tus14 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 14.АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙЛИНЕАРИЗАЦИИПостановка задачиРассматривается замкнутая система с одним нелинейным элементом.gF ()zW (s )xРис. 1Изучается свободное движение системы, т.е. движение при ненулевых начальных условиях в отсутствии входного сигнала ( g (t )  0 ).При отсутствии внешних воздействий свободное движение линейной системы может быть периодическим, если корни характеристического уравнения чисто мнимые. Однако практически такие движения не реализуются, так как малейшее изменение параметров системы приводит к тому, что колебания становятся либо затухающими, либо расходящимися, поскольку появляются отрицательные или положительные действительныечасти у корней характеристического уравнения.В отличие от линейных систем в нелинейных системах управления при отсутствиивнешних воздействий возможны устойчивые периодические движения, которые принятоназывать автоколебаниями.На фазовой плоскости автоколебаниям соответствует устойчивый предельныйцикл, где x , y  x – выходной сигнал и его производная.Пусть известны:а) характеристика F () нелинейного элемента;б) передаточная функция W (s ) линейной части системы.Требуется определить:а) возможны ли в системе автоколебания?б) параметры автоколебаний: амплитуду ao и частоту  o предельного цикла,если ответ на первый вопрос положительный.Анализ периодических движений систем управления с одним нелинейным элементом будем проводить методом гармонической линеаризации ее единственного нелинейного звена.1Гармоническая линеаризация нелинейных элементовРассмотрим нелинейный элемент с характеристикой z  F () , на вход которогоподается гармонический сигнал (t )  a sin t с амплитудой a  0 и частотой   0 .Предположим, что:– постоянная составляющая q 0 (a ) сигнала отсутствует (для нечетной характеристики F () это всегда выполняется);– линейная часть системы (устойчивая) обладает свойствами фильтра низких частот: W (i)  W (ik) при k  1 , поэтому учет высших гармоник не является существенным (гипотеза фильтра).Нелинейный элемент z  F () может быть заменен линейным, частотная характеристика которого зависит от амплитуды входного сигнала.

Этот прием получил названиегармонической линеаризации нелинейностей.Частотная характеристика W H (a , i) этого эквивалентного звена зависит толькоот амплитуды а и не зависит от частоты  :W H (a)  W H (a, s )q (a) 1as i  q (a)  i q1 (a) ,2где1q1 (a) aF (a sin ) sin  d,02F (a sin ) cos  d.0Функцию W H (a ) называют комплексным коэффициентом усиления нелинейного элемента, а коэффициенты q (a ) и q1 (a ) – коэффициентами гармонической линеаризации.

Для типовых нелинейных элементов приведены в табл.1.Алгоритм анализа автоколебанийУсловие возникновения автоколебаний –амплитуда a и частота  удовлетворяют уравнению гармонического баланса:W H (a )W (i)  1 .(*)Это уравнение можно рассматривать как условие наличия чисто мнимого корня iхарактеристического уравнения линеаризованной системы, что связано, как отмечалосьвыше, с существованием периодических движений линейных систем.Уравнение гармонического баланса можно записать с учетом в виде системы двухуравнений относительно двух неизвестных a и  :2q (a) ReW (i)  q1 (a) Im W (i)  1,q1 (a) Re W (i)  q (a) Im W (i)  0,где q (a ) и q1 (a ) – коэффициенты гармонической линеаризации нелинейного элемента.Применяются также и другие формы записи уравнения (*):11W H (a)  ; W (i)  M H (a), где M H (a)  .W H (a)W (i)При решении задач удобно пользоваться следующей графоаналитической схемой(диаграммой Гольдфарба).1.

Построить годограф W (i) при   [ 0;   ) .12. Построить годограф M H (a)  при a  [ 0;   ) .W H (a)3. Найти значения частоты  o и амплитуды ao периодического движения, соответствующие точкам пересечения годографов (решить уравнение (*) ).14. Если при движении по годографу M H (a)  , соответствующем увелиW H (a)чению амплитуды a от значения ao , окажемся в точке, которая не будет охватыватьсягодографом W (i) (рис.2 , точка 2), то амплитуде ao будут соответствовать устойчивые автоколебания, а в противном случае (рис.2 , точка 1) – неустойчивые.VW (i)  a  U2M H (a)1a00Рис.

