )21(shat  sin at )21(chat  cos at )2a e at  b e btaba2s 4  a4s3s 4  a4a3s 4  a4a2ss 4  a4a s2s 4  a4s3s 4  a4s(s  a)(s  b )Продолжение табл.

3.1№33f (t )F (s )(c  b ) e at  (a  c ) e bt  (b  a) e ct(a  b )(a  c )(c  b )1(s  a) (s  b ) (s  c )34a(b  c ) e at  b(c  a) e bt  c(a  b ) e ct(a  b )(b  c )(a  c )s(s  a) (s  b ) (s  c )35a 2 (b  c ) e at  b 2 (c  a) e bt  c 2 (a  b ) e ct(a  b )(b  c )(a  c )s2(s  a) (s  b ) (s  c )36a sin bt  b sin ataba2  b2(s 2  a 2 ) ( s 2  b 2 )cos bt  cos at372a b(s 2  a 2 ) ( s 2  b 2 )a 2 cos at  b 2 cos bts3a2  b2(s 2  a 2 ) ( s 2  b 2 )b shat  a shbta b42432(s  a ) (s 2  b 2 )a2  b2(s 2  a 2 ) (s 2  b 2 )a shat  b shbts2a2  b2(s 2  a 2 ) (s 2  b 2 )a 2chat  b 2chbts3a2  b2(s 2  a 2 ) (s 2  b 2 )t451sin ata1shat  ta1  cos at atsin at21  chat atshat212s4447ab2chat  chbt4149(s  a )(s 2  b 2 )a2  b22482s24046s2a sin at  b sin bt38392a2s 2 (s 2  a 2 )a2s 2 (s 2  a 2 )a4s (s 2  a 2 ) 2a4s (s 2  a 2 ) 2b 2 cos at  a 2 cos bta 2b 2a2  b2s (s 2  a 2 ) (s 2  b 2 )b 2 chat  a 2 chbta 2b 2a2  b2s (s 2  a 2 )(s 2  b 2 )13Продолжение табл.

3.15012a5152533(sin at  at cos at )s1(sin at  at cos at )2as12 a2s222 a22(s  a) bt e at sin bt2(s  a)t e at cos bt2 b22(s  a) 2  b 2(s  a)2 b22Пример 1. Найти реакцию усилительного звена с коэффициентом усиления K  5на линейное воздействие g (t )  t , t  0 при нулевых начальных условиях.1 1. Найдем изображение входного сигнала (по формуле 3 табл.

3.1): G (s )  2 .s2. Получим передаточную функцию: W (s )  5 .53. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала: X (s )  2 .s4. Найдем выходной сигнал: x (t )  5t , t  0 .Пример 2. Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнениемx (t )  4 g (t ) , на входной сигнал g (t )  sin 3t при нулевых начальных условиях. 1. Найдем изображение входного сигнала (по формуле 8 табл. 3.1):3.G (s ) 2s 94M ( p) .2. Получим передаточную функцию: W (s ) D ( p) p  ss3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:4344sX (s )  .s s 2  9 3s 3 (s 2  9)4.

Найдем выходной сигнал: x (t ) 4(1  cos 3t ) . 3Пример 3. Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнениемx (t )  x (t )  g (t ) , на входные сигналы g1 (t )  1 (t ) и g 2 (t )  (t ) при нулевых начальныхусловиях. 1. Найдем изображения входных сигналов (по формулам 1 и 5 табл. 3.1):1G1 ( s )  , G 2 ( s )  1 .s2. Получим передаточную функцию:4W ( s) 1p 11.s 1ps3. Определим изображения по Лапласу выходных сигналов:X 1 (s ) 1 1 ,s 1 sX 2 (s ) 1.s 14. Найдем выходные сигналы:x1 (t )  1  e t ,x 2 (t )  e t .Пример 4. Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнением1x (t )  x (t )  g (t ) с начальным условием x (0)  , на входной сигнал g (t )  1 (t ) .21 1.

Найдем изображение входного сигнала: G (s )  .s2. Получим передаточную функцию:W (s ) 1p 1p s1M (s ), D (s )  s  1 ,s  1 D (s )D н (s )  x 0 a1 1,2так как n  1 , a1  1 .3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:X (s ) 11.2 (s  1) s (s  1)X c (s )X вын (s )4. Найдем выходной сигнал:x (t ) 11 tte  1e 1  e  t .22  x (t )xc (t )вынПример 5. Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнениемx(t )  3x (t )  2 x (t )  g (t )c начальными условиями x(0)  1 , x (0)  3 , на входной сигнал g (t )  2e 3t 1 (t ) .2 1. Найдем изображение входного сигнала: G (s ) .s 32.

Получим передаточную функцию:W (s ) D ( s )  s 2  3s  2 ,1p  3p  2 p  s212s  3s  2M (s ),D (s )D … ( s )  x 0 (a1  a2 s )  x 0a 2  1  (3  s )  3  1  s .3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:5X (s ) s2s  3s  222(s  3s  2)(s  3)s2(s  1)(s  2) (s  1)(s  2)(s  3)12121.2 s 1s23s1s sX c (s )X вын ( s )4. Найдем выходной сигнал:t2tt2t3tx (t )   2e e 2e e e 3t .

ex“ (t )x"/… (t )Пример 6. Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнениемx(t )  3x (t )  2 x (t )  g (t )  g (t )с начальными условиями x(0)  1 , x (0)  3 , на входной сигнал g (t )  e 3t 1 (t ) .1 1. Найдем изображение входного сигнала: G (s ) .s 32. Получим передаточную функцию:W (s ) D ( s )  s 2  3s  2 ,p 1p  3p  2 p  s2s 12s  3s  2M (s ),D (s )D … ( s )  x 0 (a1  a2 s )  x 0a 2  1  (3  s )  3  1  s .3.

Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:X (s ) ss 2  3s  2s 1(s 2  3s  2)(s  3)ss 1(s  1)(s  2) (s  1)(s  2)(s  3)1211.2 s 3 s 2s1s X c (s )X вын ( s )4. Найдем выходной сигнал:2t3t2tx (t )  2ee t  ee e 3t  e 2t  e t .xc (t )xвын (t )Пример 7. Найти реакцию системы, описываемой уравнениемxt   4 x t   g t с начальными условиями x 0   1, x 0   1 , на входной сигнал g t   cos 2t  1 t  . 1.

Найдем изображение входного сигнала: G s  2. Получим передаточную функцию:6ss2  4.W s  12s 4и функции D s   s 2  4 , D н s   x 0 a1  a2 s   x 0 a2  1  0  1  s   1  1  s  1 .3. Определим изображение по Лапласу выходного сигнала:X s  s 12s 4ss242s2s 412s 4ss242.4. По формулам 8–10 табл. 3.1 найдем выходной сигнал:1tx t   cos 2t  sin 2t  sin 2t .

42 xc t xвын (t )Пример 8. Найти реакцию системы, описываемой уравнениемxt   3 xt   3 x t   x t   g t с начальными условиями x 0   0, x 0   0, x0   2 при входном сигнале g t   e t  1 t  .1 1. Найдем изображение входного сигнала: G s  .s 12.

Получим передаточную функцию:W s  1s 3  3s 2  3s  11s  13и функции D s   s  13 , D н s   x 0 a1  a2 s  a3 s 2  x 0 a2  a3 s   x0 a3  2 .3. Определим изображение выходного сигналаX s  2s  131s  142!s  1313!.6 s  144. По формуле 7 из табл. 3.1 найдем выходной сигнал:1x t   t 2e t  t 3e t .  6xc t xвын (t )7.