tus11 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 11.АНАЛИЗ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙОписание сигналов и систем1. Описание сигналов. Сигналы в дискретных динамических системах описываются последовательностями:  g k  , k  k 0 , k 0  1,  ,  x k  , k  k 0 , k 0  1,  , где k 0 –начальный момент дискретного времени k .2. Описание систем. Дискретная система преобразует входной сигнал в выходнойпри заданных начальных условиях (рис. 1). Математические модели таких систем описываются разностными уравнениями.Начальные условияgkВходнойсигналxДискретнаядинамическаясистемаkВыходнойсигналРис. 1В общем случае одномерная линейная дискретная нестационарная системаописывается линейным разностным уравнениемan k  x k  n   an 1 k  x k  n  1    a0 k  x k   bm k  g k  m   bm 1 k  g k  m  1    b0 k  g k  ,k  k 0 , k 0  1,  ,(1)с начальными условиямиx k 0   x 0 , x k 0  1  x1 ,..., x k 0  n  1  x n 1 ,(2)где g (k ) – входной сигнал; x (k ) – выходной сигнал; k – дискретное время;an k  , , a0 k  ; bm k  ,  , b0 k  – коэффициенты левой и правой частей, зависящие отвремени k ; n и m – заданные числа, n  m .Одномерная линейная дискретная стационарная система описывается разностным уравнениемan x k  n   an 1 x k  n  1    a0 x k   bm g k  m   bm 1 g k  m  1    b0 g k  ,(3)k  0, 1, 2 ,  ,1с начальными условиямиx 0   x 0 , x 1  x1 ,..., x n  1  x n 1 ,(4)где an ,  , a0 ; bm ,  , b0 – постоянные коэффициенты.Связь вход-выходДля линейных дискретных систем, как и для непрерывных, справедлив принципсуперпозиции.

Выходной сигнал системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного движений:x k   x с k   x вын k  .Свободное движение x с k  происходит при отсутствии внешнего воздействияg k   0  вследствие ненулевых начальных условий. Оно определяется решением однородного уравнения, соответствующего исходному уравнению (1):an k  x k  n     a0 k  x k   0 ,с начальными условиямиx k 0   x 0 , x k 0  1  x1 ,..., x k 0  n  1  x n 1 .В случае, когда начальные условия нулевые, свободное движение отсутствует( x c (k )  0 ).Вынужденное движение x вын k  – это реакция системы на внешнее воздействиепри нулевых начальных условиях.

Оно определяется решением неоднородного уравнения(1) при нулевых начальных условиях.Процедура нахождения свободного движения для стационарных систем (3),(4)сводится к решению соответствующего однородного уравнения ( g k   0 )an x k  n     a1 x k  1  a0 x k   0с начальными условиямиx 0   x 0 , x 1  x1 ,..., x n  1  x n 1и содержит три этапа.Первый этап.

Составить характеристическое уравнениеan n  an 1 n 1    a0  0и найти его корни: 1 ,  ,  n .Второй этап. В зависимости от типа корней выписать общее решение однородного уравнения (четыре случая).2а) Если корни действительные разные, общее решение записывается в формеx k   C11k  C 2  2 k    C n  n k ,(5)где C1 ,  , C n – произвольные постоянные.б) Паре   i  комплексных сопряженных корней соответствует компонентаx k   r k  C1 cos k  C 2 sin k ,(6)где r – модуль числа     i  , а  – аргумент, определяемые по формулам arctg  ,   0,   0 ,   arctg  ,   0,   0 ,,   0,   0 .2r   2  2 ,в) Действительному корню  j кратности m соответствует следующая составляющая общего решения:x k   C1  C 2 k    C m k m 1   j k ,(7)г) паре комплексных сопряженных корней кратности m соответствует:x k   r k C1 C 2 k    C m k m 1 cos k  B1  B 2 k    Bm k m 1 sin k ,(8)где C1 ,  ,C m ; B1 ,  , Bm – произвольные постоянные.Третий этап.

Найти произвольные постоянные с помощью начальных условий.Методика нахождения вынужденного движения содержит четыре этапа.Первый этап. Найти общее решение однородного уравнения.Второй этап. Найти частное решение неоднородного уравнения. В общем случаеприменяется метод вариации произвольных постоянных, а в частном случае, когда система описывается уравнениемan x k  n     a1 x k  1  a0 x k   g (k ) ,g k   r k Rq k  cos k  Pl k  sin k ,где Rq k  , Pl k  – многочлены степени q и l соответственно, r и  – заданные действительные числа, – метод подбора.

