tus2 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 2.Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g(t);б) система, описываемая дифференциальным уравнениемan (t ) x (n) (t )    a0 (t ) x (t )  bm (t ) g (m) (t )    b0 (t ) g (t ) ;в) начальные условия:x (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 ,..., x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1) .Требуется найти выходной сигнал x (t ) .З а м е ч а н и е. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: эффект, вызываемый суммой нескольких воздействий, равен сумме эффектов каждого извоздействий в отдельности. Поэтому выходной сигнал линейной системы представляетсяв виде суммы свободного и вынужденного движений:x (t )  xc (t )  x"/… (t ) .Свободное движение xc (t ) происходит при отсутствии внешнего воздействия( g (t )  0 ) вследствие ненулевых начальных условий.

Оно является решением однородного дифференциального уравнения, соответствующего исходному уравнению системы:an (t ) x (n ) (t )  ...  a0 (t ) x (t )  0с начальными условиями. В случае, когда начальные условия нулевые, свободное движение в системе отсутствует ( x c (t )  0 ).Вынужденное движение x "/… (t ) происходит вследствие внешнего воздействияg (t ) при нулевых начальных условиях. Оно является решением неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях. Вынужденное движение x"/… (t ) отлично от нулятолько после приложения внешнего воздействия. Подчеркивая эту причинноследственную связь, вынужденное движение системы при внешнем воздействии, отличном от нуля при t  t 0 , будем обозначать x"/… (t )  1 (t  t 0 ) , где 1 (t  t 0 ) – единичная ступенчатая функция (1.2).Выходной сигнал системы будет иметь видx (t )  x“ (t )  x"/… (t )  1 (t  t 0 ) ,где функции x“ (t ) , x"/… (t ) можно считать n раз непрерывно дифференцируемыми.27АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти свободное движение, решив однородное дифференциальное уравнение сзаданными начальными условиями.2. Найти вынужденное движение, решив неоднородное дифференциальное уравнение с нулевыми начальными условиями.3. Определить выходной сигнал как сумму свободного и вынужденного движений.З а м е ч а н и я.1. Общее решение однородного уравнения находится по формулеx 0 (t )  c1 1 (t )    c n  n (t ) ,где c1 ,...

,cn – произвольные постоянные; 1 (t ),... , n (t ) – фундаментальная системарешений однородного уравнения.Если система стационарная, т.е. описывается уравнениемan x (n) (t )    a0 x (t )  bm g (m) (t )    b0 g (t )с постоянными коэффициентами, то сначала определяются корни  1,... ,  nристического уравнения :характе-an n  an 1 n 1  ...  a0  0 .Если корни действительные разные, то (1.28) имеет видx 0 (t )  c1 e  1 t  c 2 e  2 t  ...

 c n e nt.(1)Если среди корней есть кратный действительный корень  j кратности k , то емусоответствует следующая составляющая общего решения:x 0 j (t )  (c1  c 2 t  ...  ck t k 1 ) ej t,(2)где c1 ,... , ck – произвольные постоянные.Паре комплексных сопряженных корней  j   j i соответствует решениеx 0 j (t )  ej t(c1 cos  j t  c 2 sin  j t ) ,(3)а паре комплексных сопряженных корней кратности k –x 0 j (t )  ej t[ (c1  c 2t  ... ck t k 1 ) cos  j t  (d1  d 2t   d k t k 1 ) sin  j t ] ,(4)где c1 ,...

, ck ; d1 ,..., d k – произвольные постоянные.2. Частное решение неоднородного уравнения находится методом вариации произвольных постоянных или методом подбора. В частном случае, когда система описывается уравнениемan x (n ) (t )    a0 x (t )  g (t ) ,28g (t )  Rq (t ) cos  t  Pl (t ) sin  t  e t ,где Rq (t ), Pl (t ) – многочлены степеней q и l соответственно, ,  – заданные числа, частное решение ищется в формеx н (t )  e t   Qm (t ) cos t  Tm (t ) sin t   t s ,в которой m  max (q, l ) , Qm (t ),Tm (t ) – многочлены степени m с неопределенными коэффициентами; показатель степени s определяется следующим образом: 0 , если число (  i) не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения,s k , если число (  i) совпадает с корнем характеристического уравнения кратности k .Пример 1. Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнениемT x (t )  x (t )  g (t ) , T  0 ,на входной сигнал g (t )  1 (t ) при нулевых начальных условиях. 1.

