tus6 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 6.ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСАОписание сигналов и систем1. Описание сигналов. Для описания сигналов используется преобразование Лапласа:G (s )  L[ g (t )] g (t ) e  st dt ,0где g (t ) – сигнал (оригинал); G (s ) – его изображение по Лапласу.2. Описание систем.

Рассматриваются линейные одномерные стационарные системы управления, описываемые дифференциальным уравнениемan x (n) (t )    a0 x (t )  bm g (m) (t )    b0 g (t ) ,где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; m и n – порядки старших производныхвходного и выходного сигналов соответственно; an ,  , a0 , bm ,  , b0 – коэффициенты,не зависящие от времени.Импульсная переходная функция k (t , ) стационарной системы является функциейразности своих аргументов k (t , )  k () ,   t   .Передаточной функцией W (s ) стационарной линейной системы называется преобразование Лапласа импульсной переходной функции k() :W (s )  L[k ()]  k () e sd .0Передаточная функция является функцией комплексного переменного s .По дифференциальному уравнению системы передаточная функция находится следующим образом:W (s ) M ( p)D ( p)psbm s m    b1 s  b0an s n    a1 s  a0,(3.4)где D ( p)  an p n  a1 p  a0 ; M ( p)  bm p m  b1 p  b0 – дифференциальные операторы левой и правой части уравнения.1Передаточные функции соединенийЕсли система представляет собой соединение звеньев, то передаточная функциясистемы определяется с помощью формул:для последовательного соединения (см.

рис. 3.1,а):W ( s )  W1 (s ) W 2 (s ) ;(3.11)для параллельного соединения (см. рис. 3.1,б):W (s )  W1 ( s )  W 2 (s ) ;(3.12)для соединения с обратной связью (см. рис. 3.1,в):W (s ) W1 (s )1  W1 (s )  W 2 (s ),(3.13)где знак «плюс» для отрицательной обратной связи, а «минус» – для положительной;W1 (s ) , W 2 (s ) – передаточные функции первого и второго звеньев.X 1 (s )X 1 (s )G (s )W1 (s )X (s )X (s )G (s )W 2 (s )W1 (s )W 2 (s )аX 2 (s )бG(s)E (s )W1 ( s )X (s )W 2 (s )X 2 (s )вРис.1Пример 1. По передаточным функциям звеньев найти передаточные функции систем, заданных структурными схемами (рис. 2,а–в).2gW1xW2gxW1W3W5W3W4W2W4абgxW1W3W2W4вРис. 2На рис. 2,а звенья 1 и 2 соединены последовательно, а 3 и 4 – параллельно, самасхема является соединением с обратной связью, поэтомуW (s ) W1 W 21  W1 W 2 (W 3  W 4 ).На рис.

2,б параллельное соединение звеньев 3 и 4 соединено последовательно созвеньями 2 и 5, поэтомуW (s ) W11  W1 W 5 (W 3  W 4 )W 2.На рис. 2,в звенья 3 и 4 образуют соединение с обратной связью:W (s ) W1W1 (1  W 3 W 4 ).W 3 W 2 W 1 1  W 3 W 4  W 3 W 2 W111  W3 W 4НАХОЖДЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ В СИСТЕМАХС НЕСКОЛЬКИМИ ВХОДАМИЕсли в системе несколько входов, передаточная функция по фиксированному входу ищется при нулевых входных сигналах, кроме данного.

При этом для удобства рекомендуется перестроить структурную схему.Пример 2. Для системы с двумя входами g (t ) и f (t ) и одним выходом x (t ) , заданной структурной схемой, изображенной на рис 3,а, найти передаточные функции.3gW1xW2f1W3W1xW2W3fабРис. 3 Положим f (t )  0 . Тогда передаточная функция по входу g (t ) будетW g (s ) W1 W 21  W1 W 2 W 3.Положим g (t )  0 и перестроим схему (рис.

3.3,б). Усилительное звенос коэффициентом усиления K  1 введено в силу отрицательной обратной связи на сумматореW1 W 2 W 3.в схеме на рис. 3,а. W f (s )  1  W1 W 2 W 3Пример 3. Для системы с двумя входами g (t ) и f (t ) и одним выходом x (t ) , заданной структурной схемой, изображенной на рис.

