tus10 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 10.ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙОписание сигналов и системДля описания сигналов используются базисные системы функций.Базисная система в общем случае комплексных функций { p(i , t , ), i  0,1,...} ,определенная на отрезке [ 0, t ] , называется ортонормированной, если все функцииэтой системы удовлетворяют условиюt0 1,p * (i, t , ) p( j , t , ) d    0,i  j,i  j,(1)где  – текущее время, 0    t ; p * (i , t , ) – комплексная сопряженная функция; t –правый конец отрезка времени, на котором решается задача анализа.Широкое применение нашли следующие базисные системы функций:нестационарные полиномы Лежандра:pˆ(i , t , ) 2i  1 ik lik t k , i  0,1,... ,t k 0(2)где lik  (1)i  k C ii  k C ii  k ;1pˆ(0, t , ) ,tpˆ (1, t , ) 3  2   1 ,t  tpˆ(2, t , ) 5t 6 2 61 , t2t32 20   30   12   1  и т.

д.;tt3t2нестационарные косинусоиды:pˆ(3, t , ) 7t 1,i  0,tC (i , t , )  i 2 t cos t ,C (0, t , ) 1t,C (1, t , ) C (3, t , ) 2cos,tt(3)i  1,2,...,C (2, t , ) 22cos,tt23cosи т. д.;ttа также функции Уолша и другие.1. Описание сигналов. Нестационарной спектральной характеристикой(НСХ) функции g () по заданному ортонормированному базису { p(i , t , ), i  0,1,...}называется функция1tG (i , t )  S [ g ()] ppp * (i , t , ) g () d,i  0,1,2,...

.(4)0Она представляется бесконечной матрицей-столбцомG (0, t )   G (1, t ) G (t )   G (i, t )  ,p p G (2, t )   а при численных расчетах  конечной матрицей-столбцом.Индекс базисной системы пишется под знаком спектральной характеристики,указывая, относительно какой базисной функции она определена.Для перехода от спектральных характеристик к функциям времени, используется формула обращения:g ()  S 1[ G (t ) ] pp Gp (i, t ) p(i, t , ),0    t.(5)i2.

Описание систем. Рассматривается поведение нестационарной линейнойсистемы, описываемой дифференциальным уравнениемan () x (n) ()  ...  a0 () x ()  bm () g (m) ()  ...  b0 () g (),(6)где g() – входной сигнал; x() – выходной сигнал; n и m – порядки старших производных выходного и входного сигналов; an (),... , a0 () ; bm (),... b0 () – коэффициенты, зависящие от времени  . Система исследуется на отрезке времени [0,t], правыйконец t которого может быть подвижен или задан.Двумерной нестационарной передаточной функцией W (t , t ) (ДНПФ) лиpp *нейной системы (6) называется двумерная нестационарная спектральная характеристика импульсной переходной функцииtW (h, i , t , t ) pp *t d 0p * (h, t , ) p(i , t , ) k (, ) d , h, i  0,1,2...

,(7)0где { p(i , t , ), i  0,1,...} – базисная система.ДНПФ представляется бесконечной матрицейW (0,0, t , t ) W (0,1, t , t ) W (0,2, t , t ) W (1,0, t , t ) W (1,1, t , t ) W (1,2, t , t )W (t , t )   W (h, i, t , t )   pp * W (2,0, t , t ) W (2,1, t , t ) W (2,2, t , t ) pp *...............,......где h – номер строки, i – номер столбца.

Если длина t интервала времени фиксирована, матрица ДНПФ является числовой. При численных расчетах ДНПФ представляется в виде конечных квадратных матриц.2ДНПФ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ1. Усилительное звено. Поскольку импульсная переходная функция усилительного звена имеет вид k (, )  a() (  ) , где a() – коэффициент усиления, тоtA* (h, i, t , t )   p * (h, t , ) p(i, t , ) a() d  .pp0Если a()  a  const, то двумерная нестационарная передаточная функцияусилительного звена представляется в форме A (t , t )  aE в силу ортонормированноpp *сти базисной системы функций.2. Интегрирующее звено.