2З а м е ч а н и я.1. Метод гармонической линеаризации является приближенным. Поэтому отсутствие решений уравнения (*) гармонического баланса означает, чтоиспользуемый метод не позволяет выделить периодических движений у исследуемой системы.2. После нахождения частоты периодического движения следует проверить выполнение гипотезы фильтра: W (i  П )  W (i k  П ) при k  1 .3Таблица 1Нелинейный элемент№п/п1234НазваниеРелейныйэлементРелейныйэлементс зонойнечувствительностиЭлементс зонойнечувствительностиЭлементс петлейгистерезисаКоэффициенты гармонической линеаризацииГрафик ианалитическоезаданиеq (a )qРис.

4Рис. 54caq1q1 (a )4cab2a20, a  b;q0 , abq cРис. 65Рис. 8baq14ca1b2a2, a  b;2cqa1b2a2q1  4cba 2,a  b ;q1  0 , a  bq1  2cb (1  r )a 2,a  b;1r 2b 2 , a  b;a 2 q0 , ab7.x по книге [ПБ]40b 2 , ab ;a 2 q0 , abРис. 72c b arcsin  aq0 , abЭлементс зонаминечувствительностии неоднозначности0q1  0 , a  bПример 1. Исследовать систему (рис. 3) на наличие автоколебаний. 1.

Строим годограф частотной характеристики линейной части разомкнутойсистемы при   [ 0;   ) (рис. 4):W (i) 3(i)3  3 (i) 2  i 3 (32  i (  3 ))94  2 (1  2 ) 23 32  i (  3 )992  (1  2 ) 2i3 (1  2 )93   (1  2 ) 2zgF ()z.z  F ()13xs 3  3s 2  s1Рис. 32. Коэффициенты гармонической линеаризации релейного звена имеют вид (п.1табл. 1):q (a) 4,aq1 (a )  0 .Строим годограф функцииM H (a) 1a4q (a)  i q1 (a)при a  [ 0;   ) (рис. 4).VM H (a)1a    a0UW (i)U ()V ()090,5 3,2 1,61102 0,20,1000Рис. 453. Находим амплитуду ao и частоту  o , соответствующие точке пересеченияW (i) , решая уравнение гармонического балансагодографов M H (a ) иW (i)  M H (a) :992  (1  2 ) 2i3 (1  2 )93   (1  2 ) 2a.4Приравнивая действительные и мнимые части, получаем:992  (1  2 ) 2a,43 (1  2 )93   (1  2 ) 2 0.Из второго уравнения следует   1 (   1 не подходит, так как   [ 0,   ) ),4поэтому  o  1 .

Из первого уравнения находим a П  .4. По диаграмме Гольдфарба (рис. 4) определяем, что найденным значениям параметров соответствуют устойчивые автоколебания, так как при увеличении a ( a  a П )точка, движущаяся по годографу M H (a ) , не охватывается годографом W (i) . Пример 2. Исследовать систему (см. рис. 5) на наличие автоколебаний, где пара5.метры нелинейности b  1 ; c 2z z  F (,  )gFzd1xs (s  1)bbdабРис. 5 1.

Частотная характеристика линейной части системы имеет вид111 2  iW (i) s (s  1) s  i s 2  s s  i i   2 4  (i) 2  (  i )2 ( 2  1)11  2i (1  2 ).Строим годограф W (i) при   [ 0;   ) (рис. 6).2. Находим комплексный коэффициент усиления нелинейного элементагистерезиса (п.4 табл. 1):6с петлей4c 10 2a 2  1  i   a 1  i2 2 a a W H (a)  q (a)  i q1 (a) и обратную характеристику M H (a)  M H (a)  a210 ( a 2  1  i )1W H (a):a2 ( a2  1  i)2210 (a  1  i )1 2 a 1  i.10 Построим годограф M H (a ) при a  [ 0;   ) (рис. 6).3. Найдем параметры автоколебаний.

Для этого составим уравнение гармонического баланса M H (a )  W (i) :1 1i2. a 1  i  2 1 10  (1  2 )V  1i 10M H (a )UW (i)U ()V ()010,5 0,8 1,612 15120121 1000Рис. 6Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений1111a2  1 ,.1010  (1  2 )1  2Из второго уравнения 3    10  0 определяем частоту  o  2 автоколебаний.