4,а, найти передаточные функции. Положим f (t )  0 . Тогда передаточная функция по входу g (t ) будетW2W11  W 2 W3W1 W 2W g (s ) .W1 W 21  W 2 W 3  W1 W 211  W 2 W3fgW1W2xW3fxW2W31W1абРис. 4Положим g (t )  0 и перестроим схему (рис. 4,б). Отсюда передаточная функцияW2.по входу f (t ) : W f (s ) 1  W 2 (W1  W3 )4НАХОЖДЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯСТРУКТУРНЫХ СХЕМВ некоторых задачах связи между звеньями таковы, что не позволяют найти передаточные функции системы с использованием формул для типовых соединений.

В этомслучае требуется преобразовать схему к виду, допускающему применение формул. Приведем два способа такого преобразования:Первый способ. Перенос сумматора через линейное звено (рис. 5,а – перенос вперед; рис. 5,б – перенос назад).Второй способ. Перенос точки разветвления через линейное звено (рис. 6,а – перенос вперед; рис. 6,б – перенос назад).Изображенные на рис. 3.5 и рис. 3.6 слева и справа схемы эквивалентны.gWxygWyWxаgWxgyW1WygWxбРис.

5gWxx1WyyаgWxgyWxWyбРис. 65Пример 4. Найти передаточную функцию системы, заданной структурной схемой,изображенной на рис. 7,а. Необходимо перенести первый сумматор вперед через звенья 1, 2, второйсумматор вперед через звено 2, а последнюю точку разветвления назад через звено 4 (результат преобразований показан на рис. 7, б). Передаточная функция системы имеет видW3 W 4W ( s )  W1 W 2.1  (W 4  W 2  W1 W 2 W 4 )W 3W1gW2W3W4xаgW1W2W3xW4W4W2W1W2W4бРис.

7ВИДЫ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ,ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ АНАЛИЗЕ СИСТЕМРассмотрим типовую схему замкнутой линейной системы (рис. 8).fgyW1W3Рис. 86xW2На вход системы поступает входной сигнал g (t ) ; первое и второе звенья, находящиеся в прямой цепи, образуют последовательное соединение; третье звено находится вцепи отрицательной обратной связи; в прямой цепи приложено внешнее воздействиеf (t ) , которое может рассматриваться как еще один входной сигнал.1.

Передаточная функция прямой цепи. В качестве входного сигнала рассматривается сигнал (t ) , а выходного – x (t ) ; внешнее воздействие f (t ) отсутствует. Передаточная функция W пр (s ) прямой цепи имеет видW пр (s )  W1 (s )  W 2 (s ) .2. Передаточная функция разомкнутой системы. Входом является сигнал g (t ) ,выходом – сигнал y (t ) (на рис. 8 место размыкания указано пунктирной линией); внешнее воздействие f (t ) отсутствует. Передаточная функция W р (s ) разомкнутой системынаходится по формулеW р ( s )  W1 ( s )  W 2 ( s )  W 3 ( s ) .3. Передаточная функция замкнутой системы.

Входом является сигнал g (t ) ,выходом – сигнал x (t ) , внешнее воздействие f (t ) отсутствует. Первое и второе звеньясоединены последовательно, а замкнутая система является системой с отрицательной обратной связью. ПолучаемW (s ) W пр (s )W1 ( s )  W 2 (s ).1  W1 ( s )  W 2 ( s )  W 3 ( s ) 1  W p ( s )4. Передаточная функция ошибки. В качестве входного сигнала рассматриваетсясигнал g (t ) , а выходного – сигнал ошибки (t ) ; внешнее воздействие f (t ) отсутствует.Для удобства дальнейших рассуждений схему, изображенную на рис.

3.8, изобразим вболее наглядной форме (рис. 9).gW3W2W1Рис. 9Передаточная функция W  ( s ) ошибки имеет вид7W  (s ) 11.1  W1 (s )  W 2 ( s )  W 3 (s ) 1  W p (s )5. Передаточная функция по возмущению. Входом является внешнее воздействиеf (t ) , выходом – сигнал x (t ) , сигнал g (t ) отсутствует. Перерисуем схему (рис. 3.8), учитывая наличие отрицательной обратной связи с помощью усилительного звена с коэффициентом усиления, равным «-1» (рис.10).fxW2W11W3Рис. 10Получаем передаточную функцию W fx (s ) по возмущению:W fx (s ) 8W 2 (s )W 2 (s )W 2 (s ).1  W 2 (s )  W1 (s )  (1)  W 3 (s ) 1  W1 (s )  W 2 (s )  W 3 (s ) 1  W p (s ).