Найдем свободное движение. Так как начальные условия нулевые, свободное движение отсутствует, т.е. x c (t )  0 .2. Найдем вынужденное движение как решение уравнения T x (t )  x (t )  1 при условии x (0)  0 :а) общее решение однородного уравненияT x (t )  x (t )  0 .Характеристическое уравнение T   1  0 имеет корень   1. Согласно (1) общееTtрешение однородного уравнения имеет вид x 0 (t )  Ce;б) частное решение неоднородного уравнения: x … (t )  1 ;в) общее решение неоднородного уравнения:x (t )  x 0 (t )  x н (t )  CeTtT1;г) из начального условия x (0)  C  1  0 следует C  1 . Окончательноtполучаем x вын (t )  1  e .3. Выходной сигнал определяется вынужденным движениемTx (t )  x вын (t )  1  etT, t  0 .29Пример 2.

Найти реакцию колебательного звена, описываемого дифференциальным уравнением3x(t )  3 x (t )  x (t )  g (t ) ,на входное воздействие g (t )  1 (t ) при нулевых начальных условиях (здесь T  3 ,  0,5 ). 1. Найдем свободное движение. Так как начальные условия нулевые, свободное движение отсутствует, т.е. xc (t )  0 .2. Найдем вынужденное движение, которое является решением неоднородногодифференциального уравнения 3x(t )  3 x (t )  x (t )  1 при нулевых начальных условиях x (0)  0, x (0)  0 :а) общее решение однородного уравнения:3 x(t )  3 x (t )  x (t )  0 .Характеристическое уравнение 32  3  1  0 имеет корни1,2  313 i,   ).  i (   6262Согласно (3) общее решение однородного уравнения имеет видtx0 (t )  e (c1 cos t  c2 sin t )  e3t6  c1 costt c2 sin  ;22б) частное решение неоднородного уравнения: x … (t )  A .

В результате подстановки в неоднородное уравнение имеем A  1  x … (t ) ;в) общее решение неоднородного уравнения:x (t )  x0 (t )  x н (t )  e3t6  c1 costt c2 sin   1 ;22г) из начальных условийx (0)  c1  1  0,x (0)  получаем c1  1, c 2  c3c1  2  0623, а вынужденное движение3x вын (t )  e3t6 costt3sin   1 .232 3. Выходной сигнал определяется вынужденным движением:30x (t )  x вын (t )  e3t6 costt3sin   1 , t  0 .

232 Пример 3. Найти свободное и вынужденное движения, а также выходной сигналсистемы, описываемой дифференциальным уравнениемx (t )  x (t )  g (t ) ,с начальным условием x (0)  0,5 при входном сигнале g (t )  1 (t ) . 1. Определяем свободное движение как решение однородного дифференциального уравнения x (t )  x (t )  0 при начальном условии x (0)  0,5 .Характеристическое уравнение   1  0 имеет корень   1 .

Согласно (1) общеерешение однородного уравнения имеет вид x 0 (t )  Ce t . Из начального условия получаем x (0)  C  0,5 , и окончательно свободное движениеx c (t ) 1 te .22. Находим вынужденное движение как решение неоднородного дифференциального уравнения x (t )  x (t )  1 при начальном условии x(0)  0 :а) общее решение однородного уравнения имеет вид x 0 (t )  Ce t (см. п.1);б) частное решение неоднородного уравнения ищется в виде x … (t )  A .зультате подстановки в неоднородное уравнение имеем A  1, x … (t )  1 ;в) общее решение неоднородного уравнения:В ре-x (t )  x 0 (t )  x … (t )  Ce t  1 ;г) из начального условия x (0)  C  1  0 следует C  1 . Тогда вынужденноедвижениеx вын (t )   e t  1 .3. Выходной сигнал определяется по формуле:x (t ) 1 t1e  e t  1  1  e t ,22t  0 .Пример 4.