Импульсная переходная функция интегрирующегозвена имеет вид k (, )  1 (  ) . При применении полиномов Лежандра получаемсоответствующую двумерную нестационарную передаточную функцию интегрирующего звена:1 100... c0, n ...2 3 2 1100... c1, n ...2 152 311 00... c 2, n ...1P (t , t )  t2 152 35 1pp 000... c3, n ...2 35 ...............  ...c n,1c n,2c n,3...

c n, n ... c n,0 ............... ... ...где c n, n 1   c n 1, n 12 4n 2  1, c00 1, cn, n  k  cn  k , n  0,2k  0,2,3,..., n .При использовании нестационарных косинусоид имеем: 1 2 2 2 2 01P (t , t )  t cc 2 22 9 ... c n,0 ...2 202403 24300242 29 2045 2... c0, n... c1, n... c 2, n0... c3, n...c n,15 2...c n,2...c n,3... ... c n, n....................................где3c0, n   c n,0 [ 1  (1) n 1 ] 2n 2 2c n  k , n   c n, n  k c00 ;2 [ 1  (1)k 1 ]k (2n  k )  21,2c n, n  0 ,k  1,2,..., n  1.,3.

Дифференцирующее звено. Импульсная переходная функция дифференцируюd (  ). При применении полиномов Лежандра имещего звена имеет вид k (, ) dем 1 351 P (t , t )  7 t pp ... c n,0 ...где cn  k , n 35731521 ... c1, n 15535 ... c 2, n21...c n,1... 35...c n,2...7...c n,3...c n, n  k  (1)k(2n  1) (2n  2k  1) ,... c0, n... c3, n... ... c n, n...

............... ,.........(2n  1) (2n  2k  1) .При применении нестационарных косинусоид получаем 1 2 21P (t , t )  cct 2 ... c n,0 2210321032 2...c0, n2...c1, n265...c 2, n2...c3, n...c n,1265...c n,2...c n,3... ...... c n, n2... ... ... ,гдеc00  1, c0, n  (1) n 2 ; c n,0  2 ;c n, n  k  (1)k c n  k , n c n, n  2, n  1,2,3,...2 [(1)k (n  k ) 2  n 2 ](n  k ) 2  n 2,k  1,2,..., n  1.4НАХОЖДЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙФУНКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮW (t , t )  P (t , t )  An (t , t )  ...  A0 (t , t ) P  n (t , t )pp *pp *pp * pp *pp *1nmB m (t , t ) P (t , t )  ...  B 0 (t , t ) .pp * pp *pp *(8)3. Связь вход-выходX (t )  W (t , t )G (t ) .pp *p(9)p4.

Двумерные нестационарные передаточные функции соединенийЕсли система представляет собой соединение звеньев, то для нахождения ДНПФсистемы применяются следующие соотношения:для последовательного соединения (см. рис. 1, а):W (t , t )  W 2 (t , t )W1 (t , t ) ,pp *pp *(10)pp *для параллельного соединения (рис. 1, б):W (t , t )  W1 (t , t )  W 2 (t , t ) ,pp *pp *(11)pp *для соединения с обратной связью (рис. 1, в):W (t , t )  W1 (t , t )[E  W 2 (t , t )W1 (t , t )]1  [E  W1 (t , t )W 2 (t , t )]1 W1 (t , t ) ,pp *pp *pp *pp *pp *pp *(12)pp *где знак «плюс» – для отрицательной, а знак «минус» – для положительной обратнойсвязи; W1 (t , t ), W 2 (t , t ) – двумерные нестационарные передаточные функции первогоpp *pp *и второго звеньев соответственно.X 1 (t )pW1 (t , t )X 1 (t )G (t )pW1 (t , t )pp pX (t )W 2 (t , t )ppp *G (t )X (t )ppp *pW 2 (t , t )аpp *X 2 (t )pб5G (t )pX (t )E (t )ppW1 (t , t )pp *W 2 (t , t )X 2 (t )pp *pвРис.

15. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g() ;б) система, заданная в одной из возможных форм математического описания;в) нулевые начальные условия.Требуется найти выходной сигнал x() .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИПеред решением задачи анализа задается длина t отрезка [0,t] и система базисных функций (здесь предлагается использовать либо систему полиномов Лежандра,либо систему нестационарных косинусоид).1. Найти спектральную характеристику G (t ) входного сигнала g () .p2.