Тогда частное решение ищется в формеx н k   r k Q p k  cos k  T p k  sin k  k s ,в которой p  max q ; l  ; Q p k  ,T p k  – многочлены переменной k степени pопределенными коэффициентами; число s находится следующим образом:(9)с не-3 0 , если число r cos   i sin  не совпадаетsни с одним из корней характеристического уравнения , m , если число r cos   i sin  совпадает с корнем кратности m .Коэффициенты многочленов Q p k  ,T p k  находятся из тождества, которое получаетсяпри подстановке (9) в (1).Третий этап. Найти общее решение неоднородного уравнения как сумму общегорешения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.Четвертый этап. Определить произвольные постоянные из нулевых начальныхусловий.Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал  g k  ,k  k 0 , k 0  1, ;б) дискретная динамическая система, описываемая разностным уравнениемan k  x k  n   an 1 k  x k  n  1    a0 k  x k   bm k  g k  m   bm 1 k  g k  m  1    b0 k  g k  ,k  k 0 , k 0  1,  ,в) начальные условия x k 0   x 0 , x k 0  1  x1 ,..., x k 0  n  1  x n 1 .Требуется найти выходной сигнал x k  ,k  k 0 , k 0  1, .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти свободное движение x с k  .2. Найти вынужденное движение x вын k  .3. Определить выходной сигнал как сумму свободного и вынужденного движений:x (k )  x c (k )  x вын k  .Пример 1. Найти свободное движение дискретной системы, описываемой уравнением4 x k  2   4 x k  1  3 x k   g (k )с начальными условиями x (0)  8, x (1)   6 . Применим описанную методику нахождения свободного движения:4а) составим характеристическое уравнение 4 2  4   3  0 и найдем его корни:1,2  4  16  48  4  8;8831б) так как корни 1   ,  2  действительные разные, то согласно (5.5) общее22kk1 3решение имеет вид: x k   C1     C 2   ;2 2в) произвольные постоянные находятся из начальных условий:x (0)  C1  C 2  8 ,31x (1)   C1  C 2   6 .22kk1 3Отсюда C1  5,C 2  3 и свободное движение x c k   5      3    .

2 2Пример 2. Найти свободное движение дискретной системы, описываемой уравнениемx k  2  2 x k  1  4 x k   g (k )с начальными условиями x (0)  3, x (1)  0 . Применим методику нахождения свободного движения:а) составим характеристическое уравнение 2  2   4  0 и найдем его корни:1,2  1  3 i ;б) так как корни 1 ,  2 – комплексные сопряженные, то согласно (6) общее решение имеет вид22 x k   2 k C1 cosk  C 2 sink,33 поскольку   1 ;   3 , r   2   2  2  arctg2;   arctg  3       33в) произвольные постоянные находятся из начальных условий:x (0)  C1  3 ,5 13x (1)  2  C1 C2   0 .2 2ОтсюдаC1  3, C 2  3иискомоесвободноедвижение22 x c k   2 k   3 cosk  3 sink.

33 Пример 3. Найти свободное движение дискретной системы, описываемой уравнениемx k  3  3 x k  2   3 x k  1  x k   g (k )с начальными условиями x (0)  1, x (1)  4 , x (2)  9 . Применим методику нахождения свободного движения:а) составим характеристическое уравнение 3  3 2  3   1  0 и найдем его корни:   13  0 ,   1 ;б) так как корень 1  1 действительный кратности m  3 , то согласно (7) общеерешение имеет видx k   C1  C 2 k  C 3 k 2  1k  C1  C 2 k  C 3 k 2 ;в) произвольные постоянные находятся из начальных условий:x (0)  C1  1 ,x (1)  C1  C 2  C 3  4 ,x (2)  C1  2C 2  4C 3  9 .Отсюда C1  1,C 2  2,C 3  1 и свободное движение x c k   1  2k  k 2 .

Пример 4. Найти свободное движение дискретной системы, описываемой уравнением4 x k  5  4 x k  4   4 x k  3  4 x k  2  x k  1  x k   g (k )с начальными условиями x (0)  5, x (1)  1 , x (2)   4, x (3)  1  2, x (4)  5 . Составить структурную схему. Применим методику нахождения свободного движения:а) составим характеристическое уравнение 4 5  4 4  4 3  4 2    1  0 и длянахождения его корней разложим на множители:   1  2 2  162 0;2i – пара комплексных2сопряженных корней кратности m  2 , то согласно (5.5) и (5.8) общее решение имеет видб) так как корень 1  1 – действительный, а  2,3  k 2  C1  C 2 k  cos  k  B1  B 2 k  sin  k  ,x k   C 3  1   2  22 kпоскольку   0 ;  22;r ,  ;222в) произвольные постоянные находятся из начальных условий:x (0)  C 3  C1  5 ,x (1)  C 3 2 (B1  B 2 )  1 ,2x (2)  C 3 1(C1  2C 2 )   4 ,2x (3)  C 3 2(B1  3B 2 )  1  2 ,4x (4)  C 3 1(C1  4C 2 )  5 .4Отсюда C1  4, C 2  3, C 3  1, B1  2, B 2  2 и искомое свободное движениеk 2  4  3 k  cos  k  2  2 k  sin  k  .x c k   1   2  22 1kПример 5.

Найти свободное движение дискретной системы, описываемой уравнениемx k  2  5 x k  1  6 x k   g k   2 g (k  1)с начальными условиями x 0   1, x 1  2 . Применим методику нахождения свободного движения:а) составим характеристическое уравнение 2  5   6  0 и найдем его корни1  2,  2  3 ;б) поскольку корни действительные разные, то согласно (5) общее решение однородного уравнения x k  2  5 x k  1  6  0 имеет вид:x k   C1  2 k  C 2  3k ;в) найдем произвольные постоянные C1 и C 2 из начальных условий:7x 0   C1  C 2  1 ,x 1  2 C1  3 C 2  2 .Отсюда C 2  0 ,C1  1 и свободное движение x c k   2 k .Пример 6. Найти реакцию дискретной системы, описываемой уравнениемx k  2  5 x k  1  6 x k   g k на входной сигнал g k   1 при начальных условиях x 0   1, x 1  2 . 1.