Найти свободное и вынужденное движения, а также выходной сигналсистемы, описываемой дифференциальным уравнениемx(t )  3x (t )  2 x (t )  g (t ) ,с начальными условиями x(0)  1 , x (0)  3 при входном сигнале 2e 3t , t  0 ,g (t )   0 , t  0 . 1. Определяем свободное движение как решение однородного дифференциального уравнения x(t )  3x (t )  2 x (t )  0 при начальных условиях x(0)  1 , x (0)  3 .Характеристическое уравнение 2  3  2  0 имеет два корня:  1 1 ,  2  2 .31Cогласно (1) получаем общее решение однородного уравнения:x 0 (t )  c1 e t  c 2 e 2t .Из начальных условийx (0)  c1  c 2  1,x (0)  c1  2c 2  3.имеем c1  1, c 2  2 , а свободное движениеx c (t )   e t  2e 2t .2.

Находим вынужденное движение как решение неоднородного дифференциального уравнения x(t )  3x (t )  2 x (t )  2e 3t при условиях x (0)  0 , x (0)  0 :а) общее решение однородного уравнения получено в п.1:x 0 (t )  c1 e t  c 2 e 2t ;б) частное решение неоднородного уравнения x … (t )  Ae 3t . Подставляя в неоднородное уравнение, имеем: 9e 3t A  9 Ae 3t  2 Ae 3t  2e 3t . Отсюда A  1 , x … (t )  e 3t ;в) общее решение неоднородного уравнения:x (t )  x 0 (t )  x … (t )  c1e t  c2e 2t  e 3t ;г) подставляя в начальные условия, получаем:x (0)  c1  c 2  1  0,x (0)  c1  2c 2  3  0.Отсюда c1  1, c 2  2 , а вынужденное движениеx"/… (t )  e t  2e 2t  e 3t .3.

Выходной сигнал определяется по формуле:x (t )   e t  2e 2t  e t  2e 2t  e 3t  e 3t , t  0 . Пример 5. Найти свободное и вынужденное движения, а также выходной сигналсистемы, описываемой уравнениемx(t )  4 x (t )  g (t )с начальными условиями x (0)  1 , x (0)  1 при входном сигнале g (t )  cos 2t  1 (t ) . 1. Определяем свободное движение как решение однородного дифференциального уравнения x(t )  4 x (t )  0 при начальных условиях x (0)  1 , x (0)  1 .Характеристическое уравнение 2  4  0 имеет два комплексных сопряженныхкорня 1,2  2i (  0,   2) .

Согласно (3) получаем общее решение однородногоуравнения:x 0 (t )  c1 cos 2t  c 2 sin 2t .32Из начальных условийx (0)  c1  1 ,x (0)  (2c1 sin 2t  2c 2 cos 2t )t 0 2c 2  11имеем c1  1, c 2   , а свободное движение2x c (t )  cos 2t 1sin 2t .22. Находим вынужденное движение как решение неоднородного дифференциального уравнения x(t )  4 x (t )  cos 2t при нулевых начальных условиях x (0)  0 ,x (0)  0 :а) общее решение однородного уравнения получено в п.1:x 0 (t )  c1 cos 2t  c 2 sin 2t ;б) поскольку параметры правой части   0,   2, q  0 , а число   i  2i совпадает с корнем характеристического уравнения кратности k  1 , то s  1, m  0 и частное решение неоднородного уравнения ищется в форме:x н (t )  t ( A cos 2t  B sin 2t ) .Последовательно дифференцируя, имеемx н (t )  A cos 2t  B sin 2t  t (2 A sin 2t  2B cos 2t )  ( A  2Bt ) cos 2t  (B  2 At ) sin 2t ,xн (t )  2B cos 2t  2( A  2Bt ) sin 2t  2 A sin 2t  2(B  2 At ) cos 2t  (4B  4 At ) cos 2t  (4 A  4Bt ) sin 2t .Подставляя в неоднородное уравнение, получаем(4B  4 At ) cos 2t  (4 A  4Bt ) sin 2t  4t ( A cos 2t  B sin 2t )  cos 2tили4B cos 2t  4 A sin 2t  cos 2t .Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях от t , находим4B  1,Отсюда A  0, B  4A  0 .1tи x н (t )  sin 2t ;44в) общее решение неоднородного уравнения:x (t )  x 0 (t )  x н (t )  c1 cos 2t  c 2 sin 2t tsin 2t ;4г) используя нулевые начальные условия, получаем:33x (0)  c1  0,x (0)  2c 2  0.Отсюда вынужденное движение x вын (t ) tsin 2t .43.