Определить ДНПФ W (t , t ) системы одним из двух способов: по дифференpp *циальному уравнению или по структурной схеме.Первый способ. Если задано дифференциальное уравнение (6), то ДНПФ определяется по формуле (8):W (t , t )  P (t , t )  An (t , t ) ... A0 (t , t ) P n (t , t )pp *pp *pp * pp *pp *n1mBm (t , t ) P (t , t ) ... B0 (t , t ) ,pp * pp *pp *где Ai (t , t ) , B j (t , t ) – ДНПФ усилительных звеньев ai (), b j () ; P (t , t ), P 1 (t , t ) –pp*pp*pp *pp *ДНПФ дифференцирующего и интегрирующего звеньев.Если система стационарная, т.е. a i ()  a i = const , b j ()  b j = const , имеемAi (t , t )pp * ai E , B j (t , t )  b j E , где E – единичная матрица.pp *6Второй способ.

Нахождение ДНПФ по структурной схеме.Если система состоит из звеньев и их соединений, то для нахождения ДНПФсистемы применяются соотношения (10)–(12). ДНПФ элементарных звеньев берутсяиз таблиц.3. Вычислить спектральную характеристику выходного сигнала по формуле (9):X (t )  W (t , t )G (t ) .ppp *p4. Определить выходной сигнал по формуле обращения (5):x ()  S 1[ X (t )] ppiX (i, t ) p(i, t , ),0    t.pЗ а м е ч а н и е.1.

При практических расчетах используются базисные системы с конечным числом функций, т.е. { p(i, t , ), i  0,1,..., N } . Тогда бесконечные матрицы заменяются конечными соответствующих размеров. Число N называется масштабом усечения.2. Решение одной и той же задачи с применением разных базисных систем илиодной базисной системы с разным масштабом усечения является одним из эффективных способов контроля достоверности и точности результата.Пример 1.

Определить реакцию интегрирующего звена на единичное ступенчатое входное воздействие g ()  1 () при нулевых начальных условиях. Решим задачу двумя способами с применением различных систем базисныхфункций.Первый способ. Выберем t  1 и систему нестационарных полиномов Лежандра(2).1. Найдем спектральную характеристику входного сигнала:tG (0, t ) pˆ0tG (1, t ) pˆt1  pˆ(0, t , ) d 0 10t1  pˆ(1, t , ) d   1 01td t  1,3 2(  1) d  0,...

,t t1  0G (t )    .pˆ0  2. Используем ДНПФ интегрирующего звена, определенную относительно полиномов Лежандра:7 1 2 11W (t , t )  P (t , t )  t  2 3pˆpˆpˆpˆ 0 1.2 150102 3012 153. Найдем спектральную характеристику выходного сигнала при t  1 : 1 2 1X (t )   2 3pˆ 0 12 3012 15 1  1 21  0   1 .2 15 0  2 3        0 0  04. Определим выходной сигнал по формуле обращения:x () 1 Xpˆ (i, t ) pˆ(i, t , )  2  1  2i13 (2  1)   .3Второй способ. Выберем t  1 и систему нестационарных косинусоид (3).1. Найдем спектральную характеристику входного сигнала:G (0, t ) ctG (1, t ) ctt00t 1  C (1, t , ) d   1 01 1  C (0, t , ) d   1 0td 2d costtt  1,2 tsint tt 0,...

,0 1 0G (t )    . 0c  2. Используем ДНПФ интегрирующего звена, определенную относительно нестационарных косинусоид:1W (t , t )  P (t , t )  t  cccc122 22 2202043 2043 20 .3. Найдем спектральную характеристику выходного сигнала при t  1 :8X (t )   c122 22 220200443 203 2 1        0     0        1 2 2 2.2 0  4. Определим выходной сигнал по формуле обращения:x () 1 2 2 2 cos   1  4 cos  .2 2 2   Xc (i, t ) C (i, t , )  2  1   iПример 2. Определить реакцию интегрирующего звена на линейное входноевоздействие g()    1 () при нулевых начальных условиях. Выберем t  1 и систему нестационарных полиномов Лежандра.1, 2. Воспользуемся результатом примера 1: 1  2  1 G (t )  ; W (t , t )  P 1 (t , t ) .pˆ2 3pˆpˆpˆpˆ 0   3.