Заметим, что других действительных корней это уравнение не имеет. Подставляя найденнуючастоту в первое уравнение системы, определяем амплитуду автоколебаний: a П  5 .2При частоте  o  2 период колебаний  , что примерно совпадает со временемП2  3,12 одного прохождения изображающей точкой предельного цикла.74. Как видим (рис. 6), годографы пересекаются в одной точке, которой соответствуют устойчивые автоколебания, так как при увеличении a ( a  a П ) окажемся в точке,которая не охватывается годографом W (i) .

Пример 3. Исследовать систему (рис. 3) на наличие автоколебаний, если в качестве нелинейного элемента используется релейный элемент с зоной нечувствительности ипараметрами b  1, c   . 1. Строим годограф частотной характеристики линейной части разомкнутойсистемы при   [ 0;   ) с учетом п.1 примера 1 (рис. 7,а):W (i)  992  (1  2 ) 2i3 (1  2 )93   (1  2 ) 2.2. Находим комплексный коэффициент усиления (п.2 табл. 1):4cW H (a) a1и обратную характеристику M H (a)  b2ai 0 21W H (a)M H (a)  4ca:a 24ca2  b22a2  b2.Определим значение a , обеспечивающее максимальную величину M H (a) . Дляэтого применим необходимое условие безусловного экстремума:2a  4c2aa 2  b 2  a 2 4c 2d M H (a)da16c 2 (a 2  b 2 )a2  b20или 8ac (a 2  b 2 )  4a 3c  0 , 2 (a 2  b 2 )  a 2 .

Отсюда a 2  2b 2 и a   2b (значение a   2b не подходит, так как a  b ).Вычислим значение обратной характеристики при a  a   2b : 2b 2bM H (a  )  .4 cb2c1Для заданной нелинейности ( b  1, c   ) находим a   2 , M H (a  )   .2Построим годограф M H (a)  a242a 1(рис. 7,а).3. Очевидно, точка пересечения построенных годографов имеет координатыU  1, V  0 . По годографу частотной характеристики W (i) находим частоту автоколебаний:  o  1 . Амплитуду определяем из условия8M H (a)  a22a 14 1 .Отсюда a 2  4 a 2  1 , a 4  16 (a 2  1) , a 4  16a 2  16  0 , a 2  8  4 3 . Следовательно, получаем два решения:a1 8  4 3  1,035 иa2 8  4 3  3,863 .VM H (a)1V   0,5UM H (a)22W (i)1   0,5UW (i)00aM H (a)1,01 1,81,1 0,66 0,5223 0,577 0,795абРис.

74. Для наглядности изобразим условно график (рис. 7,а) , отражая факт наличиядвух "берегов" у годографа M H (a) (рис. 7,б). При увеличении a от 1 до a   2 изображающая точка двигается вправо, а при a  a   2 – влево вдоль действительнойоси. Тогда очевидно, что годографы W (i) и M H (a) пересекаются в одной точке придвух разных значениях амплитуды: a1 и a2 . Так как при a  a1 точка охватывается годографом частотной характеристики W (i) , то первому пересечению соответствует неустойчивое периодическое решение. Второе пересечение определяет устойчивые автоколебания с параметрами  o  1 , a П  a2 тывается годографом W (i) .8  4 3 , так как при a  a2 точка не охва-АНАЛИЗ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИПостановка задачиРассматривается замкнутая система с одним нелинейным элементом.

Изучаетсясвободное движение системы, т.е. движение при ненулевых начальных условиях в отсутствии входного сигнала ( g (t )  0 ).Система называется асимптотически устойчивой, если при ненулевых ограниченных начальных условиях свободное движение x (t ) ограничено при t  [0;  ) иlim x (t )  0 . Если окажется, что это свойство выполняется для любых нелинейных элеt ментов из некоторого класса, то устойчивость называется абсолютной.9Условия абсолютной устойчивостиУтверждение 1 (достаточные условия абсолютной устойчивости, теорема В.М.Попова). Пусть выполняются условия:1) все полюсы передаточной функции линейной части системы имеют отрицательные действительные части (